И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Что можно сказать о сходимости бесконеч«»! »»1 »»»» »» ных произведений: 1) ) ) (р„+ 9„); 2) Д р», а > 0; 3) Д вЂ”; »»! »»! »»! Р» ') П --'й) П"— "' «»!»»! 100. Доказать критерий Коши сходимости бесконечного произведения: условие — для любого е > 0 найдется число ЛГ(е) б !'1 такое, что для любых натуральных чисел гп »+пз и п > ЛГ(е) справедливо неравенство (Д р„) — 1 < е,— е»» необходимо и достаточно для сходимости бесконечного произведения и р», если р» > О, 1п Е И. »»! 101. Пусть последовательность (р„) монотонна. Доказать, что бесконечные произведения ) ) р„и Ц рм сходятся »»! »»» или расходятся одновременно. 102.
Пусть последовательность (р») монотонна, р» > О, ~п Е И, и произведение Д р„ сходится. Доказать, что »»! /1'3 1и р» = о ~ — 1, и -+ +со. 3,п,/' 333 103. Пусть рп > 1, ввп Е И, и произведение П рп сходится. пи! Доказать, что 1пп и 1п рп = О. и-+оо 104. Привести пример последовательности (рп) такой, что рп > 1, произведение П рп сходится и !пп п!при > О. п-в в» п»1 5. Динйныв рады Для последовательности с двумя индексами О „, и1, п Е И, введем обозначения: в-!1,0(11т,п) = 11т,и 11т+1,л, '-!0,1(ат,п) = Овп,л Овп,».!-1в в3в1,1(ат,и) 11вл,и От!-1,» Опв,»Е! + От» 1,и»1 = Ь1,0(от,и) — 1Ъ0,!(От+1,и). Последовательность О „называется убывающей, если Л1,0(лт,») > 0 и в»а,!(О~ п) > 0 для всех тп, и Е И.
Последовательность О „называется убывающей в строгом смысле, если !3! 0(ет п) > О, ова,!(От, в) > 0 н в!1!(от п) > 0 длЯ всех т,п0 И. Для двойных сумм имеет место преобразование Харди, аналогичное преобразованию Абеля простых сумм: пв л ° л-1 п-! О, "6! = ~ ) 0, 1з!!(Ь, )+ в»1 3»1 в»1 1»1 в в-1 и-1 + „))' Лв,»1-!1,0(Ьв,и) + ~' 0 вз~!0,1(Ьтов) + ат,»Ьпв,п, в»1 1»1 в ГДЕ 0, = ~~В ~~В Ор р. 0»!р»1 105.
Пусть О п > 0,»1,п Е И, и существует 0 < 1 такое, О„, п+! От+! ! что ' < д и ' < 0 для всех гп, и Е И. Доказать, Оп!,» Овп ! Чта РЯД ) О п СХОДнтСЯ л,»»1 334 ал!,л л!,и а!л,! Ь„„, < Ь ' для всех п»,п Е И. Доказать, что из сходимости л,! лл Ол ряда ) Ь,„л следует сходимость ряда "» а„, „. лз,лл! !л,пл! 107. Пусть а,„л > О, о», и Е И, и существует такое д ( 1, что +,",/ал,п ( 4 ДлЯ всех п»,п Е )Ч. Доказать, что РЯД Е а„, „ сходится. л1,лл! 108. Пусть 7(х, у) > 0 на [а;+со) х [6;+ос). Доказать, что из условий 1) при любом хо Е [а;+со) функция 7(хе, у) убывает; 2) при любом уе Е [6;+оо) функция 1(х, уе) убывает; 3) при любом х Е [а;+со) определена функцня Ф(х) = 7(х,у) Иу; ь 4) интеграл / Ф(х)»(х сходится, л следует сходимость ряда "» Да + и», 6+ и).
л!,и= ! 109. Пусть а л > О, п»,п Е )»(, и последовательность а „вЂ” убывающая. Доказат»л что ряды ал!,и и ~~» 2 азл,з! уп,п=! ючле одновременно сходятся или расходятся. 110. Пусть (ал) и (Ьл) — две неотрицательные последовательности, р > 1, д = †. Пользуясь результатами Р р — 1 задач 39 и Зб, доказать, что из сходимостя рядов ~~» а~ и лл! 335 по 6'„' следует сходимость ряда 5 та+ и «=1 п~,«=1 111.
