И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Пример 10. Исследовать сходнмость интеграла +О> х4 — 2хэ — 1 Их. хо+ 4хз+ 3 о Решение. Прежде всего заметим, что поскольку фувкцвя — 2х — 1 4 2(х) = о з РаЦиональна, то ее пеРвообРазнал выРахо+ 4хз+ 3 жается в виде элементарной функцвн. Наяда зто выражение, можно было бы ве только решить вопрос о сходнмости данного интеграла, но н в случае положительного решения найти его величину. Но вычисление первообразной здесь технически громоздко,а задача определеяия величины интеграла ве ставится, испитому вместо нахождения и исследования первообразной воспользуемся признаком сравненвя. Так как х — 2х — 1 4 2 единственной особой точкой функция у(х) = о з на х'+ 4хз+ 3 +се Г ~!х (О;+со) является несобственная точка +оэ, интеграл ( ( 2 х — 2х — 1 1 4 2 1 сходится н — прн х -+ +со, то в салу призна+со Г х — 2х — 1 4 2 к сравнения интеграл / з Их сходится.
я+х+ о Пример 11. Исследовать сходимость интеграла +ЕЮ Их 2Ух4+ 8хо о 1 о .Фу ь ло= имеет на промеФзэзз у <0~+ ~д ж:ю +.сд 389 обходимо отдельно рассмотреть сходимость каждого из ино +оо и длв некоторого а Е тегралож о о Е (О;+оо). Пользуясь признаком сравнения я соотношениями 1 1 1 1 - — пря з -+ +оо,, - —,з при х -+ О, у 4+ц о 2ез о/хоо.1.язо зо/з ~Ь получаем, что иытеграл сходытся, а иытеграл / (О < а < +оо) расходится. Таким образом, пя К и+Вяз о Ия — Р- расходится. 1 о'отн* Пример 12. Исследовать сходимость интеграла +оо /~ з' е 1 Резжежже.
Функция имеет на промежутке (О;+со) ~/я+ з~ две особые точки — собственную яе = О н несобственную точку (+оо). Следовательно, необходимо отдельно рассмоо ( треть сходимость каждого нз интегралов ~ и / „,~,3 +оо а / для некоторого а Е (О;+со). Из с/я+. у Пользуясь призывном сравнения, из соотношеный 1 1 1 1 — при з -+ пт, — при г -~ + й+з ~й ' ~я+ ' получаем, что каждый нэ этих интегралов сходится, т. е. схо+оо е Пример 13. Зависимость периода колебаний Т математического маятника от его длины Ь и начального угла отклонения от вертикали ро выражается формулой Т=2 — 2 Показать, что этот интеграл сходится при О ( ро ( з.
Решемве. На промежутке (О; л) функция о)п аа — в)п 2 г имеет одну особую точку оо = ро. Так как 1 2 1/2 (У Уо) о~аз ио — о1пз и (а)п Уо)(Уо р) ~2 ее Ф ь~ р' О(П ГЛ вЂ” Внз сходится. Если представить маятник как невесомый стержень, один конец которого закреплен в шарнире без трения, а второй, с закрепленной на нем точечной массой, свободен, то можно говорить и о начальных углах ро — — О и 22о = л. При этом маятник качаться вообще не будет, ибо в первом случае он находится в устойчивом, а во втором — в неустойчивом равновесии. Если Ро -+ О+, то Т -+ О, а если о»о -+ з'-, то Т -+ +со, т.
е. по мере приближения начального положения маятника к состоянию неустойчивого равновесия период его колебаний неограниченно растет. Пример 14. Исследовать сходимость интеграла +с» е ~Их. о Решение. Функцня Дл) = е 'У» имеет на промежутке (О» рсо) одну особую точку (+со). Поскольку функция 391 /(х) = е ~/Ь прн х -+ +ос не эквивалентна никакой степенной функции, то применяем не признак сравнения, а теорему 1 сравнения. Для любого а > О неравенство О < е ~/У <— ха справедливо, если х > В(а) (обратите внимание, что значение В зависит от а). Если а < 1, то такая оценка неинформа- +СЮ ях тнвна — интеграл // — расходится, а этот факт ничего не / х» 1 говорит о поведении интеграла от меньшей функции.
