И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Следовательно, «г 4' «г 4' «г 0<х< —, 2' «г — < х ( «г. у(х) = «г у(х) = — !и~1~~ — — — )~ 0<х< «г хф —. 2 ~ '«4 2)~' ' 2 23$ Уравнение ш = —,, разрешимо относительно гс «е *«+1 1+шг 1 1+ш! 1 — ш«' 2«1 — ич' т. е. получено выражение обратной многозначной функции Агс1к ш. Если для логарифма взять его главное значение, то получится главное значение арктангенса 1 1+шг агой ш = —.!и —., ш ф Ы, (9) 2« 1 — ш«' которое характеризуется тем, что его вещественная часть содержится в промежутке ( — х/2, «г/2). Положим в формуле (9) ш = ег*, 0 < х < «г, х 51 —, тогда.
имеем 2' 1+«е«» 1 — вше+«совх 1 — «е' ' 1+вшх — «совх й З ИНтКПЧЛ ФРРЬБ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Определение. Функция Г(х) называется абсолюкчна интегрируемой иа ( — сю;+со), если Г(х) ннтегрируема по Риману на любом отрезке [ — 1; 1), 1 ) О, и существует несобственный интеграл / [/(х)[Их. В этом случае будем говорить, что функция Дх) принадлежит па прямой ( — оо;+со) классу В и писать 1(х) Е Е ус~( — со, +со)*1. Определепие. Пусть Г(х) Е Я~( — со, +оо).
Интеграл (а(Л) сов Ля+ Ь(Л) е1п Лх) ЫЛ, [х[ ( оо, е где + со 1 Г а(Л) = — / Г(1) соа Л1 й я / со (10) (11) Ь(Л) = — / У(1)ввпЛ1п1, Л Е [О;+со), 1 Г (12) Еоо +ее 1 Г(х) — / ИЛ ~ Г(1)совЛ(1 — х)й. (13) '1Анялогично определяется класс функций й' [о, +со) 652 называется интегралом Фурье функции Г(х) для любой Г(х) Е б Я ( — оо, +ос). Отметим, что оба интеграла а(Л) и Ь(Л) существуют для любой функции Г(х) 6 Й'( — со, +со). Подсгавляя в (10) выражения (11) и (12) для а(Л) и Ь(Л), получим, что функции Г(х) Е В'( — оо, +оо) сопоставляется интеграл Фурье Как н в теории рядов Фурье, так и в теории интегралов Фурье основная проблема — зто указать условия на функцию /(х), при выполнении которых интеграл Фурье сходится 1 к /(х) или к -[((х+0) + ~(х — 0)].
2 Теорема. (Признак Дини сходимости интеграла Фурье). Пусть 1'(х) с Й~( — оо, +со) и в точке хоб ( — оо, +со) существуют конечные односторонние пределы 1(хожО) !пп,((х). Если в точке хо выполнены условия Дини, ~-чзчео т. е. существует л ) О, такое, что несобственные интегралы /(хо+и) — Г(хо+0) Г У(хо-и) — У(хо-0) Ии и Ыи Я и сходятся, то интеграл Фурье (13) для функции у(х) сходится 1 в точке хо к -[/(хо + 0) + Дхо О)] 2 Итак, теорема утверждает, что при выполнении условия Дини .~.оэ +со 1 / — НЛ / У(1) соя Л(1 — хо) И1 = 1 — [~(хо + О) + /(хо — О)], если хо — — точка разрыва 2 1 рода функции /(х); Х(хо), если хо — точка непрерыв- ности функции у(х). Следствие.
