И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 39
Текст из файла (страница 39)
нхо«н <цнх и оп1ндгленпс нссобстщ нного интеграла по промежутку (о; <, о,) < концевой особой то <кой, пс существует. 11«.ря ж< ппе "функции / нс п<мтгрпрусма ня (о; 17) и н<х об«" н< ином сл<ыслс" люжет, кроме того, обозначать и то, что лщо. жсстно особых точек функции / на (о; Щ бесконечно, н то, что / пс ннтегрирусл<а в смысле 1'пь<апа па некоторол< отрезке (а; 6) С (о;13), не содержащем особых точек функции / (в силу критерия Лебсга это зквнвалеитно тому, что множество точек разрыва / па (и; 6) н, тем более, па (и; Я, не есть множество меры нуль). +Оо Их Пример 1.
Рассмотрим интеграл /1 —. Функция 1+ .з 1 о /(х) = на (О;+ос) имеет одну концевую особую точ- 1+ хз ку - - несобственную точку ы = +ос. Так как ь «х — и 1ип /1 <(х = 1ип агсьх 6 = —, ь-<+о«1 + хз ь-<+со 2 о +о« / <1 то по определению интеграл ~ — сходится и сго велик / 1+ 3 чина равна — . о 2 +СО Пример 2. Рассмотрим интеграл вв х Нх. Функция о /(х) = в(п х на (Оь Рсо) имеет только однУ копцснУю огобУю точку -- несобственную точку ь< = +оо, Так как ь 1пп 1 выл х<(х = 1пп ( — сов6) ь-<+ ю < ь-<+со о ьг нс сущсстиуст, то по определению интеграл / я<ихНх расходится.
773 Пример 3. Рассмотрплл пптггразьп +с 1 +СЮ ) 7' —. 6) 7' —, ) 1 о о Начнсль г пункта а). На проллежуткг (1;+со) функция 1 /(л) = — пмггч одну особую точку — иесобствгнпукл точку (+со). Так как 1 1п —, р= 1, и 0<о <Ь <+ос, 1 1 Ил (1 — Ьл-г), р 71 1, — — 1 — р — !пЬ, р=1, л / Ыл откуда следует, что интеграл /1 — сходится при р < ! и рагходптся прн р ~ 1.
Нсргходпм к пункту в). Разбиение Т: (О, 1, +ос) представляет промежуток (О; +со) как обьсдпнгппс двух промгжут- 1 кон (О; 1) и (1;+ск), иа каждом пз которлохфункцни /(и) =— з!' нмгст пг более одной особой точки, прп и м зта точка копгч+м / л7» ная. Согласно опргдглсншо Н интеграл / — сходится тогда /,г о 374 +лг ь / Ик, Гл(л то интеграл / — = 6т / — сходится при р ) 1 и раг- 7 лг ь-+ / лг 1 1 ходится при р < 1. Нсреходилл к пункту б), На промежутке (О;1) функция 1 /(л) = — интегрируема в смысле Римана при р < 0 н имеет кг особую точку .со = О при р ) О, Пользуясь приведенным выше равенством, получаем, что ! Чс Г «л 1 «л и только тогда, когда гходнтгя оба пптстрала / — — п / /з /л а ! Пс рвый пэ зтпх интегралов расходится п1ш р > 1, и!!!Оп!1! —.
врн р < 1, таким образом, одповрглнппо оба спи питстрала +сс / «и не сходятся пи прн каком значении р. Итак, шпстрал ) /.! расходитгя прп лксбом значении р. +с р л говн — вша Пример 4. Рассмотрим пят!трал «и. тз хссах — вш я Функция /(я) = на промежутке (О;+оо) илсгет две особыс точки — собгтненпую точку га = О п псгобгтпснную точку (+ос). 1ьвзбиеннс! Т: (О, я, +оо) представляет проллежуток (О;+со) как объединение двух промежутков (О; и) и (сг;+со), на каждом из которых функция 7(з) ил!ест голько одну концсную особую точку. Так как ясовя — вися /вся я1 ««~ то ь хссах — в!пу с В1ВЬ в!па с «и= ~ — — — ), О<и<6<+со.
зз ~ ь ° )' а Отссода получаем, что а ь +гс +ос зговн-в!не . Р /нсп з ! вся Ь с/г.= 1ш! ) с1~ — — -) .—. !пп — = О. хз +.-) ~ л) Ь л 375 Г хсоах — ми х Итак, по определению В интеграл /, <77 < хо- О днтся, поскольку сходятся оба интеграла « +<а Х ГОБ 7.' — БНЧ Х Х СОБ Х вЂ” БП< 7' < Х И ! 2 < Х Х2 Г хсоБх — Бп!х и при этом / <!х = — 1+ 0 = — !.
.2 о г <Гх П имер 5. Рассмотрим интеграл ( —.. 11а промс- Р Б жутке (О;2) функция Г'(х) = — имеет одну, но уже нс 1 — х' концевую особую точку ха = 1. По определению В для схо- 2 Г <Гх димости интеграла / необходима сходимо<сгь обоих ! 1 2 с г Г 1* Г !. нн'гсгралов: . и 1 — х, 1 — х а „! Г <!х 1 — Ь Коли 0 ( 6 < 1, то / = !и —. Так как функция — !+ь о Р'(6) = 1п — не имеет предела при Ь -1 1 —, то, следоса.
