И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 25
Текст из файла (страница 25)
пппа 741) У„(х) = — агсьх х", Š— [О; Ц, хо = 1. ! и Для следуюьцей функциональной последовательности (У„(х)), х б [а; Ь], 1) установить ее сходимость и исследовать ее равномерную сходимость на множестве х й [а; Ь]; 2) выяснить, справедливо или нет равенство ь ь 742) У„(х) = хг+ — з!п (и (х+ —,)), Е = ( — со;+со), хо Е Е и 2 з!п лх 743) ~«(х) = —, Е = ( — со;+ос), хе б Е. !/л 744) г'„(х) =, Е = ( — со; +со), хе й Е. 1+ лхг 745) /„(х) = е " ', Е = ( — 1; 2], а) хо —— 0; б) хо = 1.
Найти множество сходимости (абсолютной и условной) ряда. ( — 1)" и+х е«В!п « 3«.я!пи х 1 (!их)и л(л+ 2) 2" соз«х лг(х + !)« ( — 1)" (.+и)з' ,г+ +!' ( — 1)« и! из* †' (х — 3)« ' ийд 2«и« . х2-»- и2 ( — 1)«(2х)« ха+ па ( — 1)« х2 + иг!3 ( — 1)« и2ха + 1' !пи иа + созг х «=1 и«1 746) ~~! ««1 748) ~~! и«1 750) п«1 752) ~ и«1 754) ~ !«! 756) ~ «=1 758) ~ и«! 760) «=! 762) ~~ «=! 764) ~ 747) ~ «=1 749) ~~ ««! 751) ~~! ««! 753) ««! 755) ~~ ««1 757) ~~! ии! 759) ~ »=! 761) ~ и=! 763) ~~ «и! 765) " 2« 790) ~~! ««1 пп! 793) ~ -.
х(х+ 1)... (х + и) и! пи! 795) ~~! ОЭ 797) ~ пи 1пи (1+ — ) . «=1 798) ~~! П4п хпх. 799) п«1 800) ~ ( 801) п«1 ОО х« 802) У вЂ”,(1+.)(1+. ) .. (1+.«) соаео и 803) ~~! 804) и«1 805) ~~ (1+ -) и и«1 2 807) ~ 809) ~" "8 г*. «=1 811) ~ . 812) /п~+ )х( пге-ие п«1 ОО п Е х 2+ х2« ' п«1 ~е ««сових.
п«1 ппа Е (-1)ие " .и , ъйз+ 1.е Ф -(и-п) е п«1 СО а!с!8 пх е4п х г 792) ~~! ~/п~+ х~ 794) агп х 51п пх „, ~4+4' 94) ~~! 796) г ~-' и(п+ еп) 813) 7 '-; (1+ пх)(1+ (и+ 1)х) Н (е. — 1) и«1 ИГ зи! ПХ 8!5), д > О. 1+ пг Е 817) т- (-1)п г-~ агссозх+ п »=1 819) ~~, х > О. =1 яп(их) 1+ пзхз 820) Е »=1 Г /з+! соа пх и!п (и+ 1) 822)» п»1 823) У З/и2 8 ) ~"""", ' 825) ~ !/и.' ««1 828) «=1 829) 2 »=1 830) Е яп их '/из+ !' »=1 832) ~~ »1 833) ~ п — 1 (П1) 3 ип х" ~! и' з!п и а1п и 83!) ~ г »1 835) ~ ~2!их(!/и!2+ х2).
и»1 836) п 1 (-1)п.и1 (!+ 2)(2+ 2) (,+ .2) ' 837) " и!/япп х. г =1 838) Е „и +япх ВИ) '5 п=2 816) ~~ п=2 818) ~ п=1 !и п ,и/ з+! 1)п+1 агсяп х + и соз их. 1+х» '- ( 1)из1пих ~/и в!и пх 842) 844) 846) 848) 850) 852) 854) 839) 2 ««(х+ 1) сов«в 9«1п и 1 1 1~ 840) С ~1+ — + — + + -/! ( — 1)« ~-' !/п + ь4п(хп) 2 843) 2 «вьп пх сов 3«х п)п(п+ 1) 845) ~~ г ( — 1)«+1 сов пх , !/й1п (и+1) сов(4п — !)х 847) ~ в-; п(7+ (-5)«) ' 849) ~ «1п (и + «) ««1 сов8«!1 пх 851) ~~! л«1 ° ьз) 2; «" (* ь — ") .
( — 1)« + ФР' сове пх Е,/„-;-„- сов(4« + 1)х */пэ 4! Е сов(п+ 1) и« ««1 з Е сов пх и«!э ««1 (пх+ уг)» п! п2« ««1 Е В1П ПХ и«+У ' ««1 Исследовать равномерную сходнмость рядн на множестве Е. 855) ') ... Е = ( — со;+ос). 1 ««1 856) ") —, Е = (-2;+оо). ( — 1)« х -1. 2« ' ««1 « 857) ~ —, Е = (-3/2;3/2!. ««1 ~/й'+ 1 885) ~ — е " еовпх, Е= [О;л/2] п «=! егп(пох) ( 2гг 1 л 886) ~~! ', о>0; а)Егх ~е; — — е~, 0<е< -; и о а «=! б)Е= О;— 887) г,, Е = [О; л/2].
