И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 63
Текст из файла (страница 63)
2. Если функция / непрерывна на [ — 1; !] н в каждой точке интервала ( — 1;1) имеет односторонние производные у и /+, то щ(у) сходится к !(я) для всех л б ( — 1;1). 3. Если функция !' кусочно гладкая на (-1;1), то для любой регулярной точки ло е ( — 1;1) этой функции ряд щ(/) сходится к /(яе). В силу периодичности тригонометрических функций ряд Фурье щ(Д), представляющий функцию у(х) на [ — 1; 1], представляет в каждом отрезке [щ й] Э [ — 1;!) функцию у'(я), полученную 21-периодическим продолжением функции у(я) с интервала ( — 1;1) на всю числовую прямую за исключением точек!(2тл + 1), тп б Х. Значения !'(1(2тв + 1)), пз б Х, выбираются произвольно.
Если определены значения Я вЂ” О) и /( — 1+ О) (см. (2)), то обычно полагают ~'(1(2т+ 1)) = -(/(1 — О)+ /(1+ 0)), ги б Х. 1 2 Тогда при выполнении условия признака Дини для функции у'(л) в точке л = 1, в частности, если функция /'(я) удовлетворяет условию (3) в точке л = 1, ряд щ(~ ) сходится в точках л = 1(2т+ 1) к !" (1(2пз+ 1)), т б ,'Е. Для определенности все формулы и утверждения были эапксаны для системы (р; ) на отрезке [-1;1]. Заменяя всюду (О промежуток ( — 1;1) на промежуток (О; 21), получим соответ- ствующие формулы и утверждения для системы (у,. ) на от- (О резке [О; 21].
Итак, для достаточно широкого класса функций задача предсгавления функции тригонометрическим рядом по системе ~~р, ) решается с помощью ряда Фурье по этой системе. Для сравнения рассмотрим представление функции степенным рядом Тейлора. Для определения коэффициентов ряда Тейлора функции / в окрестности точки хо необходима бесконечная дифференцируемость у в этой точке.
Если полученный ряд Тейлора сходится в некоторой точке, отличной от яе, то, как степенной ряд, ряд Тейлора сходится на целом интервале. Однако сумма этого ряда может п не совпадать с порождающей функцией у. Разложение в ряд Тейлора пли представление степенным рядом имеет место только для аналитических в некотором интервале функций, а этот класс уже класса функций, бесконечно дифференцнруемых на этом интервале. Таким образом, величина коэффициентов ряда Тейлора есть локальное, а сходимость этого ряда к порождающей его функции есть глобальное свойство функции.
В отличие от степенных рядов принцип локализации Римана показывает, что сходимость тригонометрического ряда Фурье к порождающей его функции есть локальное свойство; в то время как величина коэффициентов Фурье — глобальное свойство. Поэтому, с одной стороны, исследовать сходнмость тригонометрического ряда Фурье приходится в полном смысле "поточечно", — в каждой точке независимо от других; а, с другой стороны, представление функцяи тригонометрическим рядом Фурье возможно для гораздо более широкого класса функций, нежели аналитические. В частности, одним из примеров непрерывной нигде не дифференцнруемой функция является именно функция, представимая равномерно сходящимся к ней тригонометрическим рядом Фурье. Если представление функции тригонометрическим рядом 0) является частью решения другой задачи, то система (у, ) и соответствующий отрезок определяются условиями этой эадачя. Поскольку здесь разложение в тригонометрический ряд рассматривается как самостоятельная задача, то необ- ходимо указание, по какой именно системе (у; ] и на каком (г1 отрезке требуется получить представление данной функции тригонометрическим рядом.
Формулировка "найти разложение в тригонометрический ряд Фурье функции / на отрезке [ — 1;1] (или [О; 21])" и будет обозначать, что ряд Фурье (г) образуется по системе (ег< ) и рассматривается на соответствующем отрезке. Вопрос о скодимости полученного ряда к данной функции при этом не возникает, так как все рассматриваемые функции удовлетворяют условию Дини всюду на ( — 1;1) ((О;21)) эа исключением, может быть, нескольких особых точек. Пример 3.
