И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 24
Текст из файла (страница 24)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 518) 1+ — — — — — + — + — — — — — + — + — +... Л /3 /4 Л Л /7 Л Л Лб 1 1 1 1 1 1 1 519) 1+ + + — + — + — —.. ЗР 2г 5Р 7г 4г Ог 1!Р 1 1 1 1 ! 1 1 1 Зг 1Р 5Р 7г Зг 9Р 11г 5г 520) 1+ 1 1 1 1 1 ! 521) 1Р 2г ЗР 4г 5г бг + 2 1 ! 2 1 1 2 1 522) 1 + + + + — — + 2г Зг 4г 5г 6Р 7Р 8г 9г !пи 523) р ~ а„, )а„) = —, знаки расставлены следуюпгим и г/й «=г образом: два плюса, пять минусов, два плюса, пять минусов и т. д. 217 1 531) ~ ( — 1)«~'/ хи аге!8 — с(х и«! о 1 / о!пх 538) ) / (! — хг)и яп п с!х.
539) ~ ~) — с(х. и«! о ОО «+! 541) ~~! ( — 1)и+' ««2 540) )' ( — 1)и+' / —. и«1 218 1 1'! япап 524! с 11+ — + + — ), аф2х!с, lсЕК. 2 п) п и«1 и! е«!ги ( — 1)и еоаап 526) ~ п«! и«! 527') ) )( — 1) ««! и П О!П(П,IЛ + П ) Х и а\П(Х,IП + П) !«2 ~«3 сов(а 1п и) огп(а!п п) 529) а) ;6)~ П1пи ' П1пп «г !=2 ! 530) ~~с / х яп пх с)х. 1 о 532) ~~с ( — 1)и+' —, ! агг!8ихйх. ! ОО 533) 2 ( — 1)и — / е с)х. «+1 2« и«! ив — ! и=! и «и+« ии+« 536) ~ / — с!х.
537) ~~с / — Нх. ««! с ! 4»4 543) ) ( — 1)п ! — )(х. х ««1 о 1 2' 1+ Нап = О. Исследовать абсолютную н условную сходимость ряда. ( ) н44 1)п ' и (1+1)п 2»12(н + 1) 2 — 1н пп! п«1 2. Бясконе и!иве ариизинде2иви Выяснить, сходится илн расходится бесконечное произведение, и в случае сходимости найти его значение. 558) П 4)П( — ) п«2 556) е П 555) П 1+ 2и+ 1 я+1 х е 1+ „-'' х сЬ вЂ”. 2» ' 219 44+1 542) ~~ ( — 1)п+' „~— «=10 544) ~~) ап, где а)= — 1, аз —— »«1 (н + 2)оп 42 + 2(н + 1)ап+ 545) ~ п«1 547) ~ «=1 549) ~ ««1 551) ~ ) П (1+х'). п=в )П «=1 561) П сов —.
2» и 1 546) ~ п«1 548) ~ пп! 550) ~~) пп! 552) ~~) 4« ""6) П 44 = 1 560) П п«1 562) П 4«1 1 — —, 0<т<1 (2п+ 1)г (2п + 1) (2п + 7) (2п + 3) (2п + 5) 4и — 1 4«+ 1 «=! Исследовать сходнмость бесконечного прон«пел! ннн. 575) П иг и 1 и 577) П вЂ” „ ~ ~, !/пг+ 1 б«!П(", ) 581) П и г ««! 583) П а -, а > О «=! 585) П сов(а!се!8 и). «=! »й(-„.,'„„,) Зи Зи 555) П Зи — 1 Зп+ 1 «=! иг — 4 587) П", ««в «=! 571) и (2и (2п)!! 573) П а °, а > О.
««! 1 '! -и(, -) «=! 564) П ««г 5бб) П ««! 558) П «=! 570) П ««! »2) П а«е! — — (и+ 1)(1+ а«), и > 1. - и/„;, 5~!! П к ( '"." " ') 580) П и" »=! й( )- «=! 584) П а г, а > 0 «=! 588) П (пл!и — ), о > О. и ««! 618) Используя представление е!их = х П ~! — — ) (см. хлпз пп! 4хз стр. 74), получить равенство сов х = П ~!— (2п — 1)зхз ! ' «=1 619) Используя рассуждения, аналогичные рассуждениям при представлении функций у = в!их и у = ссах бесконечным произведением, получить равенства "=*П( ) к=! 3. Фуивцвовильиьае последовательности и Ряды.
Риивомервии сцодивеость Найти предельную функцию (У„(х)) и построить ее график. 620) У„(х) = „ . 621) для последовательности /„(х) = х(1 + е "*). 1 !/ 2' ! (*) = ЮР" +4*" гЗ 622) у„(х) = !/яке " * . 623) 624) У! )= ~/И ~*к+ ~. 625! 615) П а„, где а„: п=! 1 / аг,»=1- —,а>0,аз ! = ~1+ — + — ~, и!ЕИ.
