И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 53
Текст из файла (страница 53)
о Г хвхаах 525) / 6х М = [аГО+со), ао > О. 1+. о 526) 1, Их, а) М = (1;10); 6) М = (О;10). / „, о 527) Г х йх, а) ЛХ=[ао',+со), аа>0; 6) М=(0;+ос). 1+ хх 526) / Их, М = [1;+сю). Г сои(а~х) х+а с а 529) ~ х~х1п — Их, о а) М = [ — 2+ с;+сю), с > 0; 6) ЛХ = ( — 2;+со). яса ах 530) ! Их, а) М=[ас,+оо), ас>0; 6) М=(0;+оо). 1 /ах.1.
х2 й 515 542) в(п(ае )4х, а) М = (1;+оо); б) М = (О;1). о 1 ахсовах<Ь / алев+ 4 о а) М = (О;+оо); б) М = (ае, +оо), ае > О. 544) а~(х~+ ах) а(~, М = (О;+ ). в +оз 545) е ~~в(вхг1х, М = (ае,+сю), ае > О. е 546) / е *1'+о)в(их4х, М=й. о +о» 547) / — е-ао <1х, М = [О;+со). х о 1 543) / — в(и ~-~ 2ооНх, М = ( — оо; 1]. оо о 549) 1 — сове вх, М = [в,Ь] х е и отрезок [а; Ь] ие содержит точек 550) е * /(х) Их, М=[0;4.оо), если а 1(х) Ых сходится. а 517 551) 1 вой о=[0: ~ ), 1 ля о д а а 1 / ! 552) (1+ в+ + х" ))/!и — (!х, М = (0,1,2,...). а +со 553) ! — е э~с!х, М = (1,2,3,...). хз 1 +со 554) ~ ~( (Гх, а) М = (О;1); б) М = (1;+оо).
а+1 а Исследовать равномерную сходимость интеграла относительно параметра а на множестве М. 555) / х (1 — х)Л (!х, М = (ае,'+со), оа > О. о 1 556) хв (1 — х)» (Гх, М = (ое',+оо), ао > О. о +со ссс) ) с, сс=(1;4), С с. * (* - Ф') а 558) ! ((х, М = ( — 1;1), )У> О. ) / а с(!а а 559) ~ е ~ —, 0 < !3 < 1, М = (О;+ос). хв с!х е +со Г ха)пох 560) ( а, (!х, )сс > О, М = (ао',+со), ое > О. ! ф2 с Хс о 561) — Их, О < )! < 1, хл е а) М = (ае, +со), ое > 0; б) М =- (О;+оо). 518 Доказать равенства. 2дх 562) !пп «-+о,/ (пхз + 1)с/х о +со +а« / в!пх 7 в)пх 563) !пп ( — е *с(х = ( — с(х. «-со+ с/х,/х о о +оо +со +со сс« В с «ос*=/СС )о, * ) с1 )с д «-+о+,/ о о о +со 565) 1пп 1 е «в!пес(х = 1.
«-+о+ ./ о 566) !пп 1 е *сове с!х = О. «-+о+ / о +ао 567) 1пп = О. + ~ д1+,„з з 1 +аа +со 568) !пп 1 всп(хз) ахс!8ахс)х = — 1 в!пхо с!х. «-++со / 2 2 о о о+' 7 хоьй9 - ! 2 1 о+ / 1+хо 2' о Их 1 х 571) !пп -со+,/ 1+ (со+ хз)' 2 с/2 о +а« 572) 1пп «ло+ / 1+ (а+ х')з 2ьс2 о 519 +«о +«о Г в1пх г х'~ " 1" вюх 578) 11п1 / — ~1 + — ) Их = 1 — е Их. «о+ / х и о о +«о +«о г1 — е ио, Гагах 574) 1ип / в1п х г(х = ~ — г)х.
и-++сю о о 1 1 о о и/э +о« " "/ ~у~~ — *~ о о 579) 1ип / е и Ых=1. «-++о« у о « 580) 1ип / сг~е «вгп хнах = О. «-+о+ / о 581) 1ип / а е « * вгпхг)х = —. о +о« ! ип Г(х + а) + !ип Г(х — а) Г У(х+ н) «оо 582) 1ип а ( э Ии= х. 2 оо / аз4 пя оо 583) 1ип и / е «~агс18хИх= —. «-оо+ у 2 о Исследовать на непрерывность в укаэанном множестве М следующую функцию Р(п). х г)х 584) Р'(а) =, М = (2;+со). Г 1Π— 4х+х«' о 606) Р(п) У ав(пх ( — Их, М =й.
