И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Критерий Коши равномарной сходимости интегрнлн. Интеграл (,1(л,1) </г гходится раиномсрно иа миожса стае Е тогда и только тогда, когда для любого положительного чигла е найдется такое число В, а ( В < ы, что для любой пары чисел 6<, 6/, удоилгтнорнющих неравенству В ( ( 6«6х < ы и л<обого 1 б Е справедливо неравенство Ь< 1//(',~«.) < .. Как и при рассмотрении с< мгйстиа функций, гледуст отличать ути< рждеиия "интеграл / Д/,1) <1/ сходится нераино< мерно на л<иожт<тис Е" и "опт<я рал / /(<ч1) <1я не < ходичтя < раином< рно на к<ноя<сотне Е". 1)ериог ути< рждснне подрниу- 416 ьн вает, что Е сс гв подмножество множества сходимостп интеграла, а второе допускает, что в некоторых (можгт быть, и м всех) точках лоюжестна Е интеграл / 7(л,1) Ия расходится.
в Следующие утверждения непосредственно следуют из определения равномерной сходнмостн интеграла. ы Если интегралы / Д(х,1) Йя и Э~Гг(я,1) Ых равномерно О а сходятся на множестве Е, то и интеграл (о~~(я,1) + Яз(г, 1)) Йх, О где а и Д вЂ” постоянные, равномерно сходится на множестве Е. Ы Если интеграа у(я, !) <Ь равномерно сходится на множес гве Е, то он равномерно сходится на любом подмножестве Е.
Если интеграл ~ у(я,$)'Их равномерно сходится на каждом из множеств Е1 и Ез, то он равномерно сходится на множестве Е = Еь 0 Ез. Это утверждение не переносится на бесконечное объединение множеств. Пример 33. Рассмотрим интеграл ~ с ы Ия. о а) Покажем, что па множестве Е„= ~1:1 > — ), и б г1, этот интеграл сходится равномерно. Действительно, есан 1 1 > —, то для любого 6 > О имеем неравенство и 1 -ь~ О< / е ыях=-е ь'<пс ь 417 Так как 1пп нс ° = О, то длн любого г > О существует 6-с+ сю такое В > О, что длн всех Ь > В нерио неравенство 0 < Ьсю + сю < / е с дя < с, т.
с. по определению интеграл / с *"Ня ь о сходится равномерно на Е„. б) Покажем, что на множестве %~=(1:! > 0),К~= [ ) Е„, Лю! интеграл сходится неравномерно. Для этого нужно указать такое положительное число с, что для любого В > 0 при не- которых значениях Ь > В и 1е > 0 справедливо неравенство +сю 1 е ьм с1х > с. Возьмем с = 1, Ь = !пах(В + 1, е) и 1е —— —. +оа Ь' Тогда / е ам Н = — е ма = — > 1, что и требовалось про!о е ь верить. Теорема о непрерывностн несобственного интег- рала, завнсявцего от параметра. Если семейство функ- ций у(в,1), я б [а;и), 1 Е Т, удовлетворяет условиям: 1) у(яс1) Е С([осы) х Т), ю 2) интеграл у(х,1) Ых сходится равномерно на Т, а ю то функция !(с) = / у(х,1) с1х непрерывна на Т.
Эта теорема являетгя переносом следствия 1 теоремы о перестановке двух предельных переходов. Переносом след- ствия 2 являетси следующее утверждение. Если семейство функций у(л,1), л е [псы), 1 Е [с; с1[, удо- влетворвет условиим: 1) у(х,1) Е С([а:,ы) х [с; с([), 2) для любого 1 б (с; Н) интеграл / Цх,1) дх сходится, а 3) интеграл у(х,с)с!я расходится, или ов сходится, но а 418 на [с;гГ] разрьгвна функция,Г(1) = / /(х,Г) Их, тогда ннтс- Ю а грал / Г(х,1) ггх сходится неравномерно на (г; г() а +се Г Их Пример 34.
Рассмотрим интеграл / —, ! Е [2; 10] / !! г' е Покажелц пользуясь критерием Коши, что зтрт интеграл схо- дится равномерно на [2;10]. Действятелыю, для любой па- ры Ьы 6ю 1 < Ьг < Ьз, и любого 1 Е [2; 10] имеет место нера- венство гч ь, Г Нх Г Ых 0 < ~ — < / = агськ Ьг — асс!к Ь,. 11+ -1 1+.
ь, ь, Поскольку функция ассах имеет предел прн г -+ +со, то в силу критерия Коши для любого г > 0 найдется такое число В > 1, что для любой пары 6г, Ьз из неравенства В < Ьг < Ьг следует неравенство 0 < агсгб Ьз — агс1к 6~ < г, ьа Г Их т. с. 0 < / — < е для В < Ьг < 6г н всех 1 Е [2; 10]. Так / 1+х ь, 1 как функция Г(х, Г) = непрерывна на множестве [2; 10] 1+ х' Г Их н интеграл ~, сходится равномерно на [2;10], то на + х' 4ОО Их отрезке [2;10] функция Г(1) = ~ непрерывна. 1+ х' о +ОО Г е '*соя!я Пример 35.
1'ассмотрим интеграл Г! г!х. Длл 1 с — ы любого 1 > 0 существует такое хе(1), что — соя!я < — ы 1 « — — для всех х > хе(1). Следовательно, в силу теорсх хг + ОР Г е 'есоз1х мы сравнения интеграл / г1х сходится абсолютно 1 419 + ОО 1 ОО Г с "О сов б.л Г |1г для всех ! > О. Интеграл же 1 |Гл = / — рас- 1 1 Г е ' гоа|г ходится.
