И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Может ли последовательность разрывных на [а; 6) функций !'„(л) равномерно сходиться на [а; 6] к функции /(л), непрерывной на [а;Ь]? Если да, то привести пример, если нет, то объяснить, почему. 51. Может ли последбвательность непрерывных на [а;6] функций (/„(л)) равномерно сходиться на [а; Ь] к функции, разрывной на [а; 6]? Если да, то привести пример, если нет, то объяснить, почему.
52. Привести пример последовательности (у„(л)), равномерно на [О; 1] сходящейся к неограниченной функции /(х). 53. Пусть последовательность (у„(л)) равномерно сходится на М к функции у(я), ограниченной на М. Доказать, что существуют такие чигла А > О, ЛГ Е 14, что ]у„(х)[ ( А для всех и > Л н всех л б М. 54. Пусть две последовательности (и„(л)) и (е„(я)) равномерно сходятся на М к ограниченным на М функциям и(л) и е(л) соответственно.
Доказать, что последовательность (и„(я)и„(л)) сходится равномерно на М. 55. Привести пример двух последовательностей (и„(я)) и (е„(л)), равномерно сходящихся на [О; 1]таких,что последовательность (и„(л)е„(х)) сходится на [О;1] неравномерно. 56.
Привести пример последовательности (~„(х)), удовлетворяющей.условиям: 1) все функции ~„(л) непрерывны на (О, 1); 2) для любого яе б (О; 1) последовательность (/„(ло)) монотонна; 3) последовательность (у„(х)) сходится к непрерывной на (О; 1) функции у(*) неравномерно на (О; 1). Какое условие теоремы Дини нарушено? 57. Пусть последовательность непрерывных на [а;+со) функций /„(л) сходится к непрерывной на [а;+ос) функции /(л) и при зтом: 1) существуют )пп у(л) = А и 1пп ~„(л) = А„,Чп б Я; г-~+сю й-++ОО 2) 1'пп А„= А; 322 3) для любого»е Е [а;+оо) последовательность «у„(»е)) монотонна.
Доказать, что последовательность «у„(»)) сходится равномерно ва [а;+со). 58. Пусть последовательносгь непрерывных в монотонных ва [а; Ь] функция у„(») сходится к непрерывной на [а; Ь] функции У(»). Доказать, что последовательность (~„(»)) сходятся ва [а;Ь] равномерно. Верно лп будет аналогичное утверждение на компакте К? 59. Пусть последовательность непрерывных на (а; 11) фувкцпй ~„(») сходвтся на (о; !6) к у(»).
Доказать, что для непрерыввостп у на (о;11) необходнмо и достаточно следующее условпе: для любого отрезка [а; Ь] С (о; 11) и любых чисел е > 0 и Ф Е 1!1 существует конечный набор пвтерваиов и~ С (а; д) и чисел ае Е М, 1 < е < Я, таках, что а 1) О и, Э [а; Ь]; у=1 2)ае>л/, 1<9(Ф 3) ]у!!,(») — у(»)] < е для всех» е ид, 1 < е < Я. 60. Привеств прпмер последовательности непрерывных на [О; Ц функцпй Д(»), сходящейся на [О; Ц к функции у 6 6 Я[0; Ц.
61. Привести пример последовательности непрерывных на [О; Ц функций у„(»), сходящейся к непрерывной на [О; Ц функция, и такой, что ! ! 1!щ Я„(») а» < !ип у„(») И». авосю ~ л-+<я „! о 62, Привести пример последовательности непрерывных на [О; Ц функций у„(»), сходящейся к непрерывной на [О; Ц функции у(»), и такой,что Рис. 4 ~„(х) = -1„(-х), я < О. Показать, чт.
1) У„Е С'(Й) для любого н Е 1Ч; 2) ~„(з) ':$ Ях) = 0 на отрезке [ — 1;!]; 3) Д(1) = 7'( — 1) = 0 для любого а Е И; 4) /'(0) = 0 ф 1пп 1„'(0) (см. рис. 5). 67. Пусть я<О, О, У 12'+'( — —,%тН+ — ' 29+' уч(я) = и>1, где Д„(я) — функции, определенные в задаче 66. Показать, что 1) р„Е С'(й) для любого н Е г1; 325 Рис. 5 2) 1л„(я):ф 1л(х)— : О на К; 3) последовательностыр'„(х) сходится на )с 4) для любого 4 Е й имеем у' ~ — ! =О ф !пп р'„~ — ~.
