И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Решение. Применяя результат задачи 83 к ряду ОО тО (1ла„! — ((л — 1)а„т1), получим, что 1пп — ~~! (ла„( = О. От-ООО тл О=! и=! Возьмем произвольное е > О и найдем такое Ф Е ГО', Что дЛя всех тл > Гт! имеем: 1 е )а ( < — и — ~ ~1ла„! < —. 2'" п! 2 О=! 1 Пусть л = ! — —, тогда в силу неравенства Бернулли длл тт! п — ! 1! и — 1 и любого л б !!! имеем 1 — *" = 1 — ~1 — — ) < < —. т) т т Таким образом, для и! > !!' получаем: аа ~' апх~! л=! «=1 Л3 ех < ~~! 1а„1(1 — *" ')+ С < и=! «=гоп+1 1 е < — ~ 1иа„) + — ~ х" < — + —.
и!~ " 2и! ~ 2 2и! 1 — х„, «=1 ю=пь+1 откуда в силу соотношения 1пп х = 1 следует требуемое утверждение. 98. Следует нз результата задачи 94. 99. 1) Расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости бесконечного произведения. (й-) 1 ОЭ П р «ю! П П ° ПР-: П9- 2) Сходится к 3) Сходится к 4) Сходится к 5) Сходится к 100. Заметим, что как из сходимости П р„, так и из »=! условия критерия Коши следует существование таких чисел а>О,А>а, МЕ1Ч,что а а<Пр,<А, р=! (4) и! > М и и > М, поэтому будем использовать это соотношение как в доказательстве достаточности, так и в доказательстве необходимости условия критерия Коши. Достаточность.
Из соотношения (4) получаем, что для и > М+ 1 и любого натурального 2п справедливо неравенство «+ю и — ! П -П = !'и' ° ('й,) — ° ('й;) — ~ откуда в силу условия критерия Коши вытекает, что после- и довательность частичных произведений Р„= П рь удовлеь=! творяет критерию Коши сходимости последовательности и, следовательно, сходится. Необходимость. Возьмем произвольное число с > 0 и положим е! = ае, где число а определено в соотношении (4). В силу критерия Коши сходимости последовательности Р„= е = П рь найдется число )2! б Й такое, что для любых натуь=! ральных т и и > !!' справедливо неравенство )Р„+ — Р„!) < с !. Отсюда для и > и!ах12!!!, !!!) получаем, что .«+пз «+т =-»'- (и;)- "(и.)-, д=л а=а е+пь " - --- (и;) - « --"- ""-- у=и натуральных т и и > Мз, где !!!2 = тах1)1'!, !!!).
2' ь 101. Указание. Сравнить П р, и П р22, . !=! !=е 102. См. решение задачи 6. 104. Например, п ф т~, п,таей и — тз (ср. с задачей 8). 105. СлеДУет из неРавенства 0 < а и < а! !7~+" 2 и сходимости ряда ~~ д +". и,и»1 а!,1 106. Следует иэ неравенства 0 < а „ < б 1,1 107. Следует иэ неравенства 0 ( а,„п ( о +п и сходимости ряда ~ д~+". т, ~п! 108. Решение.
В силу интегрального признака сходимости простых рядов ряд ~~~ Да+ т, 6 Ь и) сходится и его сумпп! ма о'(т) удовлетворяет неравенству 0 < Я(т) < г'(а+ т). Из условия следует, что Р(х) — неотрицательная убывающая функция на [а;+со). Снова применяя интегральный признак сходимости простых рядов, получаем, что ряд ~~! э'(т) тп! сходится. Так как последовательность Да+ т,б+ и) неопп трицательная, то сходимость повторного ряда ~~! Я(т) = тп! ) ~~! 7 (а + т, 6+ и) эквивалентна сходимости двойного ип!и»1 ряда,» 7(а+ т,б+ и).
