И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Покажем, что в случае а) данный интеграл сходитсл равномерно, пользуясь признаком Вейерштрасса. Действительно, из нсравенства О < 1 < А следует, что 11пх1' < шах(1,11пх1"). 1 + 11п х)л Таким образом, функция у(х) = является мажо)1и х)' рвотной функцией семейства у(х,1) = длл 1 Е (О;А). л Так как существует такое Х, что 1 Ь 11пх~ < — для х б б (О; Х), то функция у(х) локально справа в точке'О удовле- 1 творяет неравенству О < у(х) < —, следовательно, схозуч ' 1 днтся интеграл ~у(х) ох, и в силу признака Вейерштрасса е / ~1пх1' интеграл ~ — вх сходится равномерно па (О; А). ! д е Покажем, что в случае б) данный интеграл скодитса не- равномерно.
Действительно, скодимость этого интеграла длл любого 1 б (О;+оо) показана в пункте а). Далее, для любой 1 пары Ьм Ьз из неравенства О < Ь~ < 6з < — следует перавепь, е ство / — Их > 2)1пЬз('(~фр — ьЯ). Если числа Ь| н Ьз У ~1„~~с ! д фиксированы, то 1пп 2)!пйз('(~4~ — ь/Ь|) = +со, следова- гельно, для любого М > О и любой пары Ь|, Ьз, удовлетворн- 1 ющей неравенству О < Ь~ < Ьз < —, найдется такое значение ь, е Г1!п4 1 б (О;+оо), что ~ — дх > М. В силу критернл Кшпн l л ь, 1 Г! !их)' отсюда.
следует, что интеграл / Их сходится неравномерно на луче (О;+со). Теперь обратим внимание на то, что для любого СЕ(0;+ос) ) !их)~ 1 неравенство 0 « — — верно, если 0 < х < хе(С), т. е. зСл )!пх)ч ! для каждого С б (О;+со) оценка 0 « — „справедхз/4 лина локально справа в точке О. Но, как было показано, из 1 этого факта и интегрируемосги функции у(х) = — на [О; 1] ! Г )!пх!' не следует равномерной сходимоств интеграла ~ Их на о луче (О;+со) Нх Пример 40. Рассмотрим интеграл 1, если — С)з+ 1' а) С б (О; А) я б) С б (О; +со).
Покажем, пользуясь признаком Вейерштрасса, что в случае а) данный интеграл сходится равномерно. Если С~ < Сз, 1 1 то неравенство з < з верно только на (. — С,)з + 1 ( — С,)з + 1 лУче х > с(СНСз), гДе С~ < с(Сс, Сз) < Сз (см. Рис. !2), Таким 1 образом, функция ус(х) = не является мажоран(х — А)з+ 1 1 той семейства Г(х, С) = для С б (О; А). Поскольку (х — С)з+ 1 для любого С Е (О;+оо) имеем, что 0 < Г(х, С) < 1, то функция уз(х) = 1 является мажорантой семейства Г(х, С) для С 6 (О; А) +се +о> д ~е(0~- ), Р ! у ы~*= / ыР ° е е ся. Возьмем функцию 1, 0<я<А, Их) = х>А. (х — А)з + 1' Эта функция уже удовлетворяет обоим условиям: она являет- 1 ск мвморзвтой семейства у(х,1) = для $ Е (О; А) и (х — С)з+1 1 шггеграл / у(х) вх сходится, так как у(х) — прв х -+ +ео.
з 0 Покамем, что в случае б) данныи вптеграл сходится не- равномерно, пользуясь критерием Коши. Действительно, схо- димость зтого интеграла для любого 1 б (О;+со) показана я пункте а). Далее, так как максимальное значение функция 1 /(х,т) = принимает в точке х = 1, то для того, (х — Ф)з+ 1 ь, йх чтобы получать интеграл большов величины ,1 (х -1)' + 1 ь, естественно взять чвсла Ьы Ьз так, чтобы Ь| < $ < Ьз. Пусть Ьь — — Ф-1, Ьз — — 1+1, тогда / =/ — =- их 1 йз з' (х — 1)з+1 / зз+1 2 ь, -1 Итак, для любого В > О найдется значение с = В + 2 на луче (О;+оо) и числа Ь| — — 1 — 1 = В+ 1, Ьз = М+ 1 = В+ 3 ь, Иг такие, что В < Ь1 < бз н = —,, т. с.
