И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 57
Текст из файла (страница 57)
о а о о ! 2 ! 713) !. Т14) р + —. 715) ео~г+ . 716) — г Т сова!г. 2 2 ! ! 717) —, р > О. 7 ! 8), у > а. 719),, р > О. !го+ г! ' 562 720), р > О. 72ц —. 722) —, р > О. р и! !/л р2+ 17з' ' т +! 1 и Ъ/л — — т 723) ., р > — и. 724) е ' ° , р > О. (р+ а)а ' 2р /р 1Ъ Ь вЂ” с 725) 1и 1 + -), р > — 1. 728) 1и р~ а — с 729) —, — . 730) - 1и Зп ((и с)2» (Ь с)2тт) ' /1 92 ! т' (1 1)а-! (1 1 Ца-! 73Ц / Ж. 732) — )п2. 733) О. 734) О. о 735) тг.
736) О. 737) О. 738) О. 739) Не сугпествует. л 2 2тг 740) —. 741) —. 9 /3' 742) †. ~Гз 743) 744)— 745) 2 /2 7 ) —,'. 74Л вЂ” '. 748) (')Ц . 3!/3' 9!/3 (2п + Ц!! ' (2п — З)9 тг 4 (2п — 2)!! 2' 750) 75ц " пыл+! 14.... (Зп — 2) л. (п+ ц(2зп+з 752) 3 8 3 .д. 3 тг л~/2 753) 512 754) †. 4 755) — Г Указание. Сделать замену спал = 1 — 2~/и 756) . 757) з . 758) — л~ 759) Г(Ь+ Ц Г (+) 2 з Злз 1 /п+1) Г (5!) Г(п+ ц — Г'(тт+ ЦГ (!) 4 !, 2,т' (Г( +ЦР г(п+ц.г(-) — г (-)г( +ц ) 4 1,2/ (Г(п+ Ц)з 1Г лт 762) — ~1+!и-). Указание.
Сделать замену х = 1 — ! и 2) применить формулу дополнения для функции Г(х). 1 762) —. Указание. Сделать замену х = 1 — ! я применить 4п формулу дополнения для функции Г(х). Представив интеграл 1 !плыл лхсо82плх !!х в виде о 118 ! !плыл лх со82лпх Г)х + !п 84п лх соя 2лпх Г)х, 1/3 в первом интеграле сделать замену — — лх = у, а во втором— 2 !ГХ вЂ” — = У. 2 764) 0 < Гп + 1 < и, и 81П 1 1 !Г 1 76з! — — < Гп < и — —, 2 2 и 81п з ГГ 766) 0 < Гп+ 1 < и, В(п — Гп — 1, Гп+ 1).
щ+! а 8 а .' !'пз+! т+11 767) 0— « р, — Н В~ —,р — — ) 768) а>0, „Г(1+1) 1 Г(ха) Г(д) 769) р > О, !1 > О, В(Р,4) 770) р > О, д > О, ' . Указание. Сделать замену (а + «)8(В + «)8 (о + 7)х пх + Р(! — х) + 7 1 Г'1 771) и < 1, — В ~ —, 1 — и Гп '! п1 (6 — а )"'+" + 1 772) , п1 > — 1, и > — 1. Указание. Сде(а+ с)" +'(6+ с)лГ+1 х — а 6 — а лать замену — = — 1. х+с 6+с 775) гп > О, и > О.
2~~" 2В(п1, и). Указание. Сделатьзамену 1 (1 + х)г 2='-% 2 1+хг в' 1 774) 1<т<2. ' 2(т — 1) ни~~ я 1 775) О < гп < 1. ' 2(1 — гя) ив ~~ а ею-! 77б) 1 < гп < 2. — В(2 — т, п1 — 1) пг — 1 777) а) а > О, — — -~-; —; б) а > О,— 2 Г (-+'-) ' г ) я 1 778) (а(< 1, — —,. 2 сов — ' 2 2а-1 В ( —, — ) . Указание.
Сделать замену (1 йг)п/2 2 ' 2 1' 1= 18 —. 2 81Г 11 780) а ф , я б 12. Указание. В интеграле 2 ' 2вш(ггсовг а) ' задачи 775 положить и = 1 — т, 2ог — 1 = сов 2а и сделать подстановку 1 = вбх. 2а-1 12 (и) 781) а > О, —  —. Указание. Сделать подста- (1 — Ьг)е/г Г(а) новкУ 18 — = 1,à — 18 —. 2 Ч1+я 2 783) р > — 1, Г(р+ 1). — 1гг сов яр 784) О < р < 1, . Указание. Данный интеграл Вгн 1ГР является проязводной по р от функции В(р, 1 — р). 112 в1п —" 785) (а(< 1, — — ~-. 4 созга —" з 1+сов 11Р 786) О < р < 1, ггз.