и!а ' гав тза 616) 1+ — 1 — — 1 — — 1+ — 1 — — к 617) 1+ — 1 — — 1+ — 1+ — 1 — — 1+— 628) У„(х) 627) Уп(х) 628) Д„(х) 629) Д (х) 630) У„(х) 631) У (х) 632) /„(х) 633) У (х) 634) уп(х) 635) Д„(х) 636) / (х) 637) 7'„(х) 638) /„(х) ..-. (,4 е.*) . в)п( I 2+ 2) п 21п 2п. п2+ — + хз 2 (2 еРе ер) . с е 2 -1 — агссб 11х) 11 ° в" (п12 *).
Э пе-пе 1 пхе х вгбп ] в1п (и! хх) [, 2п Ген+ / 2пее +1 , х>0. сое — ГОБ — . сов —. 2 4 2" (х — 1) агре х". х > О. п «орпей п+1 «+2 2» (и+ 1)! (и+ 2)! (2гг)! Исследовать равномерную сходимость последовательности 7„(х) на заданном множестве Е. 640) /„(х) = х2", а) Е = 0; -), б) Е = [О; 1]. 11 '2! ' 641) У„(х) = х™ — хп+', а) Е = [О; 1], б) Е = [1; 2]. 1 642) /„(х) =, Е = (О, +оз). х2+ п 643) уп(х) =, а) Е = [1;+оо), б) Е = [О; 1]. 1 644) 7'„(х) = 645) Уп(х) = 646) /„(х) = 647) У (х) = 646) У„(х) = 649) У (х) = 650) 7'„(х) = 651) У (х) = 652) Д(х) = 653) 7'„(х) = 654) У„(х) = 655) У„(х) = 656) 1 (х) = 657) 7'„(х) = 658) 7„(х) = 659) ~„(х) = 660) Д(х) = 661) 7'„(х) = 662) 7„(х) = , а) Е = [О; 1], б) Е = [1;+ос).
1+ и+х хп — тга а) Е = [О;1], б)Е = [1;10]. , а) Е = [О; 1], б) Е = [1;+ос). 2игх г' 1 ! иахг' 1 ха ! Е = ( — оо;.(-со). 1 и хг -1- — — ~/хг Е = (О; -1-со). и а5п их , а) Е = [ — А; А], б) Е = ( — со; +со). в!п —, а) Е = [ — А; А], б) Е = ( — оо;+со). и Ф "*~й" .ах[О;-1.
'2> ;/Г:;- а" *, ~ = а;+ ). св!х-г) Е [0.4) х х — !п —, Е = (О; 1). иг иг (/! 1-1-хга а) Е = [О;4], б) Е = [4; +со). и !п (1 + †), а) Е = [О; А], б) Е = (О; +со). и !п 1 + — ], а) Е = (О; 2), б) Е = (2; +со). 1 1 их,] , а) Е = [О; 1], б) Е = (О; +оо). их+и +х г г иг+,г 1 8!п х+ —, а)Е=[0;х], б)Е=[о;х-б],6)0. , Е = (О;~ос). 2!па и -!. аг.1- х1пги 681) Д(х) =, Е = [О;+оо). ~/п2+ х~ 682) 7"„(х) = в агс18 —, Е = [ — 1; 1]. изех 683) ~„(х) = )п 1 + , Е = [О; +оо).
684) Д„(х) = , а) Е = [ — 1; 1], б) Е = ( — оо; +оо). пх~ 685) ~„(х) = —, а) Е = [1;+оо), б) Е = [О; 2]. п+х' 686) Д„(х) = ~/ихе '~"в, Е = [О;+со). 687) 1„(х) = пх е "~, а) Е = [2;+со), б) Е = [О; 2]. 688) Д„(х) = в1п(п~е "*), а) Е = (О; +со), б) Е = [1; +со). 689) г„(х) = , а) Е = [1; +со), б) Е = (О; 1). 1п(пх) 690) У„(х) = х~е "*, Е = (О;+ею). 691) ~„(х) =п — — агой —,, а) Е=(0;1), б) Е=(1;+со). 1 г 692) Д„(х) = вш е "'+ — ), /й) а) Е = (о;+со), а > О, б) Е = (О;+ос), 1 693) ~д(х) = сов —, а) Е = (О; и), б) Е = (в;+ос), х" + хвп+ хиг 694) Д" (х) г з ' а) Е (О а), б) Е = (О;+оо). 695) У„(х) = 1и х~+ — ], п) а) Е = (О;+со), б) Е = (о;+со), а > О.
696) У„(х) = сов ( — е.г), а) Е=(0; о), а > О, б) Е= [О;+со). 4 .2» г 1~~ /1 697) г„(х) = агсф8 г, а) Е = [О; -), б) Е = [ —; 1 1 х — 1 698) У„(х) = — сов —, а) Е = (О', 2), б) Е = (2;+со). х и 1 699) 7'„(х) = . "*, а) Е = (О; 1], б) Е = [1;+оо). 4+ !пв(и+ 1)х 700) ~„(х) = (х — 1) агсгб хг", Е = (О;+со).
