И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 69
Текст из файла (страница 69)
!г 2 л(4пе — 1) «=1 1 2 ~ (' 2сов(2п — 1)х в!п(2п — 1)х 2 !г ~~ 1,(4« — 3)(4п — 1) (4п — 3)(4п — 2)(4п — 1) 1 1 ~ 2 19) — + — сов х — 7 сов 2пх. л 2 ~', 2.(4п2 — 1) л 1 1 . 2 20) — + — — — в!и х — — сов х + 4 е 2 л 12 л(п2 — 1) г' и п«2 5 л 3( — 1)« — 1 л 4 е!п(2п — 1) х ) 12'+ 2,„2 "'"х 2.~ 2(2„1)з п«1 п«1 5 . 5 .
1 22) — вш х — — вгп 3х + — в!и 5х. 8 16 16 3 1 1 23) — + — сов 2х + — сов 4х. 8 2 8 24) ~~1 сов(2п + 1)х. 4 гг(2п г- 1)в 4( 1)и 25) ~~~ вгп(2п + 1)х. гг(2п+ 1)1 вЬ гг 2вЬ 1г и-и ( — 1) сов пх. л л 1+и «=1 27) ~~' ( — 1)« '1 вв!Пих. «=1 ( 1) -1п 28) — ~ в4п 2пх, У(х) = гг 4лв — 1 ( О, п=1 !1<- 2' )х! = —. ( < —. 2 4 ( — 1)«сов 2пх 29) — — — ~~1~, у(х) = сов х, (х х гг 4пв — 1 п«1 8 с пвгп2«х я. ~ 4пв — 1 «=1 4 с 1 .
(2п+ 1)ггх 31) -Е В1П гг 2п+ 1 с 1 2 1, (2п+ 1)ггх 32) — + — ~~1 — вгп 2 1 2п+1 с О, — с<с<0, 1, 0<в<с, 1 2' х=О, х=с, х= — с. 2с (-1)"+1 . гигх 33) — ~ вгп —. с п=1 34) — — — ~ ' + — ~ 4 лв (2п+ 1)1 л и Их) = О, — с<в<0, х„О < х < с, с 2' х= хс. с 4с ~ 1 (2п+ 1)ггх 2 лв ~- (2п+ 1)1 с «»О 1 1 ~-~ вгп2лпх 2 л~ п «=1 4( 1)л 37) — + ~~в сов з пх.
3 (лп)в ««1 вв! — вг! ]';",* — < — — —,) *]. «ю1 2 в 4св ( — 1)« ' ггпх 39) -с + — ~~! сов —. 3 лг пв с «=1 12св ( — 1)«1, лпх 40) — ~ вгп —. лв пв с «=1 8 4 48с4 (-1)« ' лпх 41) — с + — ~ сов —. 15 гг4 п4 с «=! «=1 ( ! ( 1)» 43) — вЬал. — + г [а сов ох — пв!ппх] гг (2а с а!+па «=1 в4п ал 2а, «сов пх 44) — + — в!и ав ~~в ( — 1)« з.а гг Ов — пв «=1 лв — 8 ~ (/ 192пв+4 46) — +7 ~~ — сов 4пх— 2л ~-~ ~ ~, л(16п~ — 1) 16пв — 1/ «=1 8п 128пв + 24п ') (16пв — 1)в л(16«в — 1)в/ 2 4 л сов2пх 46) — — — 1 л л 4пв — 1 л=1 1 гг 2 ~ 4пв+1 47) — — + — сов х — — 7 сов 2пх.
л 2 гг 4-1 (4пг — 1)в 4! сов -'-1-«7г-в- 8! сов »-(-"-г — ~ 4 лв ~л (2п+ 1)1 л! ~-с (4п+ 2)! 2)г 1 1 и /в!пйп~ 49) — — + 1 ~ — ! сових в~2 [, йп! п=! сии — 1 2а ( — 1)п еии — 1 5О) + — ~ ап. ГГ а2+ пв п=1 51) Если а целое, то при а = 2гп 8пг ~ сов(2п — 1)* я л. (2п1)2 — (2п — 1)2' при а= 2гп — 1 2 1 сов 2пх ии! если а ие целое, то 1 — сов!го ( и сов 2пх агп ах = л 2 .. (2.) и=! + 2а 1+ савва ~~-и сов(2п — 1)х ] !г ~",' а2 — (2п — 1)2 ][ вЬ ах а 52) — +2вЬах~ ( — 1)и сових. ла а2+ п2 и=! 8 53) — ~~! в!п 211х. 4п2 и=1 !г, 8и п 54) — — в1п х — — 1 в!п 2пх. 2 л (4п2 — 1)2 25!2 и-и 1 ГГпс, !гпх 55) ~ — в!и — в!и лвс(! — с) п2 ! ! 00 58) ~ ~'[! ( 1)п ~а] л а2+ п2 п=1 2вгпах ппвгппх 57) и ~( 1)п гг ~п а2-П2 и=г 58) ~ ( — 1)п ' . в!пах пи! 1 1 59) — С2~ + — ) С2~ "сов 2пх.