инте'(.-)" -" +ю ь, Ня грал сходится неравномерно на луче (О;+ос). Г( о В обоих приведенных примерах неравномернал сходи- мость интеграла на соответствующем множестве доказыва- лась с помощью критерия Коши. Разумеется, если интеграл /Дя,1) Ия сходится неравно- а мерно на множестве Т, то никакая мажорантная функция у(х) семейства /(л, 1), 1 б Т, пе интегрируема на [а; ы). Но неинте- грируемость наиболее точной мажорантпой функции д(я) = вор[У(я,Е)[ иа [арж) еще нс обозначает, что интеграл $ет у(в,1) Ия не сходится равномерно на Т. Во-первых, если а интеграл /~(я, 1) пя при некоторых 1 Е Т сходится услова но, то его равномерная сходимость заведомо не может быть установлена с помощью признака Вейерштрасса, поскольку из выполнения условий зтого признака следует абсолютная сходимость рассматриваемого интеграла на Т, Во-вторых, даже в случае абсолютной и равномерной сходнмости на мно- жестве Т интеграла ( Дх, 1) Нл функция у(я) = япр [Ля, 1)[ нет О может не интегрироваться на [а;ы).
Приведем соответству- ющий пример. +со с~ь Пример 41. Рассмотрим интеграл (~, — ~)з — 1 ~' ( е О; -~. Множество значений 1 не является компактом. ~ ' г~' Доопрсделим функцию у(я,1) = ., х > О, Ф Е (М вЂ” 1)з — (пй' Л 6 О, — ~, положив У(я, О) = О для всех я > О. Тогда к интс- 4 гралу ~ !(х, <) Ух и!иьмгиими тсо!и и< /(оии. Д< игтгнг«льио. !! ли<еж< гт<а< зин н ивй ! отрезок [О; -! — г«гь компакт. функция ((х, !) и< отрицательна иа миоиегтве [О:+со) х ~0; -~, исрага гитно О ( !(ай !) < —, показывает, что ~(х,!) игирс1и 2 рыниа иа «том множестве, функция оирсделгна и непрерывна на 10; -~.
С«едовавтльио, ии гг- !1 грал / <'(х, !) <!х сходит<.я раиномерно на 0 — ~ и, тем боя< е, ! '2~ Г С<!х / интеграл ! , сходится равномерно иа ~О; -~ ,/ (! — !)' — !вС ' (, 'г~ а !3 то жг нремя для х ) 2 имсгм иеран< истаа ( !< ! у( ') = р У(х, !) > У (х, — ) = <е(а <) х х!в.г т.
г. функции а(х) локально глана и +со говиадагт г функци< й, и, так как интеграл ! — ра<хо<ргг< я, то рагхо:с!из „,! з !вх < дитгя и ии птрал з( у(х) <(х. а Признак АГ>сля- Дирихле равномерной сходимости интегрнлн, зависящего от пнриметри. Пусть фуги<вин Ц<ьЦ. х Е [а;и<), 1 Е 7', н у(х,!) х Е [а.ы), ! Е Т, ири кв- ждом 1 б / п<ютгрпругл<ы и < лплгл<' Римвоз и,< зк<б< л< от!н.<ы [и;/<) С [а;л). Еглн прп:<тол< ньппмн<в<я одна пз <<иду<они<к пар углош<й: ь а<) функция /' (/<, 1) = / / (х, 1) </х огрпппч<на пз [и;и<) к /, « 6<) прп любом 1 б /' функция д(х1) монотонна па [а<ы) и е(х,1):$0 прн х -ь ы — на Т; ав) интеграл / /(х,1) </х гкодптсн равномерно па Т, а бз) функция у(х,/) ограничена па [арм) х Т и прп любом 1 Е Т монотонна на [а; ь<).
Тогда имгеграл ~/(х,/)у(х,1) </х сходичтя равномерно на Т. Так жс, как и для несобственных интегралов, независящих от параметра, область применения признака Абеля — Дирихле, в основном, неабсолютпо сходюциегя интегралы. При этом иногда одна нлп обе функции /(х,/), //(х,1) не зависят от 1. Тогда соогвстствующая сходимо<т<ь естественно, является рапномерной па рассматриваемом множестве значении параметра 1. / / вш /х Пример 42. Показать, что интеграл / </х схоь<'T+ ! дится равномерно на [О; !]. ! Решенвье.
Положим /(х,/) = /вш/х и д(х,/) =- /х2+ ! Функция у(х, 1) монотонна на [О; +со) и, погкольку:<та функцияя не зависит от 1, у(х, /) ~ 0 при х — ь +се па [О; !). Далее, ь ь / <<,,«<,/ = /~«*<* = > — «««<. Итак, выполнены условия а) п 6) признака Аб<ля - Дирих- ч<< /в!н/х ле п, гледоват< льно, интеграл / — </«ходится раппа- '' l,.з+! '' е мерно на [О; !]. / !хсов!х Пример 43. Показать, что интеграл / х дх схо- / .-Ь!х 1 днтся равнольсрно на [О;+ос). Решение. Положим !'(я,!) = !соя!я н у(х,!) = —.