Пусть последовательности а и и 6„, и удовлетворяют условиям: пю и 1) существует такое число А, что 1"~ ~~ а! < А для !ии! ти! !) ~~ а и соево соли)3, п«и«1 2) ~ а и сов иа в!п и/3; гп,««! 3) 3 )а и в!п пав!пи!3 т,«и! сходятся при любых а ф хй, Д ~ лд, Й, д Е л,. 114. Пусть радиус сходимости каждого из степенных рядов ) а«в« и ~~~ 6«хи равен 1. Доказать, что для всех в, ии! пи! и пп пп и !х! <1, сходлтсл оба РЯда ~~! а„~ 6 хми и ~~! 6 ~~! а«хи «и! «1«1 ти! ии! и суммы их равны. 115. Пусть ряд ~~ аппп,с~у" сходится в точке (хв,ув).
псп= ! Обозначим через Я„и й радиусы сходимосги рядов 336 всех ти, и Е И; 2) последовательность 6 „— убывающая в узком смысле. т п Доказать, что ~~ !~ а,б 6, < А6! ! для всех т,и Е й. !«! 3«! !12. Пусть последовательность а „вЂ” убывающая в узком смысле. Используя результат задачи 111, показать, что если а ! — + О, ти — + +со, и а! и -+ О, и -+ +оо, то ряд ! —.1) +«а „сходится. т,«и! 113. Пусть последовательность а „вЂ” убывающая в узком смысле и !ип а,„! = О, 1пп а! „= О.
Доказать, что ПЪ-~,Ю иппп ряды а „л"' и ~ ~а „у" соответственно. Положим Е -." и=1 а = ппп((се(, нп й„), Ь = нпп()ук(, )п( Я,„). н П Доказать, что ряд ~~~ а„, „с™у" абсолютно сходится в точпз,а=1 ке (с,у) Е ( — а;а) х ( — 6;Ь). ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ ! 1 3, Например, агч ! — — —, агг = — —, Ч б И, Ч Ч ! !1г 1 4. Например, а» = —. Здесь г» ) / пг — +! »+! +со 1 1' !!х 1 Ь.
Например, а» = —. Здесь 0 < г„< ) пэ ,/ хе 2»г 6. Указание. ДляпронзвольногопбИрассмотреть ~~~ а . »(М 7. Решение. Так как последовательность а»' 1п) монотонна, то из сходимости ряда ~ а„" ~ — ) следует, г,п) »»1 е.—.1 / 1 и ° п~ г-1 Умножая обе части этого соотношения на л»», получаем, что !. !1 /-У1~~ а» = о а»' ( — ), п — г оо, откуда и следует требуемое г,п) утверждение. 8. Например, а» = —, афпг, а„= —, и = юг, п,ига И.
г п е» 9. Сходимость ряда у следует нз неравенства О< и» !» — 1 !» «/㻠— ! г/㻠— ! = (~/г» ! — г/г»»). б 2(,,(г» ! — ц!г»). 㻠— ! 10. Решение. Из условна следует, что для любых и Е И г и» и р Е И имеем неравенство: а»+р < —. Отсюда получаем, 2г ' 1 во-первых, что О < а„< —, и, следовательно, ряд у а„ ««и сходится, во-втормх, что » - » 2 1 2,«» и, следовательно, — > 1, поэтому ряд у — расходится. ч я« 2. у„- 11. Решение.
Иэ соотношения — + — +. + — !> е, и!ЕЙ,9бй,9>т, Я Я е! Яе Яе С» и расходимости ряда ~~! а„следует, что при фиксирован»=! ном т /а ае 1 1пп ~ — + .+ — ~ ) 1, ,-+-~я„" я,/- ' откуда в силу критерия Коши вытекает расходимость ряда »=! 12. Указание: Я«.~! > а„2". 13. Решение.
Положим пе — — 1 и определим числа яе, 9 Е 1ч', условием яе = пни!я: а > ое !, Ь„< Ь„,,]. Так как Ь„-! О+ при я -+ +со, то числа пе определены для всех 9 Е И и пе 1 +ос. Положим Д, = Ь„,, пе < в < пее!. Если ае < я < пе»!, то справедливы неравенства О < Д, = Ь„, < Ь„ о» е» з», в Π— = — « — '.
Первое из них показывает, что ряд Ф«Ь«Ь« Е я» 4, сходится, а второе — что 1пп — = О. «-+с» 1! »«! 00 14. Указание. Если ряд ~~! !а„~ сходится, то Ь„= 1 для »=! всех я Е Й; если этот ряд расходится, то утверждение дока- зывается аналогично теореме Рнмаиа. 15. Утверждение доказывается аналогично теореме Рима- на. 339 17. Утверждение следует из соотношений: 1пп Р,„= 1пп М„, = +оо, 5'„, = Р,„— Д!„,. ттт-~+оэ пз-~+оэ 18 а). Указание. Сравнить последовательности Яв, и Яр, е е где Я„= ~~ ар, Я„= ~2'ав.. р=1 т=! 18 б).