гп,и»1 т»1 1 <и<п1 пи! 1<э»<» 367 2' 2~ 1 109. Указание. Сравнить ~~! ~ а и н»» 2Р~оа2,2, пвп! пп! рпоопо и использовать то, что сходимость ряда с положительнымн членами эквивалентна ограниченности множества его частичных сумм.
110. Решение. Равенство а„,6«, ч а«,Ь« и симметрия рядов У! и -'с> = и!+п т+ п м=1 «=1 1« пс 1< и<« показывают, что достаточно провести доказательство сходимости только для ряда ох. Положим А = а!+аз+ ..+а«, < ипс6« < Ас тогда .'зз < <у = 2 — 6 . Неравенство Харди-Лани и л«1 ««1 и> л дау (см задачу 39) показывает, что ряд ~ ( —" ) сходится, и ««1 а неравенство Гельдера (см, задачу Зб), -- что сходится ряд Е А„ < а.Ь ' — Ьп, откуда и следует сходимость ряда п т+п л«1 л,псп! 112. Указание.
Записать разность Я«,+р п+ — 5' п в виде ( 1)псчп+с+>с! 1 !у Х~, ( 1)п+«+>и с«1 >«1 с=1>=1 р п + ~ ~ ~( — 1) +'+'а„,+1, с«1>«1 и применить результат задачи 111. 113. См. указание к задаче 1!2. 114 Указание. Использовать неравенство (О«6 .Г "(<)Ппя«((6 Л (, П>ЕИ ИЕИ т>1, П>1, и свойства абсолютно сходящих!и рядов. 115 Указание.
Доказать, что для (й,у) Е ( — а;а) х ( — 6;6) последовательность а„, пйспуп ограничена. Глава Н НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ИНТЕГРАЛЫ С ПАРАМЕТРОМ $1. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТКю РАЯ Определение А. !1угть и — собственная илн правая несобственнал (+оо) точка числовой прямой и функция /: [а;и) -ю К ннтсгрпруема в смысле Римана на кажлолю отрезке [а; Ь] С [а;и). Тогда, если существует прецгл 1юпю ~(х) ю1х, ью — у а то его величина обозначается ~ у(х) ю1х и пазываетгя несоб. а ственным интегралом функции у по промежутку [а; и) н функция у называется интегрируелщй и несобстненпом смысле на [а; м).
Сам символ / Дх) ю(х также называют песобггпенцым ина тегралом, Если ююредел (1) существует, то говорят, что данный интеграл сходится или является сходяпщмся интегралом. Если предел (1) не существует, то говорят, гго ланююый интеграл расходится или является расходящимся интегралом. Таким образом, вопрос о схолимостюю нсгобстненпого интеграла / 1(х) юЮх есть по гутн дела вопрюк о толю, лплягтся ли а символ ~ ~(х) юЮх определенным числом плн нгг, а ь Точно так же, рассматрщьчя 1юпю у(х) ююх, можно опрю- 3 — ю + делить сходююмоють и ню личину плп 1юаю.холююьюогз ь нею обгтнгн- 369 ного интеграла 1(х) «х, где ы —.
собственная или левая несобственная ( — оо) точка числовой прямой. Поскольку оба определения симметричны, то в<т утверждения в дальнейшем приводятся для интеграла вида /~(х)<!х. « Если ь< есть собственнал точка числовой прямой н 7' Е ь Е <с(а;и<], то/ Е 7![а;Ь] для всех Ь Е (ари) и !пп /(х) <!х = 6 — <ю — < а / /(х) <!х. Это свойство выражают так: несобственный а интеграл есть обобщение интеграла Римана, и этн интегралы непротиворечивы. Рассмотрилц насколько расширилась область примененнв операции интегрирования с введением понятия несобственного интеграла.
