И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Если два семейства ~с(х,1) н /з(х,1) равномерно сходятся на множестве Е прн х -+ хе, то любая нх линейная комбинация о/с(х,С)+Сиз(х, 1), где а и Д вЂ” постоянные, равномерно сходится на Е прн х -+ хе. 2. Если семейство у(х,1) равномерно сходится на множестве Е прн х — ~ хе, то зто семейство равномерно сходится прн х -4 хе на любом подмножестве Е. 3.
Если семейство у(х,1) равномерно сходится на каждом из множеств Ес н Ез пРи х -+ хе, то это семейство пРн х — > хе схоДитсЯ РавномеРно на множестве Ес О Ез. Вннманне! Это утверждение не персноснтсв на бесконечное объединение множеств, как показывает Пржмвр 28. Рассмотрим семейство у(х С) =, х > О, С б К. Для любого С б К имеем: !пп /(х,1) = 1. Из неравенства е-+О+ ! а(п Сх ! ! Сзхз ! 1 — ~ < ~ — ~ = (С х ! следует, что если п б ВС, е > О, ! а)пСх! (1! < и н 0 < х < ~( †, то 11 — — ~ < е. Таким обра- ~/нз~ зом, на множестве Е„= (1, (1! < и) семейство у(х,С) ско- 410 дитсв к р(С) = С при х -+ О+ рвююмерио.
11окажем, что пв множестве И = О Е„семейство /(х, С) гходитсл к р(С) при ь=! х — Ф хв неравнолберно. Длл зтого нужно указать такое положительное число ге, что для любого числа в > О найдутся числа хб, О < хб < в, и Сб б й, длл которых верно неравенство вн! Сбб'б ( (б — 1 > вв. Деиствительно, пусть хб = ппп с —; 1 и 2 Сб = —, тогда имеем, что хб в!в Сбхб Сбхб — вбп Сбгб 2 — вбп 2 1 Сб — — » — 1. хб хб хб хб вгл Сх Итак, семейство б(х,С) = сходитсл при х -+ О+ к р(С) = С равномерно на каждом из лбножеств Е„= (С: )С) < и) ОЭ и неравномерно на множестве 1й = '( ) Е„. п=! На практике удобно пользоваться следуюпвбм критерием — фактически переформулировкой определенна равномерной сходнмости: семейство Дх, С), х б Х, С б Е, сходится при х — б хв равномерно на Е тогда и только тогда, когда 1нп впр Щх„С) — ~р(С)( = О. в-+во беи Кратерай Коша ранаомераой сходамоста семейства функций.
Семейство /(х, С), х Е Х, С б Т, равномерно сходится при х -+ хв на множестве Е С Т тогда и только тогда, когда длл любого положительного числа в > О найдется такая окрестность СС(хв) точки хв, что для любой пары х! с У(хе) С1 Х хз с У(хе) С1Х и всех С е Е справедливо неравенство Ц(в!, С) — у(хз, С)( < с. Если критерий Кощи йс выполнен для семейства /(х,С), г б Х, С б Е, при х -+ хв, т. е. можно указать такое положительное число в, что длл лбобой окрестности СС(хв) точки хв нвйдутсл точки хб, х! из проколотой окрсстности Р(хе) и значение Се 6 Е, длв которых верно неравенегво (Дхб,бе)— 411 — /(хз, 1е) [ > е, то говорят, что семенстно /(х, 1) пе сходится равномерно на Е прн г -к хе Обратите вннманне, что говоря»с емсйстзю /(х,1) сходят- ся неравномерно прн х — з хе на Е" мы утверждаем гущество- ваззззе предела 1ззп /(х,С) = с»(1) для всех 1 б Е.
Гонора жс » >»» »семейство /(х,1) не сходятся равпокзсрно на Е прн х -+ хе", мы нс утверждаем, что мнолсество Г входит в множестно сходнмостн семейства /(х, 1) прн х — к хе. Только, если сходи- кзость /(х,1) прн х — з хе на Е заранес известна нлп доказана, утверждення " /(х,1) прн х -з хе сходнчтя на Е неравно- мерно" и "/(х,з) прн х — з хе не сходится равномерно на Е" эквивалентны. Теорема о перестановке двух предельных перехо- дов.