ап вр зг 788г !гс18 ггр. Указание. Доказать возможность предельного перехода при е -ч О+ под знаком интеграла Г(1+ е) Использовать формулу Г(е) = и применить правило Е Лопиталя. 789) я1п — ~ 2 гг яа 790) — 18 —. Указание. Сделать замену е зд' = ! и исполь- 2!9 2,0 зовать результат задачи 788 . 791) —. 2и сол зл зе 792) Указание. Сделать замену л" = !, исполню!гать формулу дополнения и непрерывность функции Г(л), л > О 804) Указание.
Полагая л" = 1, доказать, что гг + и и 1 -"-" * = „-'. и (=) '"=' о юл=! е гпг~ Записывая произведение П Г г! — г! в прямом и обратном поп т=! рядке и применяя формулу дополнения для функции Г(г), по- лучить, что й (=„)=.;' и й=! Для вычисление произведения П агв — разложить двучлен п йш! — 1 на множители (л — 1)(л — г!)... (л — г„!), гл = с гг гл зл Й = 1, 2,..., и — 1, и использовать равенства и-1 !ип = и = 1ип П ~3 — е ° ) = П (1 — е -+12 †О-гг / ! l 1-" ~= ГЛ ле 1, 1Г/Г 1 — е!ь ~ = 231п —. 805) Указание.
Положить 1 +ОО о / (1 3) — 1/2 ! / ( 3 1)-!/2 ! / (1,3)-1/2 ! о 1 ОО и применить к этим интегралам соответственно подстановки 3 хз ! 1 ! ' 33 ' хв+ 1 к а"'' 1 гг ааО' ' 1 2 Ц а)б) -'С,', + —. 2 ' 24' б®) --Сэ. 2 567 2 $11) а) -Сэ; б) -Сэ; в) — — (Сэ+ 2! и 2); г) Г ( ! ) = С: + — ' ~/к „„к д) — ~(Сэ+21п2) + — ~. ь/к ! гг2 ! в ~ б12) / г(') г'(/+ !) г („+ !) "" 2 'г(41) ) Г(7 + 1) Г(р + Ц $14) в) 1п Г(а + 1)г(/у + 1) Г(а + 7 + 1)Г(о + /г + !) Г(а + !у + 1) ' Г(о + !)Г(о +,В + 7 + !)' б) 1п , Г(иф~) Г(ф) в) !и , г) 1и ьк —.
Указание. В интеграле и. б) г ($) г (Ч-') ' 2 ! сделать замену х = !~ положить, .г = —. В интеграле п. и) 2 положить /2 = 1 — и. гг (2и — 1)!! / ! ! ! 812) — "~! — — +- — ..— — — !и2 2 (2 и)!! ~, 2 3 2и Указание. Продифференцнровать по а данну го формулу. К полученному результату прнменнть формулу Гаусса (см. формулу (1б) гл.
1П) в положить 212 — 1 = 2п. Иитюграаы, иезааисаяипе ет параметра 1. Пусть у(н), г = а, н Е И, 1 О, я<~ —, хЕ ( )[н+б„-1 — 1;н — бл), 2' и=! 1 0<б„< —, нЕИ, 2' линейна на [н — б„; и) н [я; а + б„) (см. рнс. 14). Ряс. 14 При каких условиях на 1я(п) и б„справедливы утверждения: а) функция / неограничеиа иа [О;+со), а интеграл абсолютно сходится; б) интеграл 1(х) 1!х расходится, а 1пп Цх) = О. Х-++С« о 2. Пусть Π— единственная особая точка функции 7" на 1 (О; 1) и !пп х7'(х) > О. Доказать, что интеграл у(х) дх * ~0+ а расходится.
3. Пусть функция 7 монотонна на (О; 1] и !пп 7(х) = оо. «-+О+ 1 Доказать, что иэ сходимости интеграла / Дх) Нх следует, что !пп х/(х) = О. «-+О+ 4. Привести пример непрерывной и неотрицательной на (О; Ц функции 7' Е Й(О; 1), для которой 1пп х~(х) > О. «-+О+ 5. Пусть функция ! монотонна на [а;+со), а > 1, и инте- 1 грал / хе/(х) 1!х сходится. Доказать, что !пп хе+1/(х) = О. о 6. Пусть функция ~ монотонна на (О;1) и интеграл 1 / 7(х) !(х сходится. Доказать, что о «-1 -'К!Я =~!1Е *. о 7.
Пусть функция ! монотонна на (О; 1) и только один иэ концов этого интервала является особой точкой !. Доказать, «-1 что нэ существования !пп — у у ~-) следуег сходимость «чсоп ~п) 1 1! интеграла ) у(х) Их. о 1 1 8. Показать, что функция 7'(х) = — + — монотонна на х х-1 «-1 (О; 1) и существует предел !пп — ~ э' ~ — ), хотя интеграл «->со и 1 и) ' !=1 у(х) Их расходится. 9. Пусть функция у монотонна на (О;1) и интеграл 1 Дх) Пх сходится. Доказать, что о и - -'~;1( — "') =~Л*!л*.