Пусть Дх) б Л~( — оо, +оо) и кусочно непрерывна на любом конечном отрезке. Пусть для любого х б б (-оо;+со) либо существует конечная производная, либо существуют конечные односторонние производные. Тогда интеграл Фурье (13) для функции /(х) сходится всюду на 1 ( — оо, +со) к функции -[~(х+ 0) + ((х — 0)]. 2 Следствие. Пусть /(х) с Й'( — оо, +со) и ) (х) б б С'( — со, +оо), тогда интеграл Фурье (4) для функции У(х) сходится к Дх) на (-со, +со). 653 Заметим, что для четной функции Г(х) б А~( — ос, +ос) а(Л) = — / Г(1) соеЛМ сй = — / Г(1) сов Л1М 1 Г 2 Г СО а +00 Ь(Л) = — / Г(1) е1п Л1о1 = О, 1 Г (14) следовательно, ее интеграл Фурье имеет вид Г(х) — / сов Ляса з/ Г(1)соеЛ1Й, )х! < оо; (15) 2 Г л,/ для нечетной функции Г(х) соответственно имеем Г(х) — / ешЛхдЛ / Г(1)а1пЛ1 й, !х! < со. (16) 2 Г, Г(х) = — / соеЛха(Л Г(М)соеЛМЙ, х б ( — со;+оо); 2 Г 2) если функция Г(х) нечетная, то Г(х) = — / е)п Ахи з/ Г(1)е)п Л1~Й, х б ( — оо;+со).
2 е о Определение. Пусть функция Г(х) определена на отрезке (а; Ь) и Т = «а = хе < х~ <... < х„, = Ь) — любое раэбпе- Если функция Г(х) определена в промежутке (О;+со), Г(х) б б Л'[О, +со), то ее интеграл Фурье можно представить как в виде (15), так и в виде (16), доопределив на луч х < 0 в первом — четным, а во втором — нечетным образом. Теорема. Пусть функция Г(х) б Л'(-со,+оо), Г(х) б б С( — оо, +со) и для любого х б (-оо;+оо) выполнены условия Дини, тогда 1) если функция Г'(х) четная, то ь ГП вне отрезка [а;Ь].
Тогдавелпчина )/у(х) = вор) [ЬД), где а ею! ЬД = Дха) — 1(хь ~), называется полной вариацией функь ции 1(х) на отрезке [а;Ь]. Если ~//(х) < +оа, то в этом а случае говорят, что функция 1(х) имеет в промежутке [а; 6] ограниченное изменение (или ограниченную вариацию). Примером функции с ограниченным изменением может служить любая монотонная на отрезке [а;6] функция. Укажем, кроме того, пример яепрерывной функции хя1п —, 0<я<2, 1(х) = х ж О, х = О, которая пе является функцией с ограниченным изменением (проверьте!) . Классы функций с ограниченным изменением: 1. Если функция /(х), заданная на промежутке [а; Ь] тако. ва, что этот промежуток может быть разложен на конечное число промежутков [аа;аае~], 6 = 0,1,2,...,го — 1, ае — — а, ам = 6, в кажДом из котоРых 1(х) монотонна (такал фУнкция называется кусочно-монотонной), то )'(х) имеет на [а; 6] ограниченное изменение.
2. Если функция у(х) в промежутке [а;Ь] удовлетворяет условнюЛипшица]/(х~) — /(хз)[ < 1.]х~ — хз[(й консганта, хм хз б [о; 6]), то ~(х) имеет ограниченное изменение, причем 1/Дх) < А (Ь вЂ” а). а 3. Если 1(х) в промежутке [я; 6] имеет огранпченную производную: [у (х)[ < 6, х б [а;6], то опа имеет ограниченное изменение. 4. Если У(х) в промежутке [а; 6] представима в виде интеграла е /(х) = С+ 1е(1) Й, Ь 655 г1е Ьа(1) предполагается абсолютно интегрируемой (хотя бы н в несобственном смысле) на [а; Ь], то /(х) имеет ограниченное изменение, причем ь ь )/у(х) < / ]у(1)] <Й. а а Свойства функций с ограниченным изменением: 1.
