И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 67
Текст из файла (страница 67)
В дальнейшем будем рассматрявать комплекснозначные функции вещественного аргумента: ю(х) = и(х)+Ь(х). Предел н непрерывность таких функций определяется обычным образом. Производная такой функции ю'(х) определяется формулой ю'(х) = и'(х) + Ы(х). Аналогично определяются интегралы: Римана, несобственный и интеграл в смысле главного значения, например, ь ь ь ю(х) ох = / и(х) Их + з / е(х) ~Ь. / Функция называетея абсолютно интегрируемой, если абсолютно интегрнруемы каждая из функций и(х) и е(х).
Справедливо неравенство ья(х) ах < )ю(х)) ях. а а Теорема (формула Фурье для ннтеграаа Фурье в комплексной форме). Пусть функция /(х) абсолютно интегрируема на ( — оо;+оо), / Е С(-со,+ск ) и для любого х Е ( — со; +со) выполнены условия Дини. Тогда интеграл Фурье для функции /(з ) сходится к функции /(х) всюду и имеет место формула Фурье в комплексной форме: Заметим, что если кроме перечисленных выше условий на /(х) функции /(1)совЛ(С вЂ” х)сй и / /Яе(пЛ(М вЂ” х)й, )х) ( со, абсолютно интегрнруемы на ( — со; +со), то внешний интеграл в (17) понимается в обычном смысле. Праабризениие Фурье Пусть функция /(х) абсолютно ннтегрирусма на ( — оо;+ос) и /(х) непрерывна на ( — оо;+со).
Тогда, если для любого х Е ( — оо;+со) выполнены условия Дини, то существует несобственный интеграл г'(Л) = — / /(С)е ' Й 1 х/2ян и в силу формулы Фурье из теоремы Фурье имеем равенство + ОЭ /(х) = — юр. Р(Л)еы* НЛ х/2я н~ для любого х Е ( — оо;+оз), где несобственный интеграл по- нимается в смысле главного значения. Опредвяеаие. Пусть /(я) абсолютно ннтегрируема на ( — оо;+со), тогда функция — у(1)е ' Й ,/2я яУ называется преобразованием Фурье функции у(л) и обозначается Р[Д или г(Л).
Отметим, что хотя преобразование Фурье определено дяя абсолютно интегрируемой функции, но ее преобразование Фурье совсем не обязательно будет абсолютяо интегрируемой функцией. Пример 3. Найти преобразование Фурье функции () г ( О, (я() а. Рннхевие. Пусть Л 11 О, тогда +оа а 1 Г г'Щ = — / у(я)е ' *оя = — е ' 'ея = 1 -$лф (а 1 -ыа ела е ( 1 е — е Ж -'Л(.
Л=' 1 а)пЛа Г2 мпЛа ~/2~г Л Ч и Л Если Л = О, то Итак, — — Лфб, 2 а)пЛа я Л Г2 Р(Л = Как известно, зтв функция не является абсолютно интегрируемой на (-со;+со). Выше было отмечено, что если ~(я) абсо- лютно ннтегрируема на ( — оо;+со), непрерывна на ( — оо;+ос) и для нее выполнены условия Дини в любой точке * Е Е (-со;+ос), то из формулы Фурье получается формула об- ращения для преобразования Фурье: +сю Дх) = — сср.
г (Л)ессл с(Л, (х! < оо, ~/2я ~ Надо отчетливо понимать разницу между "формулами" г'[у) = = / /(с)е '"' сй, [Л[ < оо, 1 Г л-/ и +сю СС.>=„' с./~(сС.с" сс), Ы с/2~г Эти "формулы" различны по существу (а не знаком минус в показателе ехр з). Первая иэ них является не формулой, а определеняем, в котором несобственный интеграл существу- ет вобычномсмыследля у(х) Е Й'( — оэ,+со), вторая --явля- ется формулой, которая доказывается при некоторых допол- нительных условиях на /(я) (например, /(я) Е С( — со,+оо) и удовлетворяет условию Дини) и в ней несобственный инте- грал понимается в смысле главного значения. Преобразованяе Фурье определено для функций, задан- ных на всей прямой.