«=! ввв) ~ вгп пх-у(п, х) «=1 1, 0<х<п, у(п, х) = Е = (О;+со). агппх, х) и, 889) )' г г, Е = (О;гг/2). «=! 890) ~ д, Е = (-оо;+оо). «=! «=! 892) ~, Е = [О;+оо). ««! 898) ~~! ~, Е = [О;1]. г =! — «« "~) .)'.. ! 2 . — ( + п=! 895) ~~! х, а) Е = (О; гг/2], б) Е = [гг/2;л). 10п+ сгп пх' «=! 1п(п+ х~) ' 2 910) )! — е *, Е = (О;+оо). х л«1 911) ~, Е = ( — оо;+со). ~/п3+ 1+ е«1*! и=! 912) ~~ ( — 1) т агсс!8(х2+ п ), Е = ( — оо;+со). «=1 Ои 913) ~~, Е = ( — оо;+оо).
~/Р+ ) агс18 вх) 914) ~~' 2 2, Е = (О;+со). пл! 915) У, Е = (О;+оо). и«1 9!6) ~'~,+2, Е = ( — 1и ьоо) 1п*(в + 2) п«1 917) г ' ', Е = (О;+со). и«1 " ( «1:-.) 918) ), а) Е = (О;1); б) Е = (1;2). и и=1 Определить область Е существовании функции /(х) и исследовать ее на непрерывность. ии СЮ 919) 7(х) = ~' хе "*, 920) У(х) = ~~', 4 «=О ил! си лэ 921) /(х) = ~ хге "*. 922) 1(х) = ~~ «=О «=1 п ОО 923) ~(х) = Е 2 924) /(х) = " в 3" и=! «л! 925) 1(х) = ~ )агсаги а .
926) У(х) = ~~ и«1 пл! 944) У(х) = ~~! ии! 945) /(х) = ~~ ии! 946) 1'(х) = ~ ии2 947) 7'(х) = ~ ии! 948) У(х) = ~ ии! (,/х+п)( х+и+1) пх (1+ 22)(1.1- 222) .. (1-1- пхз) 1 -ие — е п1п и е "*ь4п ох. е '~"* солих. 949) /(х) = ~~ и=! 951) ~(х) = ~~! ии! ,и+1 ~~-', п(п+ 1) 950) /(х) 21п(пх) Е и! ии! едп(пх) ,3 952) /(х) 953) Дх) = ~ ии! 955) /(х) = ~ =! 957) /(х) = ~ и=! 959) 2 (х) = 2 агс28 —. (х( п2' ии! !х!и ' 954) /(х) соз пх Е п1п и и 2 )х) п2+ 22' ии! ( — 1)и 956) /(х) лис-ии 958) 2'(х) е4п(2и!гх) Е 3" ии! соз(пх) пз 1пз(п + 1) ' 960) 7"(х) ии! 961) 7(х) = ~~! и=! -и!» е п2 Определить обласчь Е существования функции и исследовать ее на дифференцируемость во внутренних точках Е.
Показать, что данный ряд допускает почленное интегрирование на [а; Ь] и написать полученный при этом числовой [а;Ь] = [0,2;5]. [а;Ь] = [ — 1;6]. [а; Ь] = [ — 1; 2]. и 9« [а;Ь] = [-2;З]. и* ат — лласт), [а; Ь] = [О;1]. ( ««1 4. Степенные рилы Найти множество 967) У и*", 1«1 « 969) ~ ««1 971) ~~»/и!в". п«1 978) ~ ~"[ 2)» 2и ««1 2« 975) ~~ 1п и «2 и! в« 977) 2 —,, а ) 1 ««1 ряд. 962) ~~! ««1 963) ~ ««! 964) ~ и«1 965) ~~! ««1 966) сходимости рада. 968) ~~! [1/ив)". и«! « 970) ~ — ',.
««! 2« 972) ~~! —,в". и«1 « 974) ~ 1п и (и+ 1) в и! «=1 И! Вп 978) ~~! и«1 пп+! 979) ~— пп! и 981) ~ —, а)0. а!п пп! си 2п 8) ~.(- )",„,„*,ц„, ( 1)1 3» 985) 7 5" Ки1+ 1 2П и 980) Ъ '~ !!!4п+ 1 5П/! ип! 98!! ~ (1 + — ) пп! 984) ~ 98 У 986) ~ 1 ип! 98Т) ~~ 18П ~ — + — ) Х". 988) п !! 1 и [,4 !!) ип! 989) ~~ 990) пи2 991) ~~ 992) пп! 993) ) „. 994) «и! ( 2)2П ,) с;- ( — ) 996) юп! СЮ !,и 997) ~ ( — 1)п ~ ) (х+1)зи. и! 998) ~ — (т + 2)~". 999) (4л)! (и!)~ ип! ппО (1+ З(-1) -"М)" 1001) ~5 !7'Р+ 1 2" ( ) „З(~ + 4)ЗП+! ( 1)п(~+ 2)и 2" и! ип! ( 1)и-! ( ) 2!! — 1 п=! (2х+ 1)п Зп — 2 ип! Е 2 (1 1 ( 1)п 5)и пп! + 1010) Найти круг сходкмости рада.