Следовательно, интеграл ! — — !Ь сходится Х | на луче ! > О н на любом интервале (О; а) неравномерно. Пример 36. Рассмотрим интеграл +ОО е-!О а!н !л |!и, 1>О. ! с "а|в|с Для любого ! > О существует такое ла(!), что ( е ' ! ( — ( — длн всех и > ие(1). Следовательно, в силу тсорех х +ОО е '~з|в1х мы сравнения интеграл ! |1л сходится абсолютно 1 длл всех ! > О.
В отличие от предыдущего примера интеграл +ОО Г Г 'а!и!х сходится. Покажем, что функции.1(!) = ~ |(и раз! рывна на [О;+оо), откуда следует, что интеграл +ОО с ' а!вгх |!и ! сходится на (О;+оо) и, тем более, на [О;+ос) и| ра|ин|мсрно. !<ак уже установлено, ./(О) = О. Если! > О, то Г е "я|пи где К = / Ии (сходимость этого интеграла уже 1 установлена). Функция „в|п и е" —, и>0, (о(и) = и 1, и=0 ннтсгрнруема на [О; 1) в смысле Римана, откуда получаем, что 1 |-оо |-|о+ у и у и о о 1Лтак, для доказательства разрывносч н функции У(() па (О; 1] (точнее, справа в нуле) осталось показать, что +сп / |(иф О. о Применяя теорему о среднем, получаем, что для любого натурального и имеет место равенство 2п(п+! ) Е-и Я|П и >(и = и 2пп п(2п+! ) 2п(п+1) е "в|пи Г е пя)пи с (' е 4> Ии+ / >(и=2 — — 2 —, и ./ и 2пп п(2п+1) где с> Е (2лп; |г(2п+ 1)) н сз б (л(2п+ 1);2л(о+ 1)).
Так как е функция — монотонно убывает н 4! ( ~2, то 2 зп(п+1) с "я!пи l >(и > 0 и 2пп для любого и Е Й. е и Так как функцяя — пе определена прн и = О, то оцсп- 421 Г' е 313«и ку интеграла Ии проведем другим способом. Из и о 2и неравенств — > О, и Е (О; «г), и юпи > —, и Е (О; «г/2), и получаем, что и)2 "о«««и /о«пи / оши Ии>е "/ — «/и>г «~ — о««>е и о о о з|Г ! зл Так как ~ и е г/ < " — = е )п2, то окончаи и Ю л тельно имеелг, что лл з / — я ' е о е "в«пи /е "в«пи "е лгпи и и и о о «г > е "(л — )и 2) > О. Объединяя все полученные неравенства, выводим, что +со зю +оа — м ' / — лепи е " огп и / е " в«п и Ии= / г«и+ ~ и= и ,/ и и о о зл зг(а+1) е-и =l '.
и о / что и требовалось установить. Замечание. Неравномерную сходимость на (О,+оо) им+со е гевгпФх теграла ггх можно было доказать и с помошью х критерия Коши, но в данном примере главной целью было +со /е' ошлх показать разрывность функции,l(л) = / Нх, а зао ключение о неравномерной сходимости интеграла есть следствие этого основного факта. 1) для любого [а; Ь[ С [арв) функция 1(х, 1е) б В[а; Ь) при любом 1е б Т; 2) существует функция Ьс [а;ы) -+ % такая, что при всех х Е [прм], 1 Е Т справедливо неравенство [Дх,1)[ < у(х) (мажорантная функция семейства Дх,1) на Т) и интеграл д(х) 4х сходится. а Тогда интеграл ~ ~(х,1)с(х сходится абсолютно и равное мерно на множестве Т.
! Их Пример 38. Локаэать, что интеграл о сходится равномерно иа положительной полуоси. 1 Решение. Функция У(х,1о) = непре- Д з(1 + з1з) рывна на множестве [О; 1) при любом 1е Е [О;+ос), следовательно, для любого Ь, 0 < Ь < 1, функция /(х, 1е) 6 В[0; Ь[. Так 1 1 как 0< < для любого 1 б [О;+со) (1+ хз12)Л вЂ” хЪ /1 — хз 1 Их и интеграла ~ сходится, то в силу признака Всйер/ л=з а щтрвсса данный интеграл сходится равномерно на положительной полуоси. Лризпак Вейерщтрасса представляет собой аналог теоремы сравнения для несобственных интегралов, независящих от перел~стра. Существенное отличие этих двух утверждений состоит в то, что в теореме сравнения трсбовалогь выполнение неравенства Щх)[ < у(х) локально слева в то <кс ы, а в признаке Всйерщтрасса требуется выполнение неравенства Щх, 1) [ < у(х) как для всех 1 Е Т, так и для всех х Е [а ям).
Дело в том, что если д(х) Е В[а; ы) н неравенство [1(х,1)) < у(х) для каждого 1 б Т выполнено для хе(1) < х < ы, т. г. леван полуокрестность точки ы, в которой это пгравснство гправедлпво, зависит от значения 1, то интеграл люжгт сводиться неравномерно. Лрпведем гоотнпгствуюгцнй црнмср, 1 / 11в х1' Пример 39. Рассмотрим интеграл ( йл, если е а) Т = (О; А), О < Л < +оо, н б) Т = (О;+оо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
