И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 42
Текст из файла (страница 42)
1 В данном примере можно было, сделав замену 1 = —, перейти +00 1 сов1 к интегралу / — е1, но поскольку проверка выполнения /,а условий признака Дирихле — Абеля оказалась несложной, осо. бой Необходимости в этом преобразовании нет. Пример 19. Исследовать сходимость интеграла в1п(х — х) ох.
е 1'1 Репленме. Функция 1= хе — х монотонна на луче ~-;+со, '1,2 ' 1 1 но обратная фувкцяя х = — + 171+ — на соответствующем Ч / 1 луче ~ — —;+ос вмеет неограниченную производную. По- 4' скольку непрерывность провэводной х, 'является одним из условий замены переменного в несобственном интеграле (см. пункт 4 в освовнык свойствах несобственного интеграла), то 1 1 й замену $ = хз — х, х = — + у1+ —, Ых = сделаем + ' 2 1/ 4' 1/41+1 в интеграле в1п(х — х) йх, так как на луче [1;+со) уже 1 все условия замены переменнон выполнены. Так как фувкцвя е1в(аз — х) непрерывна на [О; 1), следовательно, ннтегрируема в смысле Римана на [О;1], то сходнмость интеграла +оо +00 е1п(х — х) ях я сходимость янтегрзла е1п(хз — х) йх = е 1 397 +со ь вш — / й эквивалентны.
Функция Р(Ь) = в)п1б! = ,/ ~/41 + 1 о а = 1-сов Ь ограничена на [О;+со), функция у(1) = мо- ~/41+ 1 нотонна на [О;+со), 1пп у(С) = О, следовательно, интеграл $-о+оо 1,— вш й скодится в силу признаков Дирнхле — Абеля. Так т'44+1 о как ! в(п1 в(п 1 1 сов 21 ) ~%+ ! ~ЯГ+! 2 /41+ ! 2/47+ !' +со +оо й Г сов 21 интеграл раскодитсв, а интеграл / о! У 2~/44+ 1 ,/ 2~/4М + 1 о о +оо +оо 1' [в1п1[ Г сходится, то интеграл у я! = у [в(п(х — х)[ох рас- ,/ ~/41+ 1 +оо ходится.
Итак, интеграл в(п(хз — х) ах сходится условно. о Пример 20. Исследуем скодимость интеграла +оо (в1п х) 1п х ./аз+1 1 ь Функция г(Ь) = в(пхбх = сов! — совЬ ограничена на 1 !их ~ух 1 (1; оо). Неравенство < = показы~5'4 1 ~й'+~ /; 1.1 о 1пх влет, что функция у(х) = — стремится к нулю при /хэ -~ 1 х -+ +оо, ио ничего ие говорит о монотонности у(х). Так как у(х) не является алгебраической функцией, локальную монотонность которой слева в (+оо) мы считаем известной, то в решении данного примера проверка монотонности у(х) необходима.
1 — хз(1п х — 1) Действительно, соотношение д'(х) = пох(хз + 1)зуз казывает, что у(х) монотонна на [е;+со). Итак, все условия признаков Дирихле — Абеля выполнены, следовательно, инте- +СО (1и х) 8!п х грал ( 1Ьх сходится. Из соотношений: /,/ +1 1 ! (1п х) 8!и х ) (1п х) 8!пз х 1и х (!и х) сох 28 ~/Р+1 ~ 1ухз+1 2~/хг Ь1 2,/884-1 1пх 1 2~/хз ~. 1 4Х +ОО 1 ((1пх)8!пх следует, что интеграл ! ~ 11х расходятся, ибо ин- /~,Г +~ +СО Г 1!'х Г (!пх)со82х теграл / — расходится, а интеграл / 11х ско/ 4х ,I 2~(Г+ 1 1 .!.ОО 1 Г ()п х) 81п х дится. Итак, интеграл ~ дх сходится условно.
,ь+ 1 Пример 21. Исследуем скодимость интеграла +СО / (х 8!п х — соа х) СО8 Х 1!Х. 1 ь Функция г (Ь) = соах !Гх = 8!и Ь вЂ” сйп 1 ограничена на 1 1х8!П Х вЂ” ГО8Х ) 1 1 (1;+со). Неравенство ~ ~ ( — + — показываХ 8!П Х вЂ” СО8 Х ет, что функция у(х) = з стремится к нулю при х -+ +со, но функция у(х), очевидно, не является локально монотонной слева в (+оо). Таким образом, представление подынтегральной функции в виде произведения Х 8!П Х вЂ” СО8 Х СО8 Х.