Решение. 1. Из условии следует, что для любых натуральных тп и р справедливо соотношение па+в и„+1 — и„< и„+! — < ттт+ р ите+р+1 и„е! < иттт+рЕ1 иттт иттт+р+! иттт < итп+! и! Если последовательность (и„) неограничена, то при фикси- рованном тп и,тт+р+1 — итт, 1пп =1, р-тоо и +рр1 (тпе+1 а„,+р ~( а„, —, л й Я. ат откуда в силу соотношения (1) и критерия Коши следует раси„ ходимость ряда ~ 1 — — ~.
Если последовательность и„+1) (и„) ограничена, то она сходится, следовательно, в силу критерия Коши для любого е > О найдется такое Л!'(е) б !р, что О < и +ре! — и < е и1 длл всех натУРальных Р и нт > л/(е), откуда в силу соотношения (1) следует, что для этих р и пт ттт+р и„ имеем: О < ~ (1 — — ) < е и в силу критерия Коши ряд тт=тт + ( и„ (1 — — ! сходится.
Пункт 2) доказывается аналогнчи„+! ) но. 19, Утверждение следует из неравенства 20 Указание. Использовать результат задачи 19 и признак Гаусса. 21. Решение. Из условия следует, что а = е" !"1! Я!П71 1 — о„> О. Если о„> —, а > 1, то имеем: и!п11 — а„) < и 1 < — ио„< — е!пи, откуда следует, что О < а„< —, а > 1, ие и ряд ~ а„сходится. Если О < а„<, О < а < 1, для и сс=! и > 177е, то а„— 7 О, и -+ +со, и,'следовательно, найдУтса та— а! !пи кие числа а1, О < а1 < 1, и 177! б И, что !п(1 — а„) > и 1 для и > %1. Отсюда получаем, что а„> —, О < а1 < 1, иес и > 17'1, и ряд ~ а„расходится.
Если же существует бес77=1 конечная подпоследовательность 711, для которой а„„< О, то расходимость ряда ~ ~а„следует из того, что !пп а„> 1 СС - ° СС7 22. Решение. Проведем доказательство для случая Ь < 1. Доказательство для 6 > ! проводится аналогично. Из условия !пп и —" — 1 — 1 !пи=6 1 следует существование таких чисел е, О < е < —, и 7771, 2' М1 К !71, Что дЛЯ и > Ф! справедливо неравенство и — — 1 — 1 !пи<1 — е а 1 1 — е и, следовательно, — < 1+ — + —, и > Ф1 Положим ае+1 и и !пи 1 СС7 а„=,, и > 2 Так как ряд ~а„расходится, то в и(1п и)1-с/2 ' п=2 силу результата задачи 19 для доказательства расходимости 341 ряда ~ а„достаточно найти такое число М, М Е И, что прн л=1 и > М справедливо неравенство (2) аа Ы а„+1 Возьмем такое д!з Е Й, чтобы для и > д!э выполнялось нера- венство !и 1+ — ) > ~1 — -! —.
Тогда для и > Фх имеем, что ои 1 1п(и + 1) 1 — $ р (~., ') 1,(1 в †;)' †,' ) ! 1 — е >1+ — + и и1пи Отсюда следует справедливость неравенства (2) прн и > шах(Мы Мз), что в завершает доказательство. 1 1 23. Например, а„= —, И„= — —. из' и ( 1)и+! 24.
Например, а„= —, И„= и и+1 1 26. Например, п„= —. и 27. Решение. Так как для данного ряда о 3.звсл — — О, т = 2, 3,..., 1 та+ их — 4 и1з + Зги — 4 0<5„< —, 1пш' 2 <и< 2 го этот ряд сходится н его сумма равна нулю. Так как а„ -+ О, и -+ оо,то для д < 0 последовательность ()а„)ч а!кп а„) не является бесконечно малой, таким образом, ряд ~~~ (а„(чв!6па„расходятся. Пусть д > О, 4 Ф 1, и ею! щз+и 6 , ги = 2, 3,..., н яе!е! — соответствующая ча- 342 стичная сумма ряда ~~! (а„)ее!8па„. Записав в сумме я!11 п=! сначала все положительные, а затем все отрицательные слагаемые, получим: 1 Для любого !1 > О, а ф 1, разность 1 — —, и = 2, 3,..., не и 1 меняет знака и суп1ествует такое Се > О, что 1 — — > Се для всех и = 2, 3,....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
