И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Предположвм, что существует последовательность (А;) разлвчвых собствеявых зяачевнй задачи. Покажем, что система и<(л) = иц (я) соответствующих собствевяых функцяй ортоговальва ва [а; Ь). Действятельво, во-первых, вз вепрерывяостя в отличия от тождественного нуля фувкцвв щ(л) следует яеравевство ь и~(л) Их > О. Во-вторых, ввтегрвруя по частям, получаем в равевство А; щ(х)и (к) ол = (и' + ув;)иу ох = ь ь ь ,ь г ,ь а а а Ю 4 Ь 6 ь + / що 1 ь(л = ~ щ (я 1 + лк ') Ия Ау / я 'яу йл ь в так как А; ь А, то отсюда следует, что и;о. ол = О. а Пржыврй,ПустаО<~ь <(з<(з< ...<(; <...— последовательность корнев уравнения себя = л.
Покажем, что снстема (сое(~ьл)) ортоговалъва ва (О; 1]. 1 Действятельяо, во-первых, сов~(~ул) ол > О. Во-вторых, еслв ( ф 1, то 1 / ~ ( ° 4-1 ° 6+6 соефл) сое(( *) Ик = — ( у) + 6-су 6+(1 е 1 = ( з з .. (6сьб~у-~зсьй6) = О. — 61п 1юв у 617 Определение. Пусть (ф;) — ортогональная система на ]а; 6] и / Е Й (а, 6). Числа с, = с,(у) = — ( Дя)16,(л)як 1 ]]Ь;]!' / называются коэффициентами Фурье функции у по системе (Ь )- Определение. Пусть [ф,) — ортогональная система на ~о (а; 6], у е Й~(а, Ь).
Ряд ~ с<ил(л), где с< — — с<(~) — - коэффи- ~'л! цяенты Фурье функцяя / по системе (4,), называется рядом Фурье функцяи у по системе (16;). В дальнейшем, говоря о коэффяциентах или ряде Фурье функции / по системе (1(ч), постоянно будем иметь в вяду, что / е Л~(а, Ь) и сястема (ф;) ортогональна на [а; 6], не оговирявая этого специально. Если функция / представляет собой многочлен по ортое гональяой на (а; Ь] системе (4;): ~ = ~ у;ф;, то, очевядно, ь ьы ~(*)Ь;(.) «~ = а Таким образом, любой многочлен по ортогональной системе-является своим рядом Фурье по этой системе, все коэффициенты с, которого равны нулю, если ( > и, где н — степень рассматриваемого многочлена.
Для коэффициентов Фурье с; = с; Щ функции у' по системе (4<) справедляво неравенство Бесселя: ь Е ~ ыг< нг=/гь) * оы Если для системы (4ч) выполнено условие 1пГ]Щ > 9, в частности, если сястема (ф, ) ортонормированная, то нз неравенства Бесселя следует, что последовательность с;(1) коэффициентов Фурье функции по системе (16;) бесконечно малая. 61е Определение. Последовательность (Д„)» у»» б Йз(а,Ь), называется сходящейся по норме, илн сходящейся в среднем, к функции у б 1ь~(а,Ь), если [[Ą— Д -+ О, и -+ оо, т.
е. ь (уе(я) У(я)) Ыл -1 О, и -+ со. О Пусть (Д,) — последовательность, сходящаяся в среднем к ~; (с„;), (с;) соответственно — коэффициенты Фурье функций Д„н функции 1 по системе (1Ь;). Из неравенства Бесселя следует, что 1пп с„;=с; (1) для любого в. Определение. Ортогональная система (»1»;) называется полной в Йз(о, Ь) (вли полнов иа [а; Ь]), есле для любой функции ~ Е Йз(а, Ь) в любого числа е > 0 существует такой полне ном Те(4') = ~~ о»Ф» по системе (»Ь»)» что [[~ — Т„(»Ь;)[! < е. ° »ы Если система (»Ь») полна в Йх(а, Ь), то неравенство Бесселя превращается в равенство Парсеваля ь Е;[!'[! =[[[! =Уу * * оы Если выполнено равенство Парсевалл н все коэффициенты Фурье функции 1 по системе (4Ч) равны нулю, то получаем, что [[Д = 0; следовательно, функция у эквивалентна тождественному нулю на [а; Ь]. Итак, если ортогональная свстема (4ч ) полна в Й [а, Ь], то каждому классу эквивалентных функции вз Йз[а, Ь] взаимно однозначно соответствует последовательность (с;) коэффицнентов Фурье этих функций по системе (1Ь;).
Коэффициенты Фурье с;(~) = с; функции у по сястеме (1Ь;) обладают экстремальным свойством: для любого полввома Те(»!»») степени не выше и по системе (1Ь;) имеет место »» неравенство Д вЂ” Т„(1Ь;)[! ) [[~ — ~~» с;»Ь<[!. Отсюда следу- »=» 619 ()а;) =.[1, вгпх, сов а, вгп 2х, сов 2х,..., зш пх, сов пх,...), об И, на отрезке [ — гг; л]. В силу периодичности входящих в нее функций зта система является ортогональной и полной также на любом отрезке [а; а+ 2гг]. В основном, трнгонометряческую систему рассматрявают на отрезках [-л; л] и [О; 2л]. (х Линейная замена ( = — переводит тригонометрическую (г) систему в полную ортогональную систему ()г; ): лпх савв ( г = 2п — 1, и б (Ч лпх агп— г = 2п, на отрезке [ — 1; 1] или [О; 2!].