1,24+'! е-+со " ~ 2ч+' /' 68. Функция ~е(х) определена условиями: х, х6 О;— 1) Уо( ') = — *Е;;1 2) периодична с периодом 1. У;(4" ) ~О Попоиим у(х)= (см. рис. 6) и У(х)=Х Л(х). 4" а е Рис. 6 Показать, что /(х) непрерывна на!и и не имеет производной ни в одной точке х Е К. 69. Показать, что последовательность 1 / х 1. х1 ф«(х) = — агссоа соа — — — ябп сое— 2л [, 2л п 2л) равномерно сходится на ЬЬ к функции /е(х) из задачи 68.
Пользуясь зтнм, доказать, что непрерывная, нигде не дифференцируемая функция у(х) из задачи 68 может быть представлена как предел равномерно сходящейся последовательности функций класса С (%). Вывод из задач 65 ж 69. Условие равномерной сходимости последовательности производных существенно для дифференцируемосги предельной функции даже при условии, что все функции зтой последовательности бесконечно гладкие и последовательность сходится равномерно.
(х — 1) 70. Пусть У(х) = ~~~ . Показать, что и' ««! а) у(х) определена на [1;+ос1); б) ~(х) б С (1;+со); в) 1 < /(х) < х для всех х Е (1; +со); г) !нп /(х) = 1 7е у(1); д) прямая у = х — 1 является правой асимптотой графика функции у = у(х). 71. а) Пусть последовательность (Ь„) монотонна и Ь„ = /11 = О ~ — ), а -+ оо.
Доказать, что последовательность Ь',«(х) = ~п) Ь„я!и пх ограничена в совокупности на [О; 2л]. ««1 б) Пусть последовательность (Ь„) монотонна. Доказать, /1! что условие Ь«х о ~ — ), и — ~ оо, необходимо и достаточно '1 и) для равномерной сходимости ряда ~~~ Ь„в)пих на [О;2л). «=1 327 72.
Пользуясь результатом задачи 71, привести пример равномерно ! ходя!це! ося на [О; х] ряда ~ Ь«сйп х такого, что 0 ««! ряд 2 ]Ьисдпих[ рагходит<л при любом х Е (О,я). «=! 7З. Пусть О, х= О 'Р«(х) = я!п пх Г8 О< т< !у! —. ~/и! и Показать. что 1) р«(х) 40 на [О;2я]; 2) для любого хе Е [О;2я] найдется такое пе Е И, что последовательность !р«(хе), п ) пе, монотонна; 3) ряд ~~~ !«„(х)ьйппхе!пх сходится на [О;2«] неравномер- но. 74 Пусть ряд ~ (а« сов ох+ Ьи сйп ах) сходится на отрез- ««! ке [о;~9]. Доказать, что !пп ([аи]+[Ьи[) = 0 (ср. с задачей 44). п«о 75.
Показать, что функция у"(х) = ) е и сов пзх имеет и=! производные всех порядков в любой точке х б К, а ее ряд Тейлора с центром в нуле имеет нулевой радиус скодимосги. 76. Показать, что радиус сходимости ряда «з и ««хи ра- !ии и вен 1 и для любого натурального е ряд ~~! Ь«ех"+ч, получен- ««! ный 4-кратным почленным интегрированием данного ряда, расходится при [х[ = 1. 77.
Доказать, что если ]х[ < 1, то из сходнмости ряда ии(х) следует абсолютная сходимость ряда ~~! ни(х)х". «и! ««! 78. Доказать, что если ряд ~~! а«сходится, то рлд ««1 ии! Е" а„Х» одновременно сходятся или расходятся. х» «и! ряда ~~! — и ««1 п! аи 79. Пусть М1 — множество сходимости Мз — множество сходимости ряда з ~-",' х(х + 1)... (х + и) Доказать, что Мз — — Мг — (О, -1, — 2,..., -гп,...), гп Е й. 80.