Найти разложение в тригонометрический ряд Фурье функции /(х) = х + х — х — 1 на отрезке [ — 1; Ц, Формулировка показывает, что ряд Фурье образуется по системе (гр, 1=(1,сое хх, вгп ях, сое 2кх, егп 2хх,...,сов пях, егп пях, ). <гь Таким образом, 4 ио = ~ (х + * — — 1) И~ = — —, 3 2 3' -1 а„= ~(х + а — х — 1) соянххггх = -1 1 ( ! э — (х — 1) вгн хпх~ — 2 хвпз пях Их яп ~ -1 2 )! 1 — х сов кнх — соа янх гГх хи -г 4 = — ( — 1)", пфО. язнэ 1 6„= (х +х — х — 1)е1пхнхггх = -1 ! ! — (хз-х) сов япх — !' (Зхз — 1) сов !гпх Их !гп ~ -! ! — (Зхз — 1) вш япа — 6 х вш япх ох ггзпз ~ -! 6 )1 ! — (х сов япх1 — сов хпх Нх .з.зпа -! -! 12 = — ( — 1)". ггзпа Так как функция у(х) = ха + хз — х — 1 дифференцнруема на (-1; 1), то равенство 2 4 ч гг( — 1)" 3 ( — 1)" з+ з ! + ~г ~~,„~+ 3 ггз (, пз лпз л=! имеет место для всех а Е ( — 1; 1).
Так как г'( — 1) = у(1) = О, то 2-периодическое продолжение функции у(х) на всю числовую прямую дает непрерывную на всей числовой прямой функцию у'(х). Легко проверить, что /+(Зй+1) = О, г" (2й+1) =4 (ш. рис. 17). Следовательно, в силу признака Дини равенство 2 4 ~ /( — 1)" 3 ( — 1)" у (х) + ~ сов ох+ вгп пх 3 хз ~-' '! пз пз„ в=! имеет место на всей числовой прямой. Пример 4.
Найти разложение в тригонометрический ряд Фурье функция /(х) = е, а ф О, на отрезке [О; 1]. Формулировка показывает, что ряд Фурье образуется по снстеме (!в! (х)): (1, вгп2ях, сов2!гх, вш4ях, сов4ях, (й) вш 2пях, сов 2пггх,...). Таким образом, 2 ав = 2 еав ~х (еа 1) а в а„ж 2 е'е сов 2евх Их = е ( 2еее 11 2а(е' — 1) (асов 2звх+ 2хве1п2хвх)) ~ ~ ае + 4еаве ) ~е ее+ 4еаве ' г б„ж 2 ееее(в2евхг1х = е 1 2еее ~ 1 — -~-~ [ Ь2 ~-2 1 м)1~ 1,ее+ 4еав /1е 4хв ае + 4еане ( Так как функция 7(х) ж е'е диффьренцнруема на (О;1), то равенство ее-1 е — — + а а 4нв ~и~, -ц~~ — з — — ы ) 1,а +4х в а +4х и имеет место для всех е Е (О; 1). 1-периодическое продолжение функции У(е) = еаа дает функцию У'(е), разрывную в точках е = Ь, Й Е ,'Е (см. рис.
18). Так квк У(1 — О) = 1пп еаа = е', У(0+ О) = !пп еаа = 1, а-+О+ Ри 14 е'+ 1 то положим У' (Ь) = —, й й .'Е. Так как 2 У'(Ь + Ь) — У'(Й + О) . еал — 1 л!+о+ Ь л!+о+ Ь У*(Ь+ Л) — У*(Ь+ О), еа(г~л1 — е' 1пп !пп = ае', Л~О- Л вЂ” Л то в каждой точке а = Й, Ь Е Е, условие признака Дини выполнено. Следовательно, еа+ 1 еа — 1 У'(Ь) = — =:+ 2 а / 2а(е' — 1) 4кп(1 — е') ~, ао + 4кгпо ао + 4копз еа ! (еа Ц2а = — + Еа, Ь й Е. а ао + 4кхпо ' ««1 Пример 5. Найти разложение в тригонометрический ряд Фурье функции /(х) = вгп 2х + сов 5х на отрезке а) [ — я", гг]; б) [ — я/'2; х/'2]. Отрезку [-гг; в'] соответствует система (грг(х)) =(1, в)ах, сов х, вгп 2х, сов 2х,, в1п ох, совах, ). Поскольку данная функция является многочленом относительно этой системы, то, следовательно, этот многочлен и представляет собой соответствующий ряд Фурье, т. е.