Пусть /(х,1) — семейство функций, х с Х, 1 с Т, хе— предельнал точка Х, зе — предельная точка Т. Если 1) для любого х б Х существует 1ззп /(х,1) = зЬ(х), з "» з» 2) прн х — з хе семейство /(х,1) сходится равномерно на Т к р(1), то существуют оба предела 1пп ззз(х) = 1пн (!пп /(х,1)) н » — з» »-з»» з-зз» 1по зЗ»(1) = 1пп ( 1пп /(х,е)) н справедливо равенство з-»з» з-~з»»-ч»» 1зпз зарх) = 1ззп р(1). » -з»» з-»з Следствие 1. Пусть семейство функций /(х,1), х Е Х, 1 б Т, удовлетворяет условиям: 1) для любого х Е Х функцня /(х,1) непрерывна па Т; 2) семейство /(х,1) прн х — з хе сходптся равномерно на Т к уз(1).
Тогда фупкцня зд(1) непрерывна на Т. Следствие 2. Пусть семейство функций /(х,з), х, б Х, 1 Е [а; Ь), удовлетворвет услонням: 1) для любого х б Х фупкцня /(х,1) непрерывна на [а; Ь); 2) семейство /(х, С) прн х -+ хе сходится на (и; Ь) к сзз(1). Тогда, если предел функцнн /(х, а) прн х -+ хе не суще- ствует нлн пе существует предел ззз(1) прн 1 — з а+, нлн оба предела существуют, но 1нп /(х,а) ф 1пп ззз(1), то семсй- » Ф»» з -з»+ ство /(х,1) сходится неравномерно на (а; Ь) прн х — з хе.
412 Так, например, в силу следствия 2 семейство С (х, С) = ьйп С', л > О, С > О, расслютрснное в примере, сходится на ннт< реале (О; Ц и. тем более, на отрезке [О; Ц исравномгрно, поскольку при любом х > 0 функция е[пСх непрерывна па [О; Ц, а предельная функция Г О, 0<х<1, р(С)=~. ' (в[в[, х = 1 разрывна на (О; Ц, Пример 29. Рассмотрим семейство функций /(х, С) = с ' сове(С + 1), х Е К, С Е [[С. При любом х Е % функция е ' соя х(1+1) непрерывна па [О; Ц. Если х -+ — оо, то прн С Е (О; 1) имеем, чго е" -л О, и, сле- довательно, р(С) = [пп е*'созх(С+ 1) = О.
В то же время Г -Ф вЂ” ОО функция с'(х, 0) = саз х нс имеет предела при х -+ — оз. Следо- вательно, в силу следствия 2 семейство С(х, С) = ег' сов х(С+! ) сходится при х -л — оо на интервале (О; 1) неравномерно. Если семейство Лх, С), х Е Х, С Е Т, сходится при х — + хе к непрерывной на Т функции р(С) и для любого х Е Х функ- ции С (х, С) непрерывны иа Т, то сходимость может быть как равномерной,так и неравномерной. Пример 30.
Рассмотрим два семейсгва ~с(х, С) = Се х > О, С Е [О; Ц и Сз(х, С) = хСе™, х > О, С Е [О; Ц. Так как /л(х, 0) = Сз(х, 0) = О, Чх > О, а для С > 0 при х -+ +оо имеем, что С = о(е *~) и хС = о(е * ), то как семейство ус(х, С), так и семейство Сз(х, С) при х -+ +со сходячтл к функции р(С) = О, С Е [О; Ц. Покажем, что сходимость семейства /~(х, С) на от- резке [О; Ц равномерная, а семейства Ях, С) — неравномер- нав.
Действительно, так как для любого х > О, /с(х, 0) = О, [пп Ях,С) = 0 и (/с)', = е «'(! — хС), то при х > 1 име- л -л+оэ см, что впр [/л(х,С)[ = /, х,— ~1 = —, и соотнолпениг ~с[о,л[ [ л, хг'1 !пп ьпр [/с(х, С)[ = 0 показывает, что ул(х, С) = Се " ~ 0 г-++с;о ге[ел! при х -+ +со на [О; Ц, 413 Функция /з(х,1) = !хе " при любом х > ! принимает ! максималыюе на [О; Ц значение также и точке ! = — .
