И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Пусть а> 1 и /Е Й(а;+со), уЕ Ща;+со), /~ЕЙ(а;+ос), у Е В(а;+ос). Доказать, что сходятся интегралы +ос +со +оо 1) / т *; ) / И+у)' ', 2) / ~"'~ ' 574 31. Пусть неотрицательная на (о; +оо) функция / принадлежит классу Й ч(а;+ею), с7 > 1. Доказать, что 0 / 7 (1) Й = о(х с ), х -+ +ею. 0 32. Пусп Π— единственная особая точка функции 7 1 на (О; 1) и интеграл / х7~(х) Их сходится. Доказать, что о 1 7'(1) Й = о(ф[1пх[), х -+ О+. 33.
Пусть 7 Е С[Ос рос), Г(х) = Я)й и интегралы +сю +сю о /~(х) с1х и / х~г"~(х) ссх сходятся. Доказать, что е о +00 +00 1/З +' !/2 )с сч*1с* с с( )с **сч*1 с*) .(~ сч,1с,) 34. ПУсть / Е С( — оо;+оо) и интсгРал 1 = з~ 7'(х) с1х сходится. Доказать, что с=~с(.--') .. 1' г о1 ах 35. Пусть | с С(О;+оо) и интсгралсз!1 = ( 7'( — + — )— а х ух а1 1и хс1х н/з= (~ — + — ( сходятся.
Доказать, что!з = а .с х а =!1 1па. 57б Зб. Пусть / Е С[0;+оо) н интеграл 1 = у(х~) Их схоо +оэ 12 Ь~ — '-- -'= И[---)]"" Ь > 0. о Ы зюпу /ес(ь+ ) ь Г=~/[*+ е 1'~ г —— е>0, Ь>0, сходнтся. Доказать, что 1= — / Яч'хз+4оЬ) Их а / е 38. Пусть у Е С(0;+оо) н у(х) = /(хг + х ~) 1н х, Р > 0. Доказать, что еслн интегралы / — /1х н / '~"у(х) '~ .(х) Их схо- 1 х / 1 ьхз дятся, то онн равны нулю. 39. Пусть для функция у Е С[0;+со) выполняется тожде- Г у(х) егн х ствоу(х-х) Е у(х) = у(х+х) н интеграл 1 = / Их сходится. Пользуясь равенством — =-+~ (-1)" ~ + — 1, *~0, в)ах х 11х+ хп х — хп~ ' ФЪ=1 луз доказать, что 1 =,1(х) /1х (формула Лобачевского).
о 40. Пусть н„Е В[а;Ь] прн любом и Е г1 н ряд ~~/ и„(х) п=! сходится равномерно на [а; Ь] к Я(х). Доказать, что если ннь теграл у(х) Нх сходится абсолютно, то ь ь а(*)//е/ = К1 ю*) ь//*. О е=/ а 41. Пусть последовательность («««„) обладает следующими свойствами: 1) 1««л Е В[ — А; А] при любом А > О; 2) у«„=$ О на й '1 (-4; — Ю) при любом 6 > О; 3) е«„(х) «4х -+ 1, и -+ оо, при любом А > О', — л л 4) при любом А > О последовательность | [р„(х)[Их ограничена.
ь — л Доказать, что если интеграл /(х) дх сходится абсолют а яо и хе Е (а; 6) — точка ««епрерывности /, то !««и / /(1)у«„(М вЂ” хе)«О = /(хе). а 42. Пусть 1 х /(х) = —, у(х) = сое —, х б [хп(п — 1); «гп(в+1)), п Е 1Ч. и и Показать, что хотя / монотонна на [О;+ос) н !1«п /(х) = О, +е« но интеграл / /(х)у(х) дх расходится. Какое условие приз знака Дирихле нарушено? я)яп(сое х) 43. Пусть /(х) =, х > О Показать, что хотя 6«п /(х) = О и функция Ф(х) = / соз1«««ограничена Ф-«ОО +е« « на [1;+со), но интеграл /(х)совх««х расходится. Какое 1 условие признака Дирихле нарушено? 44.
Пусть функция / монотонна на [а; +со) и интеграл +00 /(х) в«п х «4х сходится. Доказать, что 1пп /(х) = О. «-«+сю й 45. Пусть функция 1 монотонна на [а;+сю) и ннтсграл +се у(х) еш х ссх сходятся абсолютно. Доказать, что Щ Е В(а;+ос). 46. Привести пример непрерывной, неотрицательной, неограниченной на [О; +оо) функции 1, для которой интеграл +ю +сю у(х)вспхс)х сходится абсолютно, а интеграл 1(х)Нх о о расходнтся. 47. Пусть функция / монотонна на [а;+ос) я ! пп У(х) = 0; а.а+со функция у Е Я[а;а + Т], Т ) О, я периодическая с пери- а+Т одом Т. Доказать, что есля / я(х) Их = О, то интеграл а +сю а+Т /(х)у(х) ах сходятся, а если / у(х) с1х ф О, то интегралы а а +сю +аа У(х)у(х) ссх н / /(х) ссх одновременно сходятся нлн раса а ходятся.