Ряд Фурье функции 1 Е Л~[-1, 1) по системе (р,. ) записывается в виде ае ч г' лпх, ггпх 1 У вЂ” + ~ ~а„сое — + Ь„вш — ), где 1 Г лпх 1 г . лпх а„= — ( 1(х) соя — г(х, 6„= — ( /(х) егп — г(х, ( "-1/ 1 и=0,1,2, -г и обозначается аг(() ( а (() будем одозначать просто о(у) так же, как систему (р,, ) — просто ()аг)). Равенство Пар() ет, что если система (г(><) полна в А~[а, Ь], то [[у — Я„[[ -+ О, гг а -+ оо, для любой функции у Е (г [а,6), где Я„ = ~~ сгг((в !=1 частичная сумма ряда Фурье функции / по системе ()6;), т. е. ряд Фурье функции у по системе (г(г, ) сходится в среднем к /. Простейшей полной ортогональной системой является тригонометрическая система севвля для системы [Ог; ) имеет вид: — о + ~~~ (аг + Ьз) /э(х)г(х.
«=1 Как и для любой ортогональной системы, многочлен гг ао г ггпх япх ч 'Г(х) = — + ) (гг„сов — +)у„вгп — ) 2,("1 "1) по системе ()о] ) ) явлвется своим рядом Фурье по этой систегг) ме. Из ограниченности тригонометрических функций следует н более общее утверждение. Если тригонометрический ряд ао в г ггпх ггпхз — + ~ ~а„сов — + Д, вш — ) сходится равномерно на [ — 1;1) к функции /(х), то этот ряд является рядом Фурье функции / по системе (оо, Будем говорить, что функция /(х) на отрезке [в; 6] представляется тригонометрическим рядом или раскладывается в тригонометрический ряд по системе (гд,.
), если существуют такие две последовательности (а„) и (Ь„), что ао г кпх , хпхз /(х) = — + ~~г ~о„сов — + Ь„вш — ) для х с [в; 6] ~ М, где М вЂ” конечное множество. В силу полнотысистемы (оо; )) в Й [ — 1,1] для любой функции / Е Я [-(,1] справедливо равенство ! 2 6 г во г ггпх ггпх Э «=1 = в $$г(,~-( — ".~Е(ц — *+а„.;,'— "*))[=о, пхг где аг и 6; есть коэффициенты Фурье функции / по систе- Р) ме (1о< ). Это свойство формулируют так: любая функция / Е Й [-1,!] представляется своим рядом Фурье, щ(/), в смысле сходимости в среднем.
Однако, поскольку сходнмость в среднем последовательности (/„), /„Е А [а,6], к функции / Е Я~[а,6] не влечет поточечной схаднмости /„(х) к /(х) на [а; 6], даже если все функции /„и / непрерывны на [а; 6] (см. задачу 1 гл. П1 $ з1, то вопрос о поточечной сходимостн ряда щ(/) требует специального исследования. Определение. Точка хо из множества определения функции / называетсл регулнрной точкой этой функции, если существуют пределы: 11щ /(х) = /(хо + О), 1пп /(х) = /(ха — О) (2) и /(х.) = -(/(х. + 0) + /(х, — 0)).
2 Все точки непрерывности функции, очевидно, являются ее регулярными точками. Определение. Функция /, определенная на отрезке [а; 6], называется кусочно гладкой (или кусочно дифференцируемой) на [а; Ь], если 1. множество М точек разрыва функции / на [а; 6] конечно и каждая точка хо Е М есть точка разрыва первого рода функции /; 2, функция / диффсренцнруема во всех точках [а; Ь] ~ М', где М вЂ” конечное множество (очевндно, М Э М); 3. для каждой точки ха Е М существуют пределы 1 1пп /( о + Л) -/( о + 0) /(х — 0)-/( 'а — 6) )пп (3) л- о+ Л л-+о+ Л (если хо Е М 1 М, то существование этих пределон есть существование односторонних производных /+(хо) и /' (го)).
Теорема (признак Дини поточечной сходимостн тригонометрического ряда чл урне). Пусть хо Е ( — 1;1)— регулярная точка функции / Е й~[ — 1,1]. Если для некоторого Ь ) 0 сходится интеграл Ии [/(хо + и) + /(ха — и) — 2/(ха)[ †, и а то ряд Фурье щ(!") (по системе (~о< )) функции !" сходится в 01 точке *а к У(яо).
Из этой теоремы вытекают следующие утверждения. 1. Принцип локализации Римана. Если функция у б б Й~[-1,!] равна нулю в некоторой окрестности точки яе б б ( — 1;1), то щ(! ) сходится в точке хе к нулю. Отсюда следует, что для двух функций ! б !1~[ — 1,!] и у б Йз[ — (,1], совпадающих в некоторой окрестности точки яе б ( — 1;1), ряды щ(~) и а~(у) в точке хе одновременно сходятся нли расходятся. Принцип локализации часто выражают в такой форме: сходимосгь тригонометрического ряда Фурье функции ! б б Й~[ — 1;!] в точке ле б ( — 1;1) зависит от поведения у только в окрестности этой точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
