И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 27
Текст из файла (страница 27)
1293) Г(х, у) = у + «у — 8 — х'. и = 3. 1294) Р(х, у) = 2у — гяп у — х, и = 2. 1295) Р(х, у) = у — иу — х, у(0) = О, а ф О, н = 4 1296) Р'(х, у) = у — а + ху~, а ф О, п = 5. 1297) Р'(х,у) = у — 4у — *, п = 2 1298) Цх, у) = хз — Зху+ уз, и = 2. !299) Р(х у) =,1(х !)уз+ 2«уз 3«зу+ ха н = 2. 1300) Пусть Дх) = ~а„«. "Написать разложение функции а=О У( ) Р'(х) = — в степенной ряд с центром в точке хо = О. 1 — х 1301) Доказать справедливость разложения 1 1 — х — х — х г з =1+ х+ 2х~+ 4т. + 7х~+ 13х~+ 24хе+. + а«х" + где и„ = а„ ~ + а« х + а„ з, и > 4, !х( < 4, 4 > О. 1302) Доказать справедливость разложения ! (< (('- ««О гле коэффициенты а„есть последовательные числа Фибонач- чи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., каждое из которых равно сумме двух предыдущих.
1303) Разложив в ряд по степеням х обе части тождества 1 1 ! 1 — /5 ~ь~~ + + 2 3 найти формулу, выражающую числа Фибоначчи а„. 1304) Доказать, что если справедливо равенство 1 1+Р~х+Ргх +Рзх +'''= 1.1- бх -1- ахз то справедливо также и равенство 3 2 2 2 3 ! + ах !+Рх+Рх +Рз + = ( + 262 Пользуясь разложением функции /(х) в степенной рлд, найти значение производной /!"!(хе) указанного порядка и. 1305) /(х) = е т, /!ю!(0).
1306) /(х) =, /!е!(О). 1307) /(х) = хеап:18х, /!'е!(0). 1308) /(х) = х~ О'! + г, /1~!(0). 1309) /(х) = соах сЬх, /1~!(0). 1310) У(х) 1311) У(х) 1312) У(х) 1313) У(х) 1314) У(х) 1315) У(х) 1316) У(х) 1317) У(х) 1318) У(х) —, у! "1(о) '-4х+3' хз(п(1 — х+ х~ — .ез), у!~!(0). х сов —, УО'1(О).
'2 ' ) у!за!( !), б) у( гво1!( ха +2х+ 5' (х — 2) 1п(3х + 2), у!~1(2). зеле у(за!( 1) 1 у!")10) аз + Ьзхз а+ Ьх 1п —, (.Ь ДО), Уоо(О). а — Ьх Разложить функцию у = У(х) в обобщенный степенной ряд относительно функции д(х) и указать множество сходи- мости полученного ряда.
1 1319) У(.е) = , д(х) = — . 1320) У(х) = 1п х, д(х) = х+ 1 1321) У(х) =, д(х) = ~ел+ 1' 1+ х 1322) У(х) = х, д(х) = 2х 1+ хз 1 х 1323) У(х) =- „, у(х) = сов —. сов- х 2 1324) У(х) = х, у(х) = в(пх. 1325) У(х) = х, д(х) = с!6х. 1 1326) У(х) =, д(х) = сов2х. 2 сова х ' 1327) У(х) = агссов(1 — х), д(х) = ~/х. !328) Г(х) .= 1п(! + 1гг!) 1!1, У(х) = э/х. 0 !329) Г(2) = агся1п ~(, у(х) = э/х. !/! ! .2' Выделив главн2ю часть вида сх, с ф О, функции у(х) при х — 1 О, нанти п ненулевых чяенов раздол!ения этой функции в ряд по степеням х". !330) = у — 1+ —, 133!) х = у — 1п(1+ у), и .= 4. 1332) х = у — сйп у, и = 3 1333) х = 18 у — у, и = 3.