Зна+00 ях чит, нужно взять такое значение а, чтобы интеграл хе 1 1 сходился, тогда оценка О < е '/* < — будет информативха на. Поскольку единственное ограничение на а есть условие а > О, то имеем право взять а = 2, и тогда из неравенства —,/е е '/' < —, х > В(2), в силу теоремы сравнения получим, что +<о интеграл / е ~/* ях сходится. о Прамер 15. Исследовать сходимость интеграла «/2 1п е!п х ~/х.
о Решенже. Подынтегральная функция /(х) =!пи!п х неположительна и имеет на (О; -) одну особую точку хе = О. В е/2 силу линейности скодимость интеграла 1пя!й хИх эквнвае лентна сходимости интеграла от неотрицательной функции а/2 «/2 )1пе!их) Нх = — 1пе!п хая. Так как аргумент логарифо о ма при х -+ О является бесконечно малой величиной, то функция )! па!п х( не эквивалентна никакой степенной функции ар- 392 1 гумента логарифма, т. е, функции вида —., '1.
Поэтому еш' х применим не признак сравнения, а теорему сравнения. Для 1 любого числа а > О неравенство (1пз(п х) < —,, справедлив(п' х во, если О < х < В(а) (величина В завнсыт ото). Если а > 1, 1 1 то из соотношения,, —, х -+ О, и признака срав- 81П х х« «/2 1 пения следует, что интеграл у! —,, Ых расходится — эта ,/ в(п'х а оценка ыеинформативиа, поскольку раскодвмость интеграла от большой функции ничего не говорит о поведении интеграла от меньшей. Значит, надо взять такое значение а, чтобы «/з Г Их 1 интеграл у! —. сходился, тогда оценка (1пе(пх( < / вш'х в!и х е будет информативна. Поскольку единственное ограничение 1 ва а есть условие а > О то имеем право положить а = —.
Ф 2 1 1 Тогда вз соотношеняя — —, х -+ О н признака сран,/е!их 4*' «12 / Их пения получим, что интеграл у! — сходится, а из не~я(п х о равенства (!пв!пх( < — тт= н теоремв сравненвя пояучим ~/вюп х окончательно, что сходится интеграл 1п еш х Их. е Обратим внимание ыа то, что в ходе решения использовалось соотношение эквивалентыоств вши х, х -+ О, а ые 1пв(пх 1пх, х -+ О+. Из соотношения у(х) у(х), х -+ а, вообще говоря, не следует соотношение Й(у(х)) Ь(у(х)), х -+ а; такое утверждение в каждом конкретном случае требует обоснования. Соотношение !па(в х !и х, х -+ О+ верно (проверьте), но его обоснование было бы взлншним усложне- У!3 О1е а ж о ~ — ), о -«о+, дл«любого а > о. о 393 пнем решения примера.
Пример 16. Исследуем сходимость интеграла +аа / хссах 40+ хз а хсовх Функция /(х) = 40+ хз имеет на (О;+со) одну особую точку (+оо) п не сохраняет знак локально слева в этой точке. Теоретически надо было бы начать с анализа абсолютх 1 ной скодпмостп. данного интеграла, но так как 40+ хз х х -+ +оо, то простевшая оценка )/(х)( ( не дает воэ- 40+ хз +аа можностп утвермдать, что интеграл / Щх)) «Ь сходится. о Как уме говорилось, в данном случае проще начать с проверки выполнения условяй прнзнаков Абеля — Дирпхле.