Во-первых, появляется возможность интегрирования по +ОЭ бесконечному промежутку. Символ ~ у(х) <!х не может быть а определен конструкцией Римана или Дарбу, поскольку в эти конструкции входит данна промежутков разбиения промежутка интегрирования, что подразумевает конечность этих промежутков и, следовательно, всего проа<ежутка. Во-вторых, появляется воэможность интегрировать неограниченные функции. Согласно определению Л для того, чтобы ставить вопрос о сходимости интеграла / /(х) Ых, необходимо, чтобы функ- а ция / была иптегрируема в сл<ысле 1'имапа на каждом отр<ок<.
(и; Ь] С ]а;ь<). Пусть (е„) — монотонно возрастающая по<.лсдователыюст<с е< > а н )<и< е„= ы. Тогда в силу критерия «-+сю 370 Лгбг171*1 функция / сн ранпчсна ня «аждо«1 отрезке [а;гя] и лгио кес ьтю Мн точек разрыва / на [а; сн] сеть множестпо ип ры нуль. Следовательно, функция / может быть неограничсна только в левой полуокрестности точки ы и множество М точек разрыва / на [пгм) и силу равсяства М = О М„есть я=1 множество меры пуль.
Обозпачикс симнолом (а, Ь) собственный илн несобственный промежуток, не уточняя, яяляетса ли он интсрналолс, полуинтерналом или отрезком, с возможным исключением конечного множества точек. Точки а и Ь будем называть концевыми точками промежутка (а, Ь) независимо от того, являются ли они собственными нли несобственными точками числе» вой прямой. Несобственную точку числовой прямой и такую собственную точку, что в любой левой или любой правой полуокресгности ее функция / неограничена, будем называть особыми точками функции /.
Пользуясь введенными терминами, заметим, что определение А есть определение несобственного интеграла функции / на промежутке (а,ы) в том случае, когда особой точкой функции / является только правая концевая точка промежутка (а,ы); а затем определен несобственный интеграл а /(я)Ия, если особой точкой функции / является только левая концевая гочка промежутка (ы, а). Онредглоынс В.
Пусть фучкция /: (о, Я -+ ЬЬ имеет на промежутке (а, Д) конечное число особых точек и Т: о = ао < а1 « ... и„ = 73 такое разбиение промежутка (о, Я, что ня каждом из (о, 1, н1), 1 < 1 < н, особой точкой функции / является только одна из конценых точск. Тогда Нчсункння / Е и[а;Ь) чогда и только ты дя, «огдя она огрнннчена на [я; Ь] н множсстно се точек рязрмна яя [о; 6) ~ сть множсстно мери нуль. 371 а) если каждый пз и<ггсгралои / ) (я) «л. ! . < (», << ж сходитсн, то интеграл / ((я) Ж назьнщется сходящимся (ии- Ф « теграл ((я) <(х сходится), его величина <кингается раиной< « <ь « Е / у(г) «л и функция у называетсн интегрируемой и ие<а <ь собственном смысле на (а, <<); <ь б) если хотя бы один из интегралон / ~(х) Ис расходится, Ф О < то интеграл / у(л) ия называется расходящимся (интеграл д < у(я) Ил расходится).
Это определение корректно, т. е. нн сходимость или расход димость интеграла / у(я) <~я, ни его величина в случае сходи« мости не зависят от выбора разбиения Т, удовлетворя<ощего сформулированному условию. Обратим внимание на то, что ныражения "функции / не интегрирусма в несобственном смысле на (о,<з)" и "нптс- Ф грал / < (х) «х расходитсн" ие полностью тожд< сз'и< нны. < ° Ф Ил<евно, говоря "интеграл / ((л) «и расходится", м<л прсд« полагаем и конечность множс<тна особых точек функции ( на (<ми), н иитегриругл<ость н < мысле Римана функции ( иа любом отрезке (а; 6] С (о, ~3), 0с годержащ< л< особых точек, и 372 ~тнсржд;и и только то, что хотя бы один пз яр< делон.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