*4 !з Функция й(с, !) монотонна на [1;+ос) прн любом ! е [О;+со), 1 а неравенство 0 ( у(я,!) < —, я о [1;+со), ! б [О;+оо), 2~/х ' показывает, что у(я, !) 4 0 при я -ь +сю на [О; +оо). Далее, !соь!яНя = [в1пЬ! — я!я![(2, !е[Оь Ьоо), Ьс[1;+сю). 1 Итак, выполнены условия а) н б) прнзяака Абеля — Дирихле и, +ао Г !асов!* следовательно, интеграл ! Ыя сходится рапнольерно / +! на [О;+со). +се соя я Пример 44. Показать, что интеграл ! — агс10 !я Ыя / г*-! 1 сходится равномерно на [О; 1]. агс10 !я Решение. Если положить у (х, !) =сов * н у(я, !) = ь ь 2я — ! ' .р.
° /~л,,ж)~,! = /~ *ь/ < 2 р ь* ь ь ! е [О;1] н Ь Е [1;+со), но монотонность функция й(я,!) не очевидна — и числитель, и знаменатель при ! > 0 растут с ростом я — следовательно, требуется дополнительное нсслсдованнг. В данном случае прогце представить подынтесов я гральную функцию в анде произведения — агсьй !х и про2я — ! верить выполненне второй пары условий признака Абеля— Дирнхлс. Действительно, поскольку, как уже установлено, ь функция г(Ь,!) = сояяея ограничена на [1;+со) х [О;1] н 1 431 1 1 неравенство — < —, х Е [1;+со), 1 Е [1; 2], показыва2х — 1 2х — 1' 1 ет, что функция монотонна и равномерно сходится к 2х — 1 сае х ~/х нулю прн х -е +со на [О; Ц, то интеграл / сходится ,/ 2х — 1 1 равномерно иа [О; Ц.
Функция у(х,1) = агс1к/х ограничена иа [1; +ос) х [О; Ц и при любом 1 Е [О; Ц монотонна на [1;+со). Г соек Следовательно, интеграл / агс1к /х Их сходится рав,/ 2х — 1 1 номерка на [О; Ц. +со у 1в(п(х+ -') Пример 45. Показать, что интеграл ~ Ых о сходится равномерно на [О; Ц. 18(п (х + -) Решение. При любом 1 ф 0 функция /'(х, Ц = ва (О;+ос) имеет две особые точки — 0 н (+оо). В таком случае, как н для интеграла, независящего от параметра, промежуток интегрирования разбивается на два так, чтобы на полученных промежутках только одна и при этом краевая точка являлась особой для подынтегральной функции, интеграл сходится равномерно тогда и только тогда, когда равномерно сходятся интегралы по каждому из полученных промежутков.
Следуя этому правилу, представим данный интеграл в виде еоо 1/3 ОО / 1в1п (х+-') / 1яго (х+-') /' 1е)п(х+-) 1/3 и проверим, что каждое из слагаемых есть равномерно сходящийся па [О; Ц интеграл. 1/3 /' 1ап (х+ -') Интеграл ~ Нх, в свою очередь, представлях е 4Э2 1/2 1/2 ! В1П Гсоя— 1 г / сол 2. ьй и— г ется суммой * 1/х+ / 1/х. х х а о Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.
Нерапснст1ю ( /гов — (1, хЕ 0; —, /6[0,'1], 1/2 Г 1я1пхсол-' показывает, что интеграл ) 1/х сходится равное 1в1пхссм 1 11 мерно на [О;1] (заметим, что 6 Й ]О;-~ для всех М б [О; 1], но равномерная сходимость интеграла япляется следствием ограниченности функции двух переменных у(х,с) = / ив х сов - Г 1л1 * ив 0; — х [О; 1]). ПоДьлитвгРавьиУло ФУиипило во втором слагаемом ' редставим как произведение следующил1 1совхв(п — ' образом: = —. в1п — х сов х. Так как у(х, /) = х х2 х = х сов х не зависит от 1, то у(х,1):$0 при х л О+ нв [О; 1], а неравенство (хсоях) = сов х — ха1пх ) О, х Е 10; -~, по- ~ '2~' 11 казывает, что у(х) монотонна на 0; -~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