Иногда в физических задачах исполь- зуют преобразование Фурье функций, заданных на [О;+оэ). Заметим, что если /(я) Е А~ ( — оо, +оо), Дя) Е С( — оо, +сю) и /(я) удовлетворяет условию Дини для всех и Е ( — оо;+со), то в случае четной функции /(я) имеет место формула Фурье 2 Г у(х) = — ( сояЛясИ у(с)соя ЛйсИ, [х[< со, о о а в случае нечетной функции у(я) имеет место формула +сю +сю 2 У(я) = — ( з1пЛяс(Л уЯа1пЛйс(с, ф < со.
я / а о Поэтому, если непрерывная на [О;+со) функция Г(х) Е Я~[0,+со), то ее можно непрерывно продолжить четным образом на ( — со; 0) по закону Г(-х) = Г(х), а если Г(О) = О, то и нечетным образом на ( — оо; 0) по закону Г(-х) = — Г(х). Тогда при выполнении еще н условий Дини имеем для одной и той же функции формулу +ао +СО Г(х) = — / соаЛхлЛ Г(1)соаЛ1Ж, х 6 [О;+со), (18) 2 Г о о яли 2 Г Г(х) = — / о(пЛхИЛ ~ Г(1)а1пЛ1Й, х Е [О;+оо). (19) о о Определение.
Пусть Г(х) Е Л' [О, +оо). Функция 2 à — 1 Г(1) Л1а а называется косинуо преобразованием Фурье функции Г(х) и обозначается Р;[Г) лабо Р,(Л). Опредевежне. Пусть Г(х) Е Й'[О, +ос). Функция 2 à — ( Г(1)а(пЛ1Й а называется синус-преобразованием Фурье функции /(х) и обозначается Р,[Г) либо Р,(Л). Немедленно из этих определений н теоремы Фурье получаем формулы обращения для косинус-преобразования и синус-преобразования Фурье. Теорема.
Пусть Г(х) Е В'[О, +со), Г(х) Е С[0, +со) и для любой точки х Е [О;+со) выполнены условия Дини. Тогда имеет место формула обращения для косинус-преобразования Фурье: Ж Г У(х) = Д вЂ” / Рс(Л)совЛхЮ, хЕ [О;+со), о ббЗ и если ДО) = О, то имеет место и формула обращения для синус-преобразования Фурье: +се Дя) = )/ — / г,(Л) я(п Ля Й$, я Е (О;+со). Б г о Отметим, что если ДО) ф О, то формула обращения для синус-преобразования Фурье имеет место для я Е (О;+ос).
Сформулированные результаты используются для нахождения значений определенных интегралов. Пример 4. Нанти косинус- и синус-преобразование Фурье функции у(я) = е д*, Д > О, я > О. Решение. Согласно определению косинус-преобразования Фурье для функции у(я) = е Ле имеем: Р,Щ = ~Г ) е д'соеЛЗЮ = ~Г уз уя/ у ~бз+ Л' е Согласно определению синус-преобразования Фурье для фун- кции /(я) = е ~* имеем Г,[Л = ~(( — ~ е ' а1п ЛС Ис = ~)~ —. Ч и ~Уз + Л' о Из полученных результатов следует, что Таким образом, получаем значениа следующих интегралов Лапласа: +со е де=)/ — ~ ~/— е)пЛлпЛ = Чи/ Ч.
+ о 2р (' созЛя. ,/ )Р+ Л о я) О, 2 ~ Ле(пЛя / уз+Лз о я > О. сое ах Я2 1 х2 0 е)п ох лэ+ | х |1х= — е ~~, о>0, -а Их= -е Л а>0. 2 о Пример 5. Рассмотрим интегральный логарифм Ь1(х)=/ —, 0<х<1. / 1пМ Отметим, что этот интеграл является собственным при любом х б (О; 1). Положим я=е, х >О, и|=с ",тогда ».ац.- |= у'-1 щ.- ). **ь= е солях |Гх +ОЭ Г Ии Ь!(е ) = — / / пеи' Отсюда видно, что функция Ь~(х) непрерывно диффереицнруема иа (О; 1) и функция /(х) = Ь!(е *) 6 С (О, +со). +со Г Ии Поскольку при х > 1 имеем ( — < е *, а при 0 < х < 1 ! ( оеи Г Ип е имеем / — < ) 1пх), то Г(х) = Ь|(е ) абсолютно интегри./ нее руема иа (О;+со).