Используя равенство ОО г -" =*П('- —,*,„,) ии! (см. стр. 74), получить равенства; ,.= +~- = +~-( + — 1, х ~-~ хз — хзпз х ~-~ ~х-лп х+лп/ ' «и! ии! х ф лй, й Е ,'Е. 2. 16х= — ~ з 2х 1 1 п 3. —. = — Ог ~( — 1) в! п х х хз — !ге из пи! +~',( 1) ( +, х!ехй, /гЕЖ. х х — хп х+ лпу ' п«1 329 ОО п »0 а«х сходится при всех х, (х( ф 1; если же ряд ~~! аи 1 — х« ии! п«1 расходится, то на множестве (х: )х( ф 1) ряды ~ а»хи и 1 1 ~ ( ! 1 ' в!пзх х' с-' 1,(х — лп)2 (х+ли)2 х / яй, Гг Е К. 81. Используя равенство вгп г в-г х гг — = Псов —, О<в<в 2» ' 2 »»1 (см.
задачу 561 стр. 220), доказать, что Е 1 х 1 1à — 18 — = — — с!8 х, О < х < —. 2» 2» 2 п»1 82. Используя равенства ОО со / х2 "=.и( —,*.), "=п( .;...) п=1 получить равенства 1 1. сй х = — + ~~1 х и=1 1 ! 2. — = — + "г вЬх х п»1 х2 + гг2п2 ' ( — 1)» 2х + взпз 3.
Суммирование числоиьвх рядов методами (С, 1) и Абеля Пусть дан ряд ~~1 а». Сопоставим ему последователь»»! 51+32+ +Я ность гг средних арифметических его и частичных сумм. Если существует 1пп и„= Я, то говорят, и пса что ряд ~~1 а» суммируется методом (С, 1) (методом средних п»1 арифметических) к числу Я или, короче, (С, 1)-суммируется к Я; если величина Я несущественна, то говорят: ряд ) о» (С, 1)-суммируем. Пусть дан ряд ~~! а«, Если ряд ~~! а«я« ' сходится на ин- ««1 и«1 тервале(0;1) н 1нп 2 а«я«1=Я, гоговорят,чторяд ~~! а« «-«1- «=1 «=1 суммируется методом Абеля к числу Я; если величина Я несущественна, то говорят: ряд ~» а«суммируем методом Абеля.
««1 83. Доказать, что ряд ~~! а«, сходящийся к числу Я, ««1 (С, 1)-суммяруется к тому же числу Я (регулярность (С, 1)-суммирования). 84. Доказать, что если для ряда ~ а«имеем 1пп Я„=+ос, и-о«о ««1 то 1пп а« =+оо. «!о« п 85. Показать, что 5« — а« = — 2 (и! — 1)а и ты2 86. Доказать, что из сходимости ряда ~ а«следует, что У« и«1 иа« = о(ои), и1 -++со. ««1 87. Принести пример последовательности (а«), не являющейся бесконечно малой, для которой ряд ~~! а«(С, 1)-сум- и=! мируем. о« 88. Доказать, что вз (С,1)-суммируемости ряда ~~! а« «=1 следует, что а« = о(и), и -+ +оо. /1~ 89. Пусть ряд ~~! а«(С,1)-суммируем и а« = о ~ — !, ии! и -+ оо. Пользуясь результатом задачи 85, доказать, что этот ряд сходится. 90.
Привести пример бесконечно малой последовательности (а«), для которой ряд ~~! а«расходится, но (С, 1)-сумми- «=1 руем. 331 !!1! Абеля и а» = о ~ — 1, и -+ оо, то ряд ~ ~а» сходится, »»! 98. Доказать, что если ряд ) а» суммируется методом »» »»! Абеля и а„> О, то ряд ~~! а„сходится. »»1 4. Беасонвчиые произведении 99. Пусть (р») и (д») — последовательности положительных чисел, для которых сходятся бесконечные произведения: П- р» и Ц д».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