70!) ~„(х) = '~(Г+ х", Е = (О;+оо). ихв 702) Уп(х) = г, Е = [О;+оо). 703) Уп(х) = и~ [х г — 1), Е = [1; 10). 704) („(х) = хе " * 1пви, Е = [О;+ос). /1+ их! 706) / (х) = в!п [ (, Е = ( — оо;+со). 2и,г' ' 706) г'„(х) = е гг в"*, а) Е = (О;1), б) Е = (1;+со). 707) /„(х) = и~ (е' — совх"), а)Е= (О;1), б)Е= [О б), 0< 6< 1 708) /„(х) =в!п (Я+ихг-ъ/иг), а) Е=(0; 1), б) Е =(1;+со).
709)г ( )= /*Н ( е — ' *, )г=(0!) 6)К=(1;-'; ). 2х" 710) /„(х! =вгсвгп —, а) Е=[0;а), 0<а< 1, б) Е=[0;1). ! ~2хи ' 711) /„(х) = агсв!п, Е = (О; 1). 1+ их 712) У„( ) = и' сЬх" — — ' хвгг ' а) Е = [О; 1), б) Е = [О; а), 0 < а < 1. 713) 1„(х) = (1+ — ), а) Е=(а; Ь), 0< а<Ь, б) Е=( — оо;+оо).
хг» 714) /„(х) = [1 — -) , а) Е= (-а;а), а >О, б) Е= (-сю; +сю). и (! !1) 715) 7'„(х) = х", Е = ~ —; —; -) . (2'3'4) 716) ~„(х) = х", Е = 0; -) и (1). 1~ '2) 717) Д„(х) = х~" — х", Е = ~ —; — ) . (2'3) 718) /„(х) = г. " — х", а) Е = (О; 1), 6) Е = (О; 1). 7!9) /„(х) = нхг а)Е = [ — 1О; — 9]0[1;2], 6) Е = [ — 2; — 1]0[0,1].
720) /„(х) = аггея их, а) Е = [ — 5; — 3] 11 (О), 6) Е = ( — 5) 17 [О; 1]. 721) /„(х) = 1 (пх — 1)х (х — п)х+ 1 а) Е = [О; 1], 6) Е = [1; 2], в) Е = [2;+оо). Ьп~ ( 1!го /„(х) 1 = !пп ! 1нп /„(х)), хо 6 Е, й )й ы- г Виси м ~к~ 1 722) /~ (х) х, Е: [О' 1] а) хе О~ б» хв 1 ' в) хе 2 1 723) /„(х) = — Ф(х), Е = ( — оо;+со), п О, х — иррациональное число, где Ф(х) = 1, х — рациональное чигло а) хе = 1: 6) хо = ~/2. 1 724) /п(х) = е, Е = [О;+оо), хо = 1. 725) /„(х) = —, Е = [а;Ь],/(х) — произвольная функ- [и/(х)] и а+Ь ция, определенная на[а; Ь], а) хе = а; 6) хе — — —.
2 1 0<х < —, и 1 2 — <х< —, и п 2 х) —, и илх и — — х О, 726) /„(х) =- Е=[0;!], хо=О. 727) /л(х» =, Е = [О; 1], а) *о = 0; 6) хо = —. пх ! Для следующей функциональной последовательности (/„(х)), х 6 Е, 1) установить ее сходимость н исследовать ее равномерную сходимость на множестве Е; 2) выягнить, справедливо или нет равенство 728) Уп(х) = ~/Г+ х, Е = [О;2] а) хо=о; б) хо=1; в)хо — — 2.
х", [а;И]=[0;Ц, ихе "*, [а;6] = [О; Ц. и"хе пп, [а;6) = [О; Ц, их(1 — х)", [а;Ь! = [О; Ц. [а;Ь] = [О;Ц их" е ", о ) О, [а; Ь] = [О; Ц. 1 [а; Ь] = [О; Ц. их(1 — х')", [а; Ь! = [О; Ц. ьь~ а~ ~сввп х, [а; 6) = [О; х/2!. х/ияьпхсоооп х, [а;И! = [О;я/2], 2и~хе " *, [а; Ь] = [О; Ц. — [',ь) = [О;Ц, 729) У„(х) 730) Уп(х) 731) У„(х) 732) У„(х) 733) У„(х) 734) Уп(х) 736) У-(х) 736) Уп(х) 737) Уп(х) 738) Уп(х) 739) Уп(*) 740) Уп(х) ф н„циональнои (Уп(х)), х 6 Е, 1) установить ее сходимость и исследовать равномерную сходимость последовательности (Д(х)) на Е; 2) выяснить, справедливо нли нет равенство (1нп Уп(х)) ~ = 1пп У„'(хо), хо 6 Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