Дейь стввтельно, функцня Р(Ь) = / совках = ешЬ ограничена о ва [О;+со), рациональная функция у(х) =, локаль- 40+ хз но монотонна слева в точке (+со) (у(х) монотонна на луче х ) ~Г400) н !нп у(х) = О. Итак, в силу прнзнака Днрнкле— а-а+аа +аа Абеля интеграл з Нх сходится. ,/ 40+ хз Для всследовання абсолютном скоднмости данного интеграла прнменнм укаэанную выше оценку )сове) ) соезх. Имеем ! хсоех ~ хсоезх х 1 1 1 40+хе~ 40+ хз 40+хе 1,2 2 Дословно повторяя приведенные выше рассундеипя, получв+са / хсое2х ем, что интеграл ( з ях сходится.
Соотношенне / 2(40+ ) о 1 —, х -+ +оо, н признак сравнения показывают, +оо х что интеграл / ььх расходится. Следов тельн~, 2(40+ хз) о +оо Г хсовз х интеграл / з ь1х расходится, откуда в снлу теоремы 1 40+ хз в Г ~ хсовх сравнения следует, что расходится ннтегрвл ( Нх, / ~40+ хз в +оо хсовх т.
е. интеграл / Йх сходится условно. / 40+ хз о Пример 17. Исследуем сходнмость ннтеграла l ..' в!п х /з+ ь о в)п х Решение. Функция у(х) = =- == имеет на (О;+со) ~(д~+ хь две особые точки хв = 0 и (+оо), следовательно, необходкмо отдельно рассмотреть сходнмость каждого вз интегралов а +о» в(п х Г в1пх ььх н / Их для некоторого о Е (О;+со). /х5 ~. ь / /з~. ь 0 а 81пх 1 Начнем с простейших сценок. Так как — прн чу~+ х~ х -+ 0 н подынтегрвльнвя функция неотрйцательна, то в силу а в(п х признака сравнения интеграл / Их сходится абсоl л+. о лют но.
в(пх ~ 1 1 1 Так как н — прн /~3 4 ьь ~ ~ /хна. хь 7х34 хь хь/2 х -+ +ос, то в силу теоремы и прнзнака сравнения инте- в(п х грал Ых сходится. Следовательно, интеграл х +х а 395 З)ПХ ) З)П Х ~ )/х сходится, т. е. нигегрзл / )/х ,Гхз,. хз ~ / /хз + л о о сходится абсолютно 1 Г соз —, Пример 18.
Исследуем сходимость интеграла / — *)/х. хз/г соз— о Функция Г(х) = — * на (О; 1) имеет одну особую точхз/з ку хз — — О. Начнем опять с проверки условий признаков сов — 1 1 Абеля — Дирихле, поскольку простейшая оценка — * <— .з/г ' хз/з не дает воэможности утверждать о сходимостн (абсолютной) данного интеграла. Особой точкой подынтегральной функции является левый конец промежутка интегрирования, поэтому и условия в пря- знаках Абеля — Дирихле симметрично изменяются. Функция 1 1 1 .
1 Р(/)) = / — сов — Ых = з)п — — з)п1 ограничена на (О;1), ь ь функция у(х) = ~/х монотонна на (О; 1] и 1пп у(х) = О, следо- 1 О )) соз — / 1 1 1 вательно, интеграл — * )/х = ч/х — соз †)/х сходится. ,) з/з / ' л о е соз -1 сов — 1+ соз— 1) 21 2 Применяя оценку — а~ > — а = хз/з ~ ' хз/з 2хз/з , видим, что ин- 1 Г) соз — ) 1 Гсов —, теграл / ~ — ~ )1х расходится, так как интеграл — / — )/х /~ з/з~ 2/ х,/з о о ! 1 Г)/х сходится, а интеграл — / — расходится. Итак, интеграл )) ха/2 1 о сов— 1 — *)/х сходится условно. з/з о Замечание. При исследованни сходимости интегралов а /))*) ' 9)*))аг ° /))*) )а)*))а*, а з г) а а кальво монотонна слева в точке м и р(х) ~ +ос при х -+ ш —, часто делают замену: р(х) = $ с тем, чтобы прийти к инте+00 +ОО 0 У" ОО ' а:)гю)'ЖО 1У'О) а а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