48. Доказать, что если у Е С'[а;+со), /' монотонно возрастает на [а;+со) н !пп у'(х) =+со, то интегралы а.а+00 сое(/(х)) с1х и вшЩх)) Нх / а а условно сходятся. Интел рвлы, зяянсицие ет иврвматри сху, 0<я<с„— уз, 49. Заданафункцняз(х,у) = ~ ' " ' Показать, что функция у(х, у) разрывна на [О; 1] х [О; 1], а функ- ция г'(у) = у(х, у) Ых непрерывна на [О; 1]. О 50. Пусть уе — предельная точка множества Е; /(х, у) Е Е В[а; 6] при любом у Е Е; /(х, у):) р(х) на [О; 6] при у — 1 уо, у Е К(а; Ь) и [у[ Е 11(а; Ь).
Доказать, что ру Е 1ь(а; 6) и ь ь 1пп У(х, у)у(х) 11х = уа(х)9(х) ь(х улка у а а 51. Пусть уе — предельная точка множества Е; у(х, у) Е Е Я[а; 6] при любом 6 > а и любом у Е Е; /(х, у) =$ уь(х) при у -у уе па[а; Ь] для любого Ь > а; )У(х,у)) ( Р(х) при любом у Е Е и Р Е Й(а;+со).
Доказать, что +аа +00 1пп Цх,у)Их= / 1О(х)Их. у-+уа у а а 52. Пусть Х Е С([а;Ь] х [с;а]), Оа Е Й(а;Ь), Ц Е К(а;Ь), ь Доказать, что функция г'(у) = / Оа(х)~(х, у) Ых непрерывна на [с;11]. 53. Пусть у Е С[0; 1]. Доказать, что 1 — " ~( ) 1* = У(0), У 1 у+О / уз О т. е. равенство 1 1 )ип/ — е латках)Их = / 1пп ~ — е а,)(х) 11х у-+О уз у-+О О О имеет место только тогда, когда /(0) = 54. Пусть б > 1. Доказать, что + 00 ааь 1) 1пп 1 е '* совхдх= 0; 2) 1пп а-+ОО У а-+О+ О (сравните с задачей 50). О. ааь с О!п х ььх = 1 О 55.
Пусть / Е С([а;Ь] х [г;а]), у Е Й(а; б) и [у] Е Й(а;ь). Доказать, что е ь ь е /сс/Л*,с)я*)с*=/с! !'*/Л*,с!сс. с а Ь с 56. Задана функция ][рея, 0 < х < уг, — .г г« 1 Показать, что функция 7 разрывна на [О; Ц х [О; Ц; функция ! г'(у) = / ~(х,у) Нх определена и непрерывна на [О; Ц; для о любого у б [О; Ц функция /(х, у) ннтегрируема па [О; Ц; ! ! ! ! ! / а ! с! с» = / (/ 1(* а) сс) с* = / с* / Л*, с! с с.
о о о о о 57. Задана функция у>0, 0(х(1, (.+„)з' 1, у=О, 0(х<1. ! Показать, что функция г'(у) = / 7(х, у) Их определена и нео прерывна на [О; Ц; для любого х Е [О; Ц функция Дх, у) ннте! ! грируема на [О; Ц, но / г'(у) !!у уь / !!х /1(х, у) !!у. о о о 58. Доказать, что е!и х (" — ',"*) = —.'/ -( '-.")" о !'е!пх'ь("1 1 Пользуясь этой формулой, показать, что [ — / < х 6 й '1 (0). 69. Пусть функции 1(х,у) и ~„'(х,у) непрерывны на ь [а; Ь] к [с; 6], у е Й(а; Ь), ]у[ е Й(а; Ь), Р(у) = у(х)Дх, у) Их. ь а Доказать, что Р Е С [а; Ь] и Р~(у) = у(х)~~(х, у) Их. а 60.
Задана функция хагсЬ6 —, х ф О, — 1 < у < 1; у г(х,у) = хз О, х=О, -1<у<1. Показать, что ~ Е С([0; Ц х [ — 1; Ц); функция ~„'(х,у) определена на [О; Ц х[ — 1; Ц; для любого ус Е [ — 1; Ц функция ~„'(х, уе) 1 ннтегрируема иа [О; Ц, а функция Р(у) = / Дх, у) Иу опреде. о лена и непрерывна на [ — 1; Ц, но не дифференцируема в нуле. 61. Пусть функция У(х, у) непрерывна на [а; ы) к [с; И] и нн- в тегрел ~(х, у) пх сходится равномерно на (с; Ы). Доказать, а что этот интеграл равномерно сходится на [с; <1]. 62. Пусть ~(х, уе) Е Я[а; Ь] для любого уе Е М и любого Ь, а < Ь < ы. Доказать, что из равномерной сходнмо- и сти на М интеграла / [~(х, у)] Их следует равномерная схо- а димосчь иа М интеграла / ~(х, у) Ых. а 63.