1334) х = —, — 1 + соя у, и = 3 У' 2 Проверить равенство. 1335) 1 — й = С+!п(х)+ 2 х ", х ф О. Г а!п1 ( — 1]п / !з 4п(2п + 1)! 1 ю«1 1,11 '~ 2п !330) ~ = С+ ~ !п" (!+ ). !п(! + 1) п.п! 1 п«1 1337) / !21 = С+!п)2.)+ Г агой ! ! 2~' ! — )!( ! 2 — ~) О <)х(<!.
Г Й, ! и — 1 !338) / — = С вЂ” — +1п)1пх)+ ~ .7' 1'! и! (и — 1) 2 п=! 0<х<1, 1<х<оо. Ге' 1 «+1 1339) / — й = С вЂ” — + 1п )х(+ ~~~ ./ 12 (и+ 2)! (и+ 1) 1 =о г й! !их 1п х !340) / — =1п]1пх(+ — + — + .. + „( !пС 1 1! 2 2! » !па / 1 1 + — + ..— )1+ — + .-+ —, х>0, хф1. пп! !» 22! пп!/' 1 1 34 4$ 1 1 12 23 1 $6 0 2.3 1 1 54 4$ 1 $6 1 1 Зб 4$ ! бе 1341) 0 0 ! $6 0 4.$ 0 0 » »(1-«) -«*(1-«») «*(1-»*) -«»(1-«») «»(1-«») «(1-«) -«(1-«) «»(1-«)* -«(1-«»] «(!ч ) «(1-«)» -«»(1-«»]» «»(1-«*]» -«»(1-«»]» «»(1-«»)» ..
1342) 0<х<1. 1 — 1 1 — ! 1 — ! ! 1 1 з з 1 з ! з ! 1 з з 1 з 1343) 1 1 4 4 1 4 1 4 265 Для данной матрицы рассмотреть соответствующие повторные ряды и двойной ряд я выяснить их сходимооть. Исследовать сходимость следующего ряда, используя в случае необходимости результаты задач 105, 107, 108, 113 стр. 336, 337. 1 1344) Е л, а)0, В)0. п!,«п! 1345) гп,пп! 1 а > О. (и!+ П)п 1346) 1 (Атз + 2Втп + Слз)п ' а>0, АС вЂ” В'>О, А>0, С>0. 1347) ( 1 ) и .1- а > О.
(т+ п)п и!,««1 1346) п1,«=! ( !)и!1-и п+ [ — „-'~ 1349) !н(п1+ и) т" + пд и!,пп! соа(п! + и) 1352) (т!)и (пт)! и!, ! п1п т п!!и и (1в(п! + п))'"+п соа тх 81п лд !+тала 1350) п,« «! 1351) и!,««1 1353) и, ~п! 1354) «,пп! тпз + 5!и ( 1)т+и тпп + пд ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 1 3, 2 1 1) — 2) --. 3) Расходнтгя 4) Рса ходитгя 5) 2 3 1 — (пг 2 !37 ! 1 25 1 6) Расходится 7) — 8) — О) — . 10) — 11) 300 о + 1 4 48 2с(с+ 1) 1 12) 1 13) 1. 11) — 15) 1 — ~/2 16) 1'агходитсл.
17) — !п2. 3 2(па+и 1. 1) !8) 1п3. 10) !и 3/2 Укш!ание..ь'„= — (п -;- — . 20) Рас- 3 (п+1) ходится. '21) — —. Укаганис. Раг!.мотреть 5„— Я„.Ч, а (1 — Ч)г !(! + Ч) так!ке гм прим! р 5 на гтр 8 22) — —, Уха!ание И!— (! ч)' пользона!.ь результат и метод решения задачи 21.
23) гг/4. Указание. Погполь.н>ваты л гоо и!опк ни! м ! Г г а!с!8 — — — аг! !.8 — = а!с!да —; +ии — ! а+и !-+(ач-п)(а+и — 1) и Зл л .'!'„= аг!ск 24) — 1:м указание к задаче 23. 25) п.е1 4 1, 1 26) 1. Ука!ани! 11ронсрить, что."а = ! — —.— —. 27) (и + 2)! сингл ! / ! — — Указание Пронернть, что дл а - —., — — ~ —,) .!и .с г,2агап — *„) гл 28) — 3/2 29) — — с!к г.