ип1 60) ~~ д" вгп пл. «=1 62) ~~«д" сов пх. «=О сов(2п+ Ця 64) 2~ 2п+1 6Ц 1+ 2~~ у" сов пя. п=1 63) — )п2+ 4)» ( — Ц сових п «=1 2 ~ в)п(2п+ Цх Щ Зл"г (2 +Ц2 66) Д-я) = Дл), Дя — я) = -/(*). 67) Л-*) = -Л*), П вЂ” *) = У( ). «г, 4 в)п(2п — Ця 68) —. Указание, у = — ~~« 4 ' «г, 2п — 1 я2 «гг я2 69) а) —; б) —; в) —.
6' 12' 8 «Г — и В«П ПЛ 70) Указание. = ), 0 ( л ( 2я; а) в рвзло- 2, п женин функции у = — заменить в на 220 б) вычесть 2 из разложении функции у = — разложение функции 2 у= 4 2 я я 7Ц а) —; б) —; в) —. 4' 4' 21,УЗ а(«г — а) яз — 3«га + Заз 2 ' 6 00 ОО 73) а) — +4~( — Ц" — + 4~~«( — Ц" —; п«1 п=1 б) — + 4 ~~«( — Цп + 2я2 ~~«( — Цп+ — + п=1 п=1 + 12 ~~«( — Це —; пи! 4 2 пСОВПВ ( Ц н) -«г + 8яз ~ ( — Цп — -1-48~ сов пи, 5 пз п4 «=1 «=1 74) Указание. Разлагая в ряд Фурье функции>, приведенную в правой части, при повторном интегрировании по частям учесть, что значения ее производной вточках О и л равны О.
Охи бкх 4. 2кг 75) Указание. Получив разложение функции 12 на [О; к], доказать, что обе части полученного равенства не меняются при замене х на 2к — х. 80) а) е~~~ сов(вшх); б) е'~~в!п(в!ох). Указание. Рассмотреть у>(е' ), где >>»(х) = е'.
81) а) в!п(сов х) сЬ(в!п х); б) сов(сов х) вЬ(в!п х). Указание. Рассмотреть у>(сов х+ ! в!п х), где 1е(х) = в!и г и использовать формулу в!п(а + 131) = в)п а сЬ 13 + !сов а вЬ |7. 82) а) сов(сов х) сЬ(в>п х); б) в!п(сов х) вЬ(в>п х). Указание. Рассмотреть 1л(осях+ !в>п х), где ~л(х) = сов х и использовать формулу сов(а+ !11) = сов а сЬ р — ! в!и о вЬ 13. х 1 83) а) (1+соек)!и 2сов — + -хв>их, [х[ < к; б) — х(1+соек)— 2 2 ' ' 2 — вшх!п(2сов — 1! [х[< к.
Указание. Рассмотретьу(с' ), 2/' где >>>(з) = 1+ -( 1п(1+ х) и использовать равенства 1 1 1 1 у>(х) = 1+!п(1+в)+ — (!п(1+я)> х) и х п(п+ 1) и и+ ! 1 1 хв!пх 84) а) — — — сов х— 2 4 2 х 1] в!пх 1п2сов — — —, х ф Ьг, б) >, 2 4/ ' '. Указание. ПримеО, х = й>г. 1 1/ 1 1 няя равенство = — ~ — —, рассмотреть из †2[,п — 1 и+1/' функцию 1Л(х) = !п(1+ г). х 1 85) а) в)п х 1п 2 ссж — — — вш х, [х[ < л; 2 4 х 1 1 б) сов х.
1п 2 сов — — — + — сов х, [х[ < и, 2 2 4 86) а) (сов х + сов 2х) !и 2 сов — + — (в!и х + в>п 2х) — сов х; 2 2 б) (вша+ в!п2в)1п2сов — — — (сов в+ сов2х) — в1пв. 2 2 л 87) сове!п2совх+ в вша, О < х < —; 2' совх!п2(совх)+(х — к)вшх, — «* и. 1 функцию Р(в) = — 1п(1 + г ). в вгик+ сова, О < х < 2к; 3 1 — сова — —, О < в < 2к. 4 2' Указание. Рассмотреть 88) а) (1 — сов х) 1п2в(п —— 2 б) (1 — сова) 1п2е4п — + 2 б) 1п(~/1+в!их+ ч'в!пв), О < в < в. Указание. Рвс- (2п — 3)Р вв" смотреть функцию ~р(в) = г = агсв(п в; ~- (2п — 2) 1! 2п — 1 «=! проверить формулу сов в агсьбп егв = агсвгп + с!п(~/Г+ в)их+ ~/в)п в). ~/1 + в!п х совх, /и к~ 91) а) агсвш +~/2в)пасов ~ — + — ) — сова, ~/Г+ в(п в ~2 4/ 0<в<в; б) !п(~/Г+в!пв + ~/апв) — ~/2в!пав!п ( — + — 1! + вш ~2 4/ О < х < к.