Значит, справедливы обе формулы Фурье (18) и (19). Найдем косинус-преобразование Фурье функции у= Ь1(е ): =я[ +СО 2 1 1' |э|пхх е Г ь в|пах а Поскольку 1 е — |(х = агс16 —, а > О (см. пример 46 х я' а гл. 1 $3), то Г2 агс16 х Ре[Ь|(е ')] = -~( — —, х > О. Применяя теорему обращения, находим значение интеграла +оэ агс$$ х х соехх|1х = — — Ь!(е «), х > О. 2 е Аналогичным образом, использовав синус-преобразование Фурье, найдем значение интеграла +<о / '.' 1п(1 ~ хэ) в|п хх |(з = -х Ь|(е ), х > О.
о Праыер 6. Найти косинус-преобразование Фурье функ- 1 | ции у =1и 1+ — ~. Решение. Рассмотрим косинус-преобразование Фурье 1 — е е* функции у(х) =, 1| > О. Имеем Р,(Л,Д) = ~( — / соеЛхдх. а Для вычисления этого интеграла применим дифференциро- вание по ф под знаком интеграла: Г2 1,-* „,, Г РФО 1)| х дэ .1, Лэ ~ о откуда к.(л,)у) = Г-'1 р'+ л') + с, Р Ф о. Ук2 Так как Е,(л,)у) непрерывна в точке 11 > 0 и при Д = 0 Гг1 Р,(Л,О) = О, то С= -)/ — — 1плз. Итак, Ч г р „е ~2( /Рго Отсюда при Д = 1 находам Используя теорему обращения косинус-преобразования Фу- рье при Л > О У(Я) = )~ — ~ Р'.(Л) Л* 1Л, Г2 Г о находим, что косинус-преобразование Фурье функции у = 11 1 — е 1п 1+ — ) равно ъ~2ч)(Л,1), т.
е. равно Лтз) Л Для обоснова ниях законности применения теоремы обращения косинус-преобразования Фурье и теоремы дифференцирования по параметру заметим, что функция 1 — е де у(,) ~ я Ф' ~ -)у, абсолютно интегрируема на [О;+оо), непрерывна и имеет не+ оа прерывиую производную и интеграл е д*совляИя схое дится равномерно на мноместве р > е > О. Следовательно, дифференцирование по параметру законно для любого )у > О. Определение. Пусть р(х) определена на ( — оо;+оо). Обратным преобразованием Фурье функции р(х) называется функция — е.р. р(Л)е'"* ИЛ ~/2я я1 если главное значение несобственного интеграла существует.
Обратное преобразование Фурье функции р(х) обозначается г' '[р]. Заметим, что если р(х) абсолютно интегрирусма на ( — со;+со), то обратное преобразование Фурье существует а +оо г' [р] = — / у(Л)еы НЛ 1 (несобственный интеграл существует в обычном смысле). Теорема обрапления (дяи преобразования чрурье и дяя обратного преобразования Фурье). Пусть 1(х) б б В~( — оо, +со), у(х) Е С( — оо, +со) я для любого х Е ( — оо;+со) выполнены условия Дини.
Тогда имеют место равенства )г ' ЯЛ] = ЙР '[Л] = /. Справедливы следующие свойства преобразования Фурье: 1. г[а1у1+ аз1з] = а~Р[~д]+ азг Цз] — линейность преобразования Фурье. 2. Пусть Со — множество непрерывных на (-оо;+ос) функция, абсолютно интегрируемых на ( — оо;+со) н удовлетворяющих условию Дини в любой точке х 6 ( — оо;+со); тогда г'[Ь] = г'[Ь] ох Л = уз У; Е Сп, 1= 1,2.
3. Пусть /(х) Е В~ ( — оо, +оо), тогда 1) Р(Л) Е С( — со, +со); 2) !(п1 [Р(Л)[=0; Щ-+оо 3) [Р(Л) ! < — / У(1) ! (1. 4. Пусть /(х) б Й'(-оо,+со), у'(х) 6 Й~(-оо,+со), тогда РУ'] = 'ЛРУ]. Ь. Пусть у(х) Е 0"( — со,+со), 0~7(х) б Я (-оо,+со), 1 <1< х, й е И, тогда Р[УО1] = (1Л)'Р[Л, 1 <1 < й. 6. Пусть Дх) Е 0"( — оо,+оо) и 0'~(х) е В'(-оо,+ос) для всех 1 < 1 < й; тогда при [Л[ -+ оо [Р(Л)[ = о 7. Если у(х), ~'(х) н 1" (х) абсолютно интегрируемы на (-оо; рсо), то Р[Я абсолютно интегрируема на (-оо;+ос).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