Улм!ание Ра гмо греть функпню П, л л х япг (л) = соя — соа †. гоя — =-— 2г ' 2а 2п а!п -'— „ и найти Ц (г). /(оказать. что ча тичная гумма данного ря- ~~п П,'.( ) да равна — ", т. е. равна,— с!8 — — г!к л 30) — —. Ука- П„(л)' 2" ' 2" ! 2а г" л закис. Проверить, что .за = — — —,„„. 31] — — при 1 — л 1 †" 1 — л ! (л( < 1 и 8 =- — — при (и) > ! Указание. Прологарифми- л — 1 268 « 2 ровать и проднфференцировать равенство П (1+ г. ! Лп! 1 — хе 1 1 .
Проверить, что з« = — „. 32) Расхо- 1 — л 1 — е ! — х~ 1 1 и дитсл. 33) Указание. !2„= 1+ — + .. + — > — = Ь)й. 1 ! ! 1 32) У . — —. 33) У 3) '222 '33 22 2 зание. > > ~/Зп+ 1+ ~/Зп — 1 2Ь)«323+ 1 223)3 ф~+ 1 1 ! 36) Указание. агса)п — > —. 45) Указание 1п и! = 0(п 1и и), и -г оо. (и+ 1) !по! — 21п(2! 3! .. и!) ! 1пп «-2+»3 не+и 2 47) Указание.
Предположив, что «опп~ — ~ 0 прн и -+ +оо придти к противоречию, рассматривая разность сов п 2 — сов(п+1) и используя то, что последовательности сов(в+1) и а)п(2п + 1) не являются бесконечно малыми при и — ! +со. 48) Расходится. 49) Сходится. 50) Сходится. 51) Сходится. 52) Расходнтся. 53) Сходится. 54) Расходится. 55) Сходится. 56) Расходится.
57) Сходится. 58) Расходится. 59) Сходится. 60) Сходится. 61) Сходится. 62) Расходится. 63) Расходится. 64) Сходится. 65) Расходится. 66) Сходится. 67) Сходится при о ф О, расходится при а = О. 68) Сходится при а > 1, расходится при 0 < а < 1. 69) Сходится при Ь > 0 н и > 1, расходится при Ь > О, 0 < и < ! и Ь = О, п любом.
70) Сходится. 71) Расходится. 72) Сходится, 73) Расходится. 74) Расхо- 1 ! дится. 75) Расходится. Указание,, = ...> ()п 23))п )и ««0» )и «)* 1 ! 1 ! > — = —. 76) Сходится. Указание. = — < Е)пп и (1П 3!))и «П)п )и « 1 1 1 ! < —.
77) Сходится. Указание., — ... < (1п )п и) и «ям м м " 78) Сходится при а > О. Расходится при о < О. 79) Расходится прн Ь = О, сходится при Ь Ф О. 80) Сходится. 81) Сходится при о > О, расходится при а < О. 82) Сходится. 83) Сходится при а > 2, расходится при а < 2. 84) Сходится при р < !2, расходится при р > 12. 85) Расходится при любых а. 86) Рас- 1 ходится 87) Сходится. 88) Сходится при р > —, расходится 2' 1 при 0 < р < — 89) Сходится. 90) Расходится. 91) Сходится.
2 92) Сходится при а > 1, расходится при а < 1. 93) Сходится. 94) Сходится. 95) Сходится. 96) Сходится. 97) Расходится. 98) Расходится. 99) Расходится. 100) Сходихся 101) Расходится. 102) Расходится. 103) Сходится 104) Расходится. 105) Сходится при а > 1, расходится при и < 1. 106) Сходится при а + )7 > 1, расходится при а + /! < 1. 107) Сходится. 108) Сходится. 109) Расходится 110) Сходится.
111) Сходится. 112) Сходится 113) Сходится при о > 1, расходится при о < 1. !14) Сходится. 115) Сходится 116) Сходится при а > 1/2, расходится при о < 1/2. 117) Сходится 118) Сходится. 119) Сходится. 120) Сходится. 121) Сходится. 122) Сходится. 123) Сходится. 124) Расходится. 125) Сходится. 126) Сходится. 127)Сходится. 128) Сходится. 129) Расходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