Задана функция О, у = О, х > О, 1 /(х у) — 1~ у > 0 0 (~ х ~( 1 у О, у>0, х>-. у 1' /(х,у)в)пх Показать, что интеграл ( ях сходится равно- е +оо Г /(х,д)[в)их] мерно на [О;1], а интеграл ! ' ех сходится неравномерно на [О 1]. 64. Как показывает результат задачи 63, из условий 1) интеграл /(х, д) ох сходится равномерно на М, а 2) функция д(х, у) ограничена на [а;+со) х М +оо вообще говоря не следует, что интеграл ~ /(х, у)д(х, у) пх а равномерно сходится на М. Какие дополнительные условия достаточно наложить а) на функцию /(х, у), б) на функцию д(х, у), чтобы можно было гарантировать равномерную схо- +оо димость интеграла / /(х,у)д(х,д) дх на М? о + оо 65. Пусть/Е ЩО;а]для всеха>Ои интеграл х"/(х)ех е сходится при д = с и у = Н, с < Ы.
Доказать, что зтот интеграл сходится равномерно иа [с; о]. 66. Задана функция О, д = О, х > 2, у его хху 2 3 /(х д)-, — <х<-, 0<у<1, 1пх ' у д' 2 3 О, 0<у<1, 2<х< — и — <х. У У Показать, чтофункция/(хд) неотрицательнана [2+со)к[0;1] н интеграл /(х,у)ох сходится равномерно на [О;1], хотя з для любой функции у(х), х > 2, удовлетворяющей условию /(з,у) < р(х), х Е [2;+со), д Е [О;1], интеграл 1о(х)ех расходится.
67. Задана функция О, У=О,*>О, з!и х 1 — 0<у<1,0<х<-, х 1 О, 0<у<1, — <х. у /(х,у) = Показать, что для любого уе Е [О; 1] функция /(*, уа) локально монотонна в правой несобственной точке +ос, /(х, у) =10 ! на [О;1] при х -~ +со, а интеграл /(х,у)в!пхс1х сходится неравномерно на [О; 1]. 68. Задана функция О, у = О, х ) О, 1 1, 0<у<1, 0<х<-, у!х У) = у 1 1 — 0< у< 1, — <х. ху у Показать, что при любом уе Е [О; 1] функция /(х, уе) монотонна на [О;+со) и 1пп /(х, уе) =О, а интеграл /(х, у) л!п х ох а сходятся неравномерно на [О; 1]. Какое условие признака Дирихле нарушеноу +сю 69.
Пусть интеграл / /(х, у) е!п х !1х сходится равномер- а но на М и для любого уе Е М функция /(х,уе) монотонна на [О,'+со) н стремится к нулю при х -+ +сю. Доказать, что /(х, у) при х -~ +оо сходится к нулю равномерно на М. 70. Пусть для любого уе Е М единственной особой точкой функции /(х,уе) на (агм) является точка ы. Доказать, что условие "для любой последовательности (х„), а = хе < < х! < хз « ... хе < хе+! « ... ь~, 1!пь1-+аа хе — ! ~~ а рд~ ! !!!р!е ° р р м" б д «=! Ф„ и достаточно для равномерной сходимости интеграла 1(х, у) ах на М. а +а« 71. Показать, что интеграл / е ™ соах!ах сходится нее 2«п равномерно на (О;1), а ряд ~~! / е а" сояхИх сходится РаВНОМЕРНО На (О; 1).
и=! 2«!и ! Р 72. Пусть для любого уе Е М единственной особой точкой функция /(х, уо) на (о;и) является точка и. Доказать, что если 1(х, у) веотрицательна на (о;и) х М и хотя бы для ОДНОЙ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтн (Хп): О = ХЕ < Х! < Х2 « .. а < хп < хп+! « ° ° ь!г 1ппп-+па хп = и! Ряд ~п / У(1~ у) па и=! а„ сходится равномерно на М, то интеграл 1(х, у) !2х сходится а равномерно на М.
73. Пусть для любого уе Е М единственной особой точкой функции 2 (х, уе) на (а;и) является точка и и последователь- ИОСГЬ (Хп)~ О = ХЕ < Х! < Х2 < ... < Х» < Хп+! < ... < И, Пп! хп ап ы, такова, что фУнкциа 1(х, У) не менЯет знака на «-ааа а [и,*„! и, а«, Ра С,' ) !!~,~)а и=! -1 ю номерно на М. Доказать, что интеграл / 1(х, у) !!х сходится равномерно на М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