о(/) = ягп2х+ сов 5х. Отрезку ~-- -~ соответствует система [у (х)) = (1, гг гг1 () 2'г] г вьв 2х, сов 2х, вгп4х, сов 4х,..., в1п 2пх, сов 2пх,...). Относительно этой системы данная функция уже не является многочленом, так как функция сов 5х не входит в систему. Вычислим коэффициенты Фурье /(х) по системе (1г,." ) стандартным способом; г/2 2 а„= — ~ (виз2х+сов5х)сов2пхдх = к -л/3 г/2 1 — / [сов(5+ 2п)х+ сов(2п — 5)х] г1х = -в/2 1 [я1п(5+ 2п)х ягп(2п — 5Ц "/ я [ 5+2п 2п — 5 20 „1 = — ( — 1)".
х 4пз — 25' «/2 2 Г 6„= — ( (вгп2х+ сов 5х) вгп 2пх Ых = О, и ф 1. -г/2 гг/3 2 Г 6г = — / (вна 2х+вгп2х сов5х) г(х= 1. — /з Функция 7(х) = вгп2х+сов5х дифференцируема на ~ — —; — 11. 2'2/ так как 7 Ы = à Š— — ~ = О, то ее х-периодичсское продолжение дает функцию Г'(х), непрерывную на всей числовой прямой.
Легко проверить, что (У (х))+( г„= 3, (/'(х))' ~ . = — 7 (см. рис. 19).Следовательно, применяя признак Дини, получа- Рис. 19 ем, что равенство ° 2 . 20 ч (-1)" ~'(х) = — — +ягп2х+ — ~ сол2пх 5гг гг ~-~ йпз — 25 справедливо для всех значений х. Обратим внимание на то, Ггг чтофункция / (х) равнавгп2х+соабх наотрезках ~ — +2хт; Г2 Зя 1 _#_ я гг — + 2ягп~ пг-Е Х а на интервалах ~ — — + 2хпг — + 2хт~Г 2 ! 2 '2 гп б Ж, равна е)п(2(х — я) ) + сов(5(х — л)) = гйп 2х — сов 5х.
Если рассматривается отрезок [ — 1;1], симметричный относительно начала координат, то для четной функции / 6 6 /1~[ — 1,1] имеем Ь.=О, пЕН; (4) 2 Г хпх а« = — ) /(х)сов — Их, и = 0,1,2,... 1 о а для нечетной функции у 6 А~[ — 1, 1] а„=О, и=0,1,2, 2 Г , япх й« = -) Г(х) в1п — Нх, и я И.
1) о Пример 6. Найти разложение в тригонометрический ряд Фурье функции Г(х) = х сов х на отрезке [ — х/2; я/2]. Отрезку ~ — —; — ] соответствуетснстема(1а, (а)) = (1, ( /з) вил 2х,сов2х,в1п4х,сов4х,...,в1п2пх,сов2пх,, ..). В силу не- четности функции Г получаем, что а„= О, п = О, 1,2, и 4 Г в„= — ) хсовхв(п2пхах= о «/3 2 Г = — ) х(в(п(2п+ 1)х+ в(п(2п — 1)х) Их = о «/3 2 [1 Гсов(2п — 1)х сов(2п+ 1)х11 — ~х~ + Л 2п+ 1 )~ а ./з «/я 1 Г 1 + ) сов(2п+1)х с/х+ ) сов(2п-1)х Их 2п+1 у 2п — 1/ а 1)в 1 16 ( — 1)" 'и 631 ~г/л /ч 2 — / хош2хИх = — — (хсов2х~ — / соо2хох) = —; л~, о ./ и о о х/л 8 à — ~ хо1п2хсоо4пхИх = о «/л 4 — / х[ейп(4п+ 2)х — ейп(4п — 2)х) г/х = о о/о 41 ~ /'соо(4п — 2)х сов(4п+ 2)х и'(( 1, 4п — 2 4п+2 о < /4 ош(4п — 2)х вш(4п+ 2)х 1 (4п — 2)з (4п+ 2)з,/ о ( — 1)" 2(4пз+ 1) л(4пз — 1)' и 614.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