Функция с ограниченным изменением ограничена. 2. Сумма, разность и произведение двух функций с ограниченным изменением на [а; Ь] есть функция с ограниченным язменением на [а; Ь]. 3. Если ~(х) и у(х) — функции с ограниченным изменением на [а; Ь] и [у(х)] > о ) О, то и частное — есть функция У(х) у(х) ' с ограниченным изменением на [а; Ь]. 4. Если ((х) имеет ограниченное изменение на [а; Ь], то для любого х б [а; Ь] функция у(х) = ~//(1) будет монотонно а возрастающей функцией, ограниченной на [а; Ь]; если /(х) непрерывна в х = хе, то и у(х) непрерывна в хь. Критерий для функций с ограниченным измене.
нием. Дяя того, чтобы функция /(х) имела в промежутке [а; Ь] ограниченное изменение, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в этом промежутке в виде разности двух монотонно возрастающих функций. Для функции /(х) с ограниченным изменением в промежутке [а; Ь] в любой точке ха этого промежутка существуют конечные односторонние пределы. Отметим, что непрерывная функция с ограниченным изменением представима в виде разности двух непрерывных возрастающих функций.
Теорема. (Признак Дирнхле — Жердина сходнмости интеграла Фурье). Пусть ~(х) абсолютно иитегрируема на всей прямой и в некотором интервале [хь — Л; хе+ Л], Л > О, функция /(х) имеет ограниченное изменение, тогда ин- 656 1 теграл Фурье функции Г(х) сходится в точке хв к -[Г(хе+0)+ 2 + Г(хв — О)]. Пример 1. Найти интеграл Фурье функции 1, 0<х<1, Г(х) = О, 1 < х < +сю, О, -со<я<0 и нарисовать его график (рис. 22, а). Решение.
По определениго интеграл Фурье г(х) функ- ции Г(х) равен: г' (х) = ~ (а(Л) сов Лх + Ь(Л) вгп Лх) ЫЛ, о где +СЮ 1 1 Г 1 Г вгп Л а(Л) = — у Г(х)совЛггй = — / совЛсг11 = —; вЛ СО в +оо г 6(Л) = — / Г(х)в)пЛ1г(1 = — / гйпЛ1й = — (1 — совА). гг хЛ вЂ” ОЭ о Следовательно, (совЛхвгяЛ (1 — совЛ) . 1 о является искомым интегралом Фурье. Согласно общей тео- реме г (х) имеет график, представленный ив рис. 22, 6. Пример 2.
Найти интеграл Фурье функции ) 1, 0<я<1, ) О, х>1, а) продолжив ее четным образом; б) продолжив ее нечетным образом. а) Если продолжение функции Г(х) четное, то имеем +сю 1 +СО 2 Г 2 Г совЛхвгпЛ г (х) = — / сов Лх ИЛ / сов Л1 Ж1 = — / ИЛ. / 657 График иитегрвеа Фурье фуикиии У(и) б! График /(к) в) +ее в/2, при [А[< 1, сов Ах в(п х »(х = к/4, прн ]Л] = 1, о О, нрн [А] > 1. б) Если продолжение нечетное,то +и» 1 +се а о а откуда в силу теоремы о сходимости интеграла Фурье полу- чаем, что О, при [А]>1, 1 — при [А[ = -1, 2' — 1, при — 1<А<О, О, при А=О, 1, приО<Л<1, 1 2' при А =1.
+ее в(п Ах(1 — сов х) пх = х о Определение. Пусть функция у(х) определена на (-оо;+оо) и иитегрвруема на лк»бом отрезке [-1;!], ( > О. т Если существует 1пп / у(х) Их = А, то он называется глат~+и»,/ -т Следовательно, в силу теоремы о сходимости интеграла Фу- рье имеем, что вным значением интеграла /(х) Их, В этом случае пишут: ч,р, /(х) Их = !ип /(х) ~Ь. ( Заметим, что из существования несобственного интеграла +со +00 /(х) ох следует, что существует юр. /(х) ях и их эна-ео -ео чения совпадают. Однако, обратное утверждение не имеет места, например, +СО +СО Г (1 — соях) интегралы / хая, / Нх не существуют как не- ОО 00 собственные, но в смысле главного значения существуют и равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