1+Ь 1 Г <!х тельно, интеграл /, расходится. Итак, независимо ог Б г Их Г <Гх поведения интеграла / , интеграл ! , расходнт./ ! ся. 1 о ! — х Звмочанио. Функция Г7(х) = !и — определена при т = 0 1+х 1 н х = 2 н !'(2) — Г7(О) = 1и —. Если не обратить н<гнмапис па 3 1 то, что функция Дх) = — неограничсна и, тгм < аммм, ,.г 37б неюптгриру< ма па (О; 2), то, форл<альпо применив формулу 11ьн<топа Л<йбннца, лп<жно сделать неверный вывод: иптс«х 1 грал ( . сходнтсл н его величина равна 1п —. ( 1 н 3 а Внимание! Прежде чем применить форл<улу 11ьютопа Лейбница к интегралу / 7'(х) <1х, необходимо убедиться, О что функция 7(х) интегрируел<а в смысл Римана на (а;6). Пример б.
Функция Дирихле (О, х — иррационально, [ 1, х — рационально пе интегрируема п смысле Римана ни на каком отрезке [а; 6) с С [О; 1[. Следовательно, функция л7(х) не иптегрируема и в несобственном смысле на (О; 1). Множество функций, интегрируемых в несобственном смысле на промежутке (а;6) (собственном или несобственном), обозначим черил 11(а;Ь).
Елце раз обратим внимание, что для собственного промежутка (а; 6) мяожесгво В[а; 6] интегрируемых в смысле Римана на [а; 6) функций есть подмножество 1<л(а; Ь). Осповжые свожстви песобствеивого интеграла. 1. Если 7' Е Н(а; Ь) и у б Л(а; Ь), то для любых постоянных о, Д функция ау+ 1уу б Й(а;6) и л ь <.«*<+««*<«*=.1'«*«+<1'«*< л г « ° < ( Другимн словами, несобственный интеграл есть линейный функционал иа линейном пространство Й(а;6). СлеДствие. Если У'(х) = 7<(х) + + ун(х) н интегРалы / 7<(х) Их, 1 < л' < д — 1, сходятся, а интеграл / 1 (х) Нх л а 377 расходится, то интеграл 7 (х) Их расходит( я. а 2.
Если 7' б Й(а; 6) и г б (а; 6), то 7' б Й(п; г), 7' б Й(г; 6) н с ь ь у(х) (ьх+ / 7(х) (ьх = / 7(х) Ых (адднтивпогть). О с а 3. Если у б Й(а;6), у б Я(а; Ь) и 7(х) ( у(х) для всех х б (а; 6), то ь / у(х) ь(х < / у(х) (Ь (монотонность интеграла). О О Следствие. Если У б Й(а; Ь) и [7 [ б Й(а; 6), то ь ь 1~ Л*) *~ с ) (7(*)(с* с а 4. Если ы — единственная особая точка функции Г на (а; ы) и 7 б Й(а>ь)), то для любой строго монотонной и непрерывно дифференцируемой на [о;(у) функции (а: [а;)7) -+ [а; и) функция (7 о()ь)((ь б Й(о;)У) н Ю )7 7' х(*) с* = 7' у(гн))г() с' а а (замена переменного в несобственном интеграле). 5.
Если функции 7' [асм) -ь Е и у: [а;ы) ь Е непрерывно ДиффеРенЦиРУемЫ ца [агм) и сУЩествУет !)нн 7(х)У(х), то ьльинтегралы 7(х)у (х) ()х и ) (х)у(х) Их одновременно гхо- Ф В дятся нли расходятся, и в случае их сходимогги имеет место равенство 1 Л*)с (*) г = 7(*)с(*)~ — 7' l (*)з(*) с . с а 77В )(г)д(л)~ = !пп (/(л)9(л)) — ((п)у(а) (интегрирование по частям в несобствсннох< интеграле).
Из рассмотренных выше примеров видно, что если перно- обраэная функция Р: (и;6) + К для функции /: (а;6) — 3 Й аналитически представлена как элементарная функция, то исследование сходимости и вычисление несобственного ннь теграла / /(л) <3л сводится к ранее изученному вопросу суа шествования и вычислении предела элементарной функции. Поэтому основным вопросом в этом разделе являет< я нсслс- дованис сходилшсти несобственного интеграла в том случас, когда такое представление нервоообразной или невозможно нлн достаточно громоздко.
Заметим, что условие: множество точек разрыва функ- ции 3' на промежутке (а; 6) сеть множество мсры нуль -- не- обходимо и достаточно для того, чтобы функция 3 была ин- тегрирусма в смысле Римана на любом отрезке (а; 73] С (а; 6), не содержащем особых точек 3. Поскольку функции, не обла- дающие этим свойством илн имеющие бесконечное множество особых точек на (а;Ь), заведомо не интегрируемы в несоб- ственном смысле на (а;6), го в дальнейшем изложении, не оговаривая этого специально, будем считать, что все рассма- триваемые функции имеют на промежутке интегрирования конечное множсство особых точек н что множсстно то н.к разрыва этих функций на даннол< промежутке есть л<ноже- сзно меры нуль. Поскольку несобственный интеграл <"(л) <7х сходится а то< да н только тогда, когда сходятся нсс состанлякицн«' то а, интегралы нида / /(т) 4х, где особой точкой функции 7' «, на (о, <,а;) явля<"г я только одна иэ точек а«, л;, а схо- днмость несобственного кит<трала этого нида гнммстрн шо 379 опрсдслягтгя как для л<чкн<, так н длн нравов конц<чн<й точки, то дал< пгйпп<г у щи Вид< пня и гоотнонн ппн «целях н1нптоты изложения формулируем для инте< цала вида / /(х) <!х, а где / Е )а[о; 6] для нссх [а; 6] С [и,м), сели гп< цннльно пс оговорено противное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