Но в этом случае величина внр [/з(х,!)[ = / )х,— ]~ = — нг ~е(о !1 !. х с являетсв бесконечно малой при х -+ +ос, откуда следует, что /з(х,!) = !хс '* -+ 0 при х -+ +со на [О; Ц неравномерно. Теорема Дним. Пусть семейство функций /(.с,(), х б Х, 1 Е Т, удовлетворяет условиям: 1) множество Т есть компакт; 2) длл любого х Е Х функция /(х, !) непрерывна на Т; 3) для любого ! Е Т функция /(х,!) монотонна на Х; 4) предельная функция у(!) = !пп /(х,!) определена н ~ +Жа непрерывна на Т, Тогда /(х, 1) ':$ !с(Ц при х -+ хе на 7'. Пример 31. Рассмотрим семейство функций 1 /(х, !) = асс!я —, .с > О, ! Е [О; Ц, С+ х' Отрезок [О; Ц вЂ” компакт.
Для любого хе > 0 функция 1 /(х,1) = агс!и непрерывна па [О; Ц. Для любого !е Е Т !+хе функция /(х,!е) = ехс!я монотонна на луче х > О. 1е + х Так как при ! ф 0 )пп /(х,!) = агс!к — и 1нн /(х,О) = «-че+ ! х-+О+ 1 и — 1)ьч агс!я — = —, то при х -+ О+ предельной функцией ~о+ х 2' семейства /(х,1) является функция ю ю 1 агс!я-, ! 6 (О;Ц, !я(1) = 2' 1=0, определенная и непрерывная на [О; Ц. Итак, все условия теоремы Дини выполнены и, следовательно, /(х,!):1 !с(!) при х -+ хо иа [О; Ц.
Теорема Дини не является полным обращением теоремы о непрерывности предельной функции равномерно сходящегося семейства функций — и ней введены дополнитсльныс 414 требования камнактности л»нажества знач< ннй аврал»стра и монотонности функции /(х,1), определяющей семейства, относительно перел»анной х. Эт»» условия существенна<.
Так, например, семейство /(х, !) = х(е '"', рассмотренное и примере 30, сходитси при х — » +аа к непрерывной на [О; 1] функции р(1) = 0 неравномерно. Здесь л»нажество значений параметра — компакт, функция /(хо,1) непрерывна на [О; 1] нри любол» хо > О, предельная функция»>(1) = 0 анредсл<на н цсирерыина на [О;1]. Нару»»»е»>о только условие 3 теоремы Дини — функция /(х,.1, ) нри любол» !о б (О;1] це монотонна на положительной полуоси. Пример 32. Рассмотрим семейство функций /(х,!) =, х ) О, 1 ) О.
1 1 + х(' Для любого хо ) 0 функцив /(хо,1) = — непрерывна на 1+ хо1 1о Т = (1;1 > 0). Для любого 1о > 0 функция /(х,1о) = 1+ з!о монотонна на Х = (х:х > 0). Предельная 4>у>»к»»»»н»о(1) = = !нн /(х,1) >к!непрерывна наТ. Накажем, что/(х,!) — >у(!) *. о+ цри х -л О+ на Т неравномерно. Действительно, при каждом хо!з хо > 0 разность !в неограничсна на поло- 1+ хо1 1+ хо! жительной полуос»», т. е. условие 1ци (ьч»р [/(х, !) — »>(1)!) = 0 > ->о+ <ет не выполнено. Здесь нарушено условие 1 тсоремь» Дини— множество значений параметра ис компакт. Заметим, что на любом отрезке [О;а) выполнены уже все условия теорсл»ы Дини, следовательно, /(л,1) .:1 <р(1) ири х -+ О+ на [О;о].
Если лщожсством значений и< ременной х является множества Г( натуральных чисел, то семейстна /(х, !) представляет собой последовательность /(и, 1). В дальнейшем для краткости вместо "несобственный интеграл, зависящий от иарамстра" там, где зто яс»к> из кан. текста, будем говорить просто "интеграл".
Определенна. Пусть миож< ство Т есть множества сходи- 415 мо<то ипччтряла / ((е,1) <1г и Е Г 'I'. Ег.ш для як<бого ио- 1 ложпт< льиого ш< ла . гущ<ч"и<у< т сысое ии ло Н. я ( В < и, что для иг< х 6: Н ( 6 ( и и ас< х 1 б 1 сирии< длине пераиен-- /(/«< .. ° ' ' °; °: 1'/<г, « Ь О сходится ранпомерно <а Е Зал<егим, что раинол<срна/< сходам<нть на Е иитю рала ((л,1) <1х сеть равномерная сходнмогть семсйгтиа функций а ь а а Следующие утисрждення являются перефразироакой свойств равномерно н неравномерно сходящихся семейств функций, ря< смотренных вью<с, на глучай нссибстиснного ннтгграла, аанигя<цего от параметра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