сю п !017) 1018) пи) (2+ 5( — 1) ) !002) ~~) (х-3)". и!и и 1003) ~ ~05п — (* — 2)". 1004) ,/и иа -!. 1 «иа 1005) ~~) — ( — ) 1006) и+2 Зх+1 пи! Ш02) 2 ( ) )008) $1 1 !009)" — (!цк)и. и2 )Š— *,„ 1012) и=1 1013) ) 5" (х + 2)и . 1014) пи! 1 1 11 1015) ~~) 1+-+-+..+- хи . 2 3 и) 1~/и! и пи ! 1 ~, и(х+ 2)и 4ии~ка(1+ х)". и=) Й Зи в)пки г иа и-1 5".х" . ии! сю 2 Е (и+ 1)и и 1 1020) и' и ) 81» 1022) и .и (2 !. 2)и 1024) ии) !019) Е ии) !02!) ~ и=) !023) ) (% ' и2 пи) и и и. (! — )* 8 2)".
пи) !)и (з — 2)". ( )и 2 — и! (» — 1)п (1+ п)з — ( +)и пп! 1?25) ~~ пп! 1?26) ~~! «=1 1028) ~ пп! 1ОЗО) ~ п«1 1032) «п! 1оз4) '> п«1 «и 1ОЗО) ~ (и + 1)(и + 2) 3" (х — 1)п пз — 2!2" (3 — 4!)и х". 5«(п1 — 1) (х + 4!)и (1 — БАГЗ!)" (п,21) и зп(п + 1)' 1027) ~ п«1 1029) ~ п«1 1031) ~ пп! 1ОЗЗ) ~ п«1 1035) 5 п«1 ссн и + ! айп и пз (Х +1)'и (3+1)и ' (х+ 1+ 1)п 3" (и — 1) (х — 1)п 2п+ (п — 1)11' Вычислив значения производных ?00(хе), написать и отличных от нуля членов разложения функции ?(х) в степенной ряд с центром в точке хе.
1037) Дх') = 2»й, ха — — 4, и = 4. 1038) У(х) = 18 х хо = я/4, п = 4 1 —, х71 0 1039) /(х) = ~ еп — 1', хе = О, п = 4. 1, х=о апа х 1и —, хфо 1040)У(х)= ' х хо=о, п=з. О, х=о 1041) Дх) = 1п(фх + 1), хо — 16, и = 4. 1042) /(х) =а!и Фх, хо — — — 1, и = 4. 1043) У(х) = е '+*, хе = — 1, и = 3. ! 1044) У(х) = —, хо = х/2, и = 3. 31п х 1 1045) /(х) =, хо = 1, и = 3. агс18 х 1 1046) /(х) = †, хо = 0 п = 4 соз х 1047) /(х) = е з 1049) /(х) = соя — .
3 з; 105!) /(х) = х !и 1+ — ) . 1053) /(х) = Л+ х. 1055) /(х) = сЬ (--) . 2 1048) /(х) = сйп5х. !050) /(х) = 1п 1 1052) /(х) =— 1 1054) /(х) = Л вЂ” 4х. !056) /(х) = я!г(-Зх). 1 1058) /(х) = агсмп -х. 3 1057) /(х) = агс182х. Разложить в степенной ряд с центром в точке хе функцию /(х), преобразовав ее при необходимости так, чтобы можно было применить формулы стр. 130-131.
Указать радиус сходимости полученного ряда. !059] /(х) = е г~, а) хо = 0; б) хо = 1О. 1060) /(х) = 2 , хо = а. 1061) /(х) = 2 3 ', ха = О. 1062) /(х) = (2 + х)е* ', а) хо = 0; б) хе = 1; в) ха — — — 2. 1063) /(х) = гйп(а+ х), хе = О. 1064) /(х) = соя(а+ х), хе = О. 1065) /(х) = солях, а) хе —— 0; б) хз —— я/2. 1066) /(х) = гйпхсозЗх, хе — — О.
1067) /(х) = гйп х соя х, а) хе —— О, б) хе — — л/6. соя х — 1 1068) /(х) = х ', хо = О. хФО О, х= О Разложить функцию /(х) в степенной ряд с центром в точке хе = О, используя разложения основных элементарных функций. Указать радиус сходимости полученного ряда. 1075) У(л) 1076) У(я) 1077) У(*) Используя методы дифференцирования лиГ>о интегрирования степенного ряда, разложить функцию 1(х) в <"гепенной рвд с центром в точке хе —— 0 и указать его радиу<.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