1 и+1 о 607) Р(а) прошподную функции Р(а). Г в(пах — — а ) О. хг 1 +оо =1 ( ) сов и Их, (а) < оо. 1+(х+ а)г — е * совахо(х, )а! < со. а Г совах †, а) а ) 0; б) )а( < оо. ,/ 1+ хг в +оо хв1пах — «(х, )а( < со. о +оо = / е *о(х, а) О. а = / е * Ых, а ) О. а в!пах 1+из ~ о Найти 608) Р(а) 609) Р(а) 610) Р(а) 611) Р(а) 612) Р(а) 613) Р(а) 614) Р(а) 615) Р(а) о/г оо фх хох агс16(хг 4- аг) в(п х' " М = й. -о/г о, а=О, Найти множество М точек дифференцируемости функ- ь ции г'(а) = 2(х,а) йх и проверить, справедливо нли нет ь равенство г' = у (х,а) Нх для а Е М. а Ге* 1 616) Р(о) = / — о(п — Их. -/,д о 1 1 сЬ 617) Р(а) = / соо— о+И+2' — 1 Т -*' 616) Р(а) = / о О, а = О.
е 619) Пусть Г(а) = ~ Их, где функция 1о(х) непрерыв- Г у(х) ох ,/ ч/о — х о на вместе со своев производной на [О; а]. Доказать, что при ~(0) Г р'(х) Их 0 < а ( а справедливо равенство 7' = — + ~ ~/а,/ ~/а — х о 1 620) Пользуясь равенством е ' й = —, а ) О, вычислить а о интеграл хзе '** сЬх.
о 1 1 621) Пользуясь равенством х" ь Ых = —, вычислить инте- и 1 о грал ~х" '1п х~Ь. о 524 Г нх и 622) Пользуась равенством ! — = —, а ) О, вычи/ хз+а 2 Го' +ао е Их слить интеграл, н Е Й. ( "'- е 623) Пользуясь равенствами +аа +ао /- о е а соефх ох = аз+Де / аз+)уз е ае1пфх~Ь = —, вычвслить интегралы: 1 624) Пользуясь равенством х" ' <Ь = —, вычислить инте- и о гралы: 1 1 а) аах; б) — 2 — — — <Ь; е е 1 е 625) Пользуась результатами задачи 624, вычислить интегралы: +ао е а е аа а) ох; е +аа а) / хе оав1пхйх; е в) / х е "ее~плох; о +ао д) хзе "*е)паях; е +оа б) ~ хе "*совхозах; е г) / х~е ~ сов хох; е +о» е) хее "а сое х Их.
о б) о ~( - ! —."') о Используя значение интеграла Дирихле в)п ах и сЬ = — впзп а 2 о (см. пример 49, О 3), вычислить интеграл. +М г в.,азах 1 в1п ах 626) / Их. 627) Г о о +ео +со 5 / з 629) ~ Ых. о о +со в)п ах 63!) / Их. о о +со +00 г в~п(х~) / сзп ах в1пфх 632) / — сЬ. 6ЗЗ) у о о +оо +ею в1пахсовфх Г впп ах в го р х сов 7х 634) с1х, 635) ! о о +а +00 636) 3 дх. 637) ~ х. в|п ах в~пДхвьп 7х / в~пахсовРхсов7х о о +СО в) и х сов ах 638) Их. о / втах в)п х о 641) 3 о +ОЭ о +М 642) втх — хссах л о Используя значение интеграла Пуассона +03 в /х е* ах=в 2 о (см. пример 51, $3), вычислить интеграл. +се 643) / е ~ * ~Ь, а > О.
о +ФЭ 644) / х "е ~ * Их, и Е Я, а > О. о 646) ~ хз"+'е сх, а > О. о +оо 646) е 1~~ ел'~+'1 Их, а > О, ос — ф~ > О. 647) / (а~х~+2дх+с~)е < +он*о'14х, а > О, ас — Рз > О. о 648) е ' Ь~4х, а >О, )У>О. о +а> 649) е ев сЬ)Бх<Ы, а > О. 650) ~ хе « * вЬ феях, а > О. о 651) / х~"е сЬ 2~ух ~1х. о 652) ~ хв« 'с вЬ2фхдх. о -«оев 653) / е сов217хйх, а > О. 654) / е «*вЬ(Д/х) Их, и > О. о 655) ~ хне сов2хИх. о 656) / хх«е * сов2фхс)х, або.