" ""1=1 о 10. Пусть функция у монотонна на [о;+со). Доказать, что условие: одля любого Ь, 0 < Ь < 1, ряд ~~! у(а+ пЬ) сходится ОО п=! и существует предел 1пп Ь ~ /(а+ яй) = А" необходимо и ь-+О+ о=1 +оо достаточно для сходимости интеграла / у(х) Нх и при этом +оо О ,('(х) Их = А. а 11. Пусть ы — единственная особая точка функции у на (а;о1) ((ы;о)). Доказать, что условие "для любой последовательности (х„): а = хе < х! < хз « ... х„ < м л 1, = .. > „~ „> ..
~ 1, вь,„=, ол К 1 110 л' и-лсо о=! л сходи гсяо необходимо и достаточно для сходимости иптегра- М а ла / 1(х) Их (/ у(х) 11х). ( 1)о-1 12. Пусть у(х) = е1п —, х Е [1гп(п — 1); 1гп(п+ 1)], п п и с И, (см. рис. 1э). Показать, что интеграл / у(х)1!х расходится, а ряд ло(о+1) о / у(х) 1(х — сходится. л=) ло(о-1) 571 Ряс. 15 13. Пусть функция у(х) неотрицательна на [а;щ) и щ единственная особая точка 1 на (а;ы). Доказать, что, если найдется хотя бы одна последовательность, удовлетворяющая условиям 1) а = хо < х~ < хз <... < х„< х„+~ < ...
< м; 2) )пп х„=ы; «-ьео 00 3) ряд ~~~ ~ у(х) Их сходится, о=1 Ф -! то интеграл ~ /(х) Их сходится. а 14. Пусть м — единственная особая точка функции / на (а;м) и последовательность [х„) удовлетворяет утлониям; 1) о = хо < х) < хз « хо < ха+~ < < м; 2) !пп х„ = ы; в-+со 3) на отрезке [х„б х„), и Е 14, фупкцпя 1 ие меняет знака; 572 4) ряд ) / 1(х)дх сходится. «=1 « -! !Н Доказать, что интеграл 1(х) ох сходится. « 15. Пусть 7' Е Й(а;6). Доказать, что для любого е > 0 существует функция д„удовлетворяющая условиям: 1) д, равна нулю в некоторой окрестности каждой особой точки функции у на (а; 6); 2) д, Е С(а;6); !) ~О (У!!! — «(!))!!~ «! ю *! (:ь~.
а 1б. Пусть ~ б В(а;6) и (Я Е Я(а;6). Доказать, что для любого е > 0 существует функция д„удовлетворяющая условиям: 1) д, равна нулю в некоторой окрестности каждой особой точки функции у на (а;6); 2) д, Е С(а; Ь); ь 3) ~ )у(х) — д,(хЦох < е. а 17. Пусть / Е В(а;6) и Щ Е И(а;Ь). Доказать, что для любого промежутка (о; Д), а < о < Р < Ь, д 1пп / Як+ 6) — /(х))дх = 0 « (ннтегральная непрерывность функции 7).
18. Пусть у Е Й(о;+со) н )7(х)) б Й(а;+со), а > — оо. +о« Доказать, что !пп 7(х) в)пахах = О. «,со( а 19 Пусть 0 — единственная особая точка положительной функции У на (О; 1), / Е Й(О; 1) н Ф(х) = ( /(1) !11. Доказать, е 573 У что — Е 1с(0; 1). ,/Ф 20. Пусть 0 — единственная особая точка положительной 1 1 и / (о:о, Ф(*) = ~х(оа ~ 1/(*)~* Х о ) / Пх) расходится. Доказать, что расходится интеграл ~ — ((х. l (*) о 21. Привести пример двух функций / и у, длл каждой из которых 0 — единственная особая точка па (О; 1), таких, 1 что /(х) > у(х), х Е (О;1), интеграл / /(х) Их сходится, а ! о интеграл / у(х) (1х расходится.
о 22, Привести пример двух функций / и у, для каждой из которых 0 — единственная особая точка на (О; 1), таких, 1 что )/(х)) > )у(х)), х Е (О; Ц, интеграл / /(х) Ых сходится, а 1 о интеграл у(х) Нх расходится. о Г япх 23. Доказать, что интеграл / Ых расходится, (/х — я)п х в)п х я1п х / япх хотя — при х -> +со, и интеграл / — Их ~/х — е(п х ~/х /,/х е 1 сходится. 24. Пусть / Е В(0;+ос) и Ф(х) = / /(1) й. /[оказать, что +00 Ф(2х) — Ф(х) интеграл 1 (1х сходится. о 25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