Указание. Рассмотреть функцию 1 1 1 Указание. Использовать равенства (и — 1)п и — 1 и 1 1 1 1 1 1 + Рассмотреть (п — 1)п(п+1) 2 и — 1 и 2 и+1 функцию Р(в) = 1п(1 — в). и 1 и 89) — — -(сов х !п 2 сов х + в в)п в), О < х < —; 4 2 2' и 1 — — — -(сове!п2~ совх~ + 'х — и) в!п х) — < в < и. 4 2 '2 Указание. См.
пример 2 гл. П 1 2 н задачу 87. сов в 90) а) агсв!п , О < х < л; ~(1+ в1пх 1 г —— у(г) = агсв«и г+ -(«/1 — гг — 1) = г 1 гг 1 3 гв ! 3 5 гг 2 3 2.4 5 2 4.6 7 1 1 „ 1 1 3 в 1 1 3 5 в — — 1-г + — г+ — г+ г+ г12 24 246 2468 1 гз 1 3 гв 1 3 5 гг = — + —.— + — — + — — + 12 2 34 2456 24678 102) 0 при (а) < 1, 2л!и )а) при (а! > 1.
Указание. Продифференцнровать по а. » «г 103) — — а" при !а! < 1, — — при )а( > 1. Указание. Продифи иа» ференцировать по а. «г 1 — а 2 «г а — 1 2 104) !и при )а( < 1, !и при (а! > 1. 1 — аг 2 ' аг — 1 2аг 1 Указание. Разложив функцию в рлд, 1 — 2асовх+ аг проинтегрировать по частвм. 105) О. 106) 2«г. л 1 «г 1 107) — при !а) < 1, — при )а! > 1.
Указание. 2 еь а ' 2а агв — 1 в«и Их Разложнть г в рлд по системе (в«и ибх) 1 — 2а сов 5х + аг и использовать значение интеграла Лапласа (см. пример 55 гл. 1 1 3). 108) «г при !а! < 1, 0 при !а! > 1. 2 «гг 109) при )а! < 1, при )а! > 1. 4«гг 4«гг / 1 « 110) — 1и(1 — а) при !а) < 1, — !и ( ! — — ) при )а)) 1. а а ~, а,~ 2лга»« 2лг 111) г при!а(<1, г при (а!>1.
«»- « «г 1 112) — а~ ' при !а! < 1, —. при !а() 1. 2 ' 2 а"'+' «г «/! — аг 113) 1и . Указание. Положив а = в«и о, ~/à — аг 1+ «/à — аг 2 привести знаменатель к виду 1 — 2Л сов в+ Л, Л = 18 —. 2 й Восстановить а из уравнения Л = 1+ ъГ1 — а2 / а 1!4) ~ . См. указание к задаче 113. Д в2 А! ! /! взг аОГ 115) 2в' . 1!6) О. См. указание к задаче 113. в2 ' 2в Г а 117) — !п ~! + ~. См. указание к задаче 113. 1+ г/1 — аз 118) гг 1п . См. указание к задаче 113.
2 в/ а 119) — — ~ . См. указание к задаче 113. и ~,1-1- ~/à — аз/ 22'2 120) . См. указание к задаче 113. Л: оз' 2кг Г д 121) 1 1 . См. указание к задачг !13. ~/1 — аз ! 1 -ь Я вЂ” пз / 122) — !п ~1 — ~. См. указание к задаче 113. а А 1 -!. 1/1 — о2/ гг/ а 123) — 1 ~ . См, указание к задаче 113. г !+~~ — 2( 124) . См. указания к задачам 113 и 107. ев(1+ ~/Г- а~) — в 1 !'+ Д п2 + ве-О 125) — - " .
См. указания к эада- 2 Я вЂ” а~ 1+ ~/1 — а~ — ае чам !13 н 107. + ОЭ +ГО 2 Г' в!пЛ 2 Г 1 — совЛ 126) — / — сов Лв г!Л. 127) — / вгп Ля г!Л. л,/ Л о а +СО +ОО 1 Г гусовЛх+Ав!пЛя 2Л Г 1 — соваЛ 128) — / г!Л. 129) — / сов Лв г!Л. в,/ Лэ+фэ ва,/ Лз о о +ОО +ОО 130) — Гу е ' совЛвг)Л. 131) 2 е ' в!пЛвг1Л. -ОО а у г 2 Г сов— 133) — / г сов Лх 81Л ,Г' 1-Л о 132) — ( вьп Лх 81Л. 2 Г выл Льг ( 1-А о 134) — ( 2 Г вьп Л(х — а) — вшЛ(х — б) ьь'А. ьг ь Л о 2лоь Г впь 135) — / вьп Лх НЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