о в 657) / хе * в)пДхЫх, а > О. о +СО 658) / хх« ~е * в)п2фхНх, п б 1Ч. о Используя значение интеграла Лапласа — Их= -е 1+хо 2 о (см. пример 55, 1 3), вычислить интеграл. +СО +о» аг». о о о о ,1 х(1». о) х 1 (1». з)о о о 663) <(х, а>0, ас — Ь >О. у ахз+ 2Ьх+ с +00 Г хо — аз в)пх 664) / — Их, а > О. хо+ аз х о хв(пах 665) /, Ы» а>0. ,/ (1+ хо)з о Используя значеняе интегралов Френеля +»О +00 1~я, 1~в вгп(х )ни = -~ — и / сов(х )~1х = — ~/ —, 27 2,/ 27'2' (см.
пример 52, $3), вычислить интеграл. +со +»о 666) / в1п(ах~+ 23х+ с)»(х. 667) ~ сов(хо) сов2ах»1х. 663) в)пхо сов2ох3х. Применяя метод дяффереицирования по параметру, вычислить интеграл. 1 гха-1 я-1 669) / Нх, а>0, Р>0. 1пх о + "7' г 670) ОЬ, а>0, 17>0. в2 о 1 — е 671) / совете, и > О. о +О« г е-«* е-Ф~ 672) / совиОхЫх, а > О, Д > О. о +О« г1 -«* 673) / в)пх)Ь, и > О. о +Г е-«» е-Ф» 674) / в)п и2в Ие, а > О, 13 > О. о +О« »' '7 676) 1 ( ° — ° ) 6*, > О, О >О.
о 'е * — е)2' 676) / Ыв, а>О, )3>0. о +~ю г — «» -)У~ 677) / 692, а>0, ф>0. о +6«О О г -«» -))» 678) /, Нв, а>0, 13>0 в2 о 679) 1 ( ) 6*, >О, 6>6. о 680) / е «77в, а>0, Р>077>0. о 702) т ассфах ехсКфх з хз х, а о +Оо г Ь'-Ьхз 704) ( 1и солохах, о>0, Ь>0, с>0. се+ хз о 7ОЬ) "",, (х. о>О / х(1 + хз)з о / (1+ ~з)з е Их о>0, (7>0.
то1) 1' хз е +Се 708) 2хфвьп2Рх+ сов 2дх -а'е',( о > 0 Р > О, о 709) е ее1п~(тх~1х, а > О. о 1 710) В слить / Их следующими спосо ам: Г егеря * б и: мчи l .л=-г о 1 всс10 х / ла 1) используя равенство — = )~ е 1 / веселее 2) рассмотреть фуикцию!(и) — р а инть метод дифференцировапил по параметру. 711) Ра<тматрнвая производные функций, стооьцпх е праной и оспой частях, проверить справедлньткн ь рюо и<"лс т +Ос а) / е' <11 = е* / е ' яш2х1Й; о о 2 6) (1 ' <<) о о +«< а Г 1п(1+ а') н, Г )п1 в) / 1+хо 4 <7х = — )п(1 -1- аз) — ~ <71, а х 0; / 1 + 1 о о е +< Г << 1 Г,< я(п 21х г)/е'Й= — / е< — Й, 1 о о 712) Используя равенства 1 — е ы <оох <1х, 1+1з,Г о 1 е «'я)пх«х, 1+1з о доказать равенства +<а +ОО Г я(пх<(х Г е " а) / / — <(1, а ) 0; ,/ х -1- а,/ 1 .1- 1з о о « / *'*= ~,;„«, °,<. Ф(р) = — е 1" '1 Г(1) <11.
хГя „1 Найти преобразование Вейерштрасса функции 7'(1). 713) Г(1) = 1. 714) Г(1) = 1з. 710) Г(1) езе< 710) у(г) = еояог. 11реобразованне Вейерштрасса Ф(р) функции Г(1) определяетсяя формулой Преобразование Лапласа г'(р) функции /(1) определяется формулой г'(р) = е л у(1) п1. о Найти преобразование Лапласа функции ~Я.
717) у(М) = 1. 718) ~(С) = ее'. 719) Д1) = в)п)51. 720) Д1) = гое)71. 721) Я) = 1", и Е Р(. 722) ~(1) = Д. 723) у(С) = 1е ~'. 724) у(С) = вьп(о41). 1 — е-Ф 726) Д1) = с МфО, 1, 1=0. 726) Пусть /(х) ограничена па К и интегрируема на любом конечном отрезке. Доказать, что при * > О функция / ху(х) и дл удовлетворяет уравнению Лапласа хе+ (у- л)з дли де и — + — = О. дез дуз 727) Пусть )'(х) абсолютно янтегрируема на ( — оо;+ос). До- казать, что интеграл 1 и(х,1) = — / 7(с)е ~.~~ Ис ди 1 дзи удовлетворяет уравнению теплопроводности — = †, — н д1 ах дхз печальному условию 1пп и(х, !) = 7(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