х~ не дает возможности применить к данному интегралу признаки Дирихле — Абеля. Испробуем другой путь: представим цодынтегральную функцию в виде суммы: сов г(х ип г — сов л) вгв 2л сове х сове л 1 Йз неравенства 0 ~ з < —, (х > 1) следует, что интеграл .~-сю хз + а созз я в1п 2я Ил сходится абсолютно. К интегралу / Ил Х 1 1 уже легко применяютгя признаки Дирихле — Абеля. Предлагаем читателю самостоятельно доказать, что этот интеграл сходится условно. Следовательно, интеграл +се соз т(л в1 и я — соя л) цл 1 сходится условно. Читатель, наверное, обратил внимание, на параллелизм многих понятий и методов в теории рядов и несобственных интегралов, как, например, условная и абсолютная сходимость,теоремы сравнения, признаки Абеля †Дирих и т.
д. Эта взаимосвязь есть отражение взаимосвязи понятий предела последовательности (сумма ряда) и предела функции (несобственный интеграл). Как предел последовательности есть предел функции, определенной ца множестве натураль+оо ных чисел, так и ряд ~ а„является интегралом / /(х) Лл, е=! 1 где 1(л) = а„, ~ < л < и+1, и Е И.
В свою очередь, опрсделеь ние Гейне предела 1цп /у(л) Их приводит к утверждению; ь-и — / а если / 6 К[а; Ь) для любого [а;Ь[ С [арм), то для сходимости интеграла / )'(л)Ил необходимо и достаточно условие: О для любой монотонной последовательности Ь„-+ ы-, а = Ье, ь„ Е я ° Р А ~ ~ 1(*)Г* ' Л" Существенное -- но не принципиальное! — отличие теории рядов от теории несобственного интеграла — как и отличие теории предела последовательности от теории предела функции, — это то, что в первом случае параметр перехода к пределу меняется по дискретному множеству натуральных чисел с единственной предельной точкой (+оо), а во втором этот параметр меняется непрерывно и предельной (односторонней) точкой может быть любая точка расширенной числовой прямой.
Не имеют аналогов в теории несобственного интеграла те методы исследования сходимости рядов, которые существенно используют свойства натурального ряда— признаки Даламбера, Коши, Гаусса. В свою очередь, специфика несобственного интеграла проявляется при исследо- а ванин интегралов вида ~ у(х) 0г, где ~ Е Я[а;Ь] для любое го [а; Ь] С [а;ы) и ы — собственная точка числовой прямой.
Так, в этом случае для сходимости интеграла от степенной Ия функции: ! необходимым и достаточным является / (ы — я)г а ОО условие р < 1, а для сходимости аналогичного ряда У "-~ пР ~=1 условие р > 1. Обратим еще внимание на то, что из сходи+се мости — даже абсолютной — интеграла З~ /(л) ял (см. приа мер 9) не следует, что функция у(л) стремится к нулю при л -+ +оо, в то время как условие !пп а„= 0 необходимо для + сходимости ряда. Необходимо ясно и четко понимать как общность, так и особенности теории рядов и теоряи несобственных интегралов и не допускать ложных аналогий и неверных переносов утверждений из одной в другую.
$2 СОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ПАРАМЕТРА В функциональном ряде ~! и„(х) член ряда представляет «=1 собой функцию двух переменных: натурального числа и— индекса суммирования и параметра х из некоторого множесгва Х. Параллельным понятием в теории несобственных интегралов явлвется несобственный интеграл от функции двух переменных у(х,(), из которых одно является переменным интегрирования, а второе — параметром из некоторого множесгва Т. Такой интеграл определяется предельным переходом в интеграле Римана от у(х, () так, как сумма ряда — предельным переходом в последовательности конечных сумм (о«(х)).
Поэтому прежде, чем рассмотреть свойства несобственного интеграла, зависящего от параметра, необходимо рассмотреть свойства интеграла Римана, зависящего от параметра. Определение. Пусть для каждого ( б Т функция Дх,() интегрируема в смысле Римана на отрезке [а(();Ь(()]. Тогда ь(!) функция Р(() = / /(х,()'!(х называется собственным инте«(!) гралом, зависящим от параметра С Замечание 1. Термин "собственный интеграл, зависящий от параметра" принвт вместо термина "интеграл Римана, зависящий от параметра«в целях однородности терминологии.
Замечание 2. Собственным интегралом, зависящим от ь(!) параметра, называют и сам символ /(х,!) !(х. Естествен«(!) ной областью изменения ! в таком случае является совокупность тек значений «е, для которых )'(х, (е) б ««[а((е); Ь((р)!.
Теорема о непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра. Пусть Р = ((х, !): а < х < < Ь, с ( 1 < И), функции о(1) и )1(1) непрерывны на [с;а] и о[с; а] С [а;6), )У[с; а] С [а; Ь]. Тогда, есля у(х,1) Е С(0), др) то функция г"(1) = У(х,1)<)х определена и непрерывна на [с;о], а(ь) Теорема об пптегрпроввюш собственного интег- рала, эавпсищего от параметра. Пусть 0 = ((х,1): а < ь ( х ( 6, с ( 1 ( ь)). Если у(х,1) е С(0) и Р(1) = / Х(х, 1) ох, то В силу предыдущей теоремы функция Г(1) непрерывна я, тем более, янтегрируема на [с; И].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
