И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 65
Текст из файла (страница 65)
В силу нечетности данной функции получаем, что ап = О, и = О, 1, 2,..., и 2 l ໠— / ваш плох ж о 2 ~п 2( 1)п+1 — -хсовпх~ + [ сояпхИх =, и б И. кп а и а Так как для любого х б ( — я;к) условие признака Дини вы- полыено, то равенство ( 1)п+1 к=2~~ ашпх и пп1 верно для любого х Е (-!г; !г). Непосредсгвенно видно, что ( 1)«+! в точках хг« = (2т+ 1)в, гп Е К, ряд 27 вшах л ,г(х — 0) + ~(-х+ 0) сходятся к 2 = О. х Функция Р(х) = — являетсв первообразной для у(х) = х 2 на [ — !г; !г].
Следовательно, как разобрано выше, ряд Ао ( — 1)" — + 27 — соввх 2 ~ пз ю«! является рядом о'(Р'), равномерно сходящимся к 2я'-периодической функцнн Р', соввадающен на [ — !г;!г] с Г. Значение козффнцнента Ав наводятся по общей формуле 2 ! хз !гз Ао = — / — ох = —. х/2 3 е Итак, для всех х Е [ — !г; гг] имеем равенство хз ю,гз ' ( ц« — = — + 2Ъ совлх. 2 6 ~-, аз ! „г Очевидно, функция !г(х) = — — — удовлетворяет условию 2 6 у(х) ях = 0 н одной нз ее первообразных является нечетная хз-хзх ( — 1)" .
функцвя Ф(х) = . Следовательно, ряд 2~ — аш пх 6 ва ««!' являетсл рядом о(Ф) (Ае = 0 в силу нечеткости Ф). Так как 3 ««( 1)«+! = хзх ряд — Ъ в!вял есть ряд !г(у), где у = —, то ряд 6 Е ! (-1)" ! хзпз! з — ~2 — — ~ аш ох есть ряд а(С), где С(х) = —. па~ 21 6 «=1 Функцнл Ф Е С [ — !г; гг) и удовлетворяет условиям Ф( — гг) = = Ф(х), Ф ( — гг) = Ф'(гг); согласно вышеприведенному утверж- /11 дению, ее коэффициенты Фурье имеют порядок о [ — ), п — г оэ 1,пэ) Хотя функция с также бесконечно дифференцируема на [-х; х], но на концах этого отрезка приивмает различные эначення. Этнм обстоятельством и объясняется, почему коэф- /1~ фвциенты Фурье функции С имеют порядок о ~ — ), п -+ оо, 1 ~п) аяео 2 'п Непосредственно проверяется, что каждая из систем: ег;(х) = сое(1 — 1)х, 1(г;(х) = юпгх, г Е 1Ч, ортогональва на [О; х].
Если функция у Е Й~[0, х], то для функции е, сонпад1ггощей с у на (О; и) и являющейся четным продолжением у с (О; х) на [ — х; 0), тригонометрический ряд ае Фурье имеет ввд — + ~ а„сов пх. 2 еег Иэ сходимости в среднем этого ряда на [-1г; и] к у следует, что на [О; и) этот ряд сходится в среднем к /, т. е. е ь э /('.) ~~(х) — — — ~а„совах) Их -+ О, й -+ оо, е пег что показывает полноту системы нг(х) = сое(г' — 1)х, г е Й, в И~[0, х). Точно так же, только используя нечетное продолжение функции с (О; и] на [ — х; 0), показываетсл полнота системы ф;(х) = еш (х, г Е И, на Йэ[0, х]. Одновременно видно, что для рядов Фурье по каягдой из этих систем сохраняет силу условие Данн поточечной сходимости.
Коротко задачу ржгложения функции в ряд Фурье по этим системам, а также и полученных вэ них линейным переносом на отрезок [О;1), формулируют так: найти разложение функции / Е В~[0,1) в ряд Фурье по косинусам (синусам) кратных углов. При этом коэффициенты искомого ряда находятся по формулам (4) или (5) соответственно, а четное или нечетное продолжение подразумевается. Пример 12.
Найти разложение функции у = 2х — х~ по косинусам кратных углов на отрезке [О; 2], Но общему правилу получаем, что 3 з г 4 оо = У(х)лх = х о у(х) соо — Их = / 2 о )з Г г~, х) Г хпх — х о1п — ~ — 2 ~ (1 — х) ош — 4х хп ~ 2 )о,/ 2 о 1 г 8 хох! Г хпх — (1 — х) соо — + / соо — ох язпз ~ 2 ~ / 2 о 4 — и = 2й, изйз О, п=2й — 1.
ои— В салу условия Дини равенство з 2 4 ч соо2хпх З хо~ (гп)з верно для всех х Е (О; 2). Из вышесказанного вытекает, что сумма равномерно сходящегося на всей числовой прямой ря- 2 1 ч соо2ппх да — — — ~ 3, 2 равна функции /'(х), полученной из и=з функции /(х) = 2х — хз сначала четным продолжением на (-2;0), а затем периодическим с периодом 4 продолжением на всю числовую прямую (рис. 21). Пример 13. Найти разложение функции у = соя х по синусам кратных углов на отрезке (О; и). По общему правилу получаем, что для и ф 1 2 Г й„ж — уу соох о1ппхдх = о Рва 21 1Г = — ~ (е1в(в+ 1)я+е1в(о — 1)л) ~Ь ж е 1 (осе(п+ Цл сое(о — 1)л~ ~~ +1 -1 И.
О, вж2й — 1, е 2) Ь| м — ( соел авлех мО. ю ° о 8 вив2вв В силу условна Дини равенство ссе л м — ~ — лерк 4ве-1 ве1 ио длл всех л Е (О; е ); если я = л'Й, Й е Е, то непосредственно видно, что сумма полученного ряда равна сое(0 + 0) + сое(з — 0) 0= 2 В эаклвчеиие скамем о некоторых вопросах, выходлщих аа рамии курса математического анелиэа. Мы рассматривали представление интегрируемой с квадратом функции 7 рядом Фуръе по системе, состолщей из трпгокометрпческих фуикпий.
Справедливо утвериденне, если тригокометриче. со ае е / япя, япх\ скин ряд — + у ~а„сое — + й„е(в — ! сходится к функат1 цив у Е Я [-1,1) для всех я Е [-1;1] ~ М, где М вЂ” ве более чем счетное множество, то этот ряд есть ряд с~(7) функции у. Такам образом, на множестве кусочно гладких функций представление функции ее рядом фурье по системе (р; ) является единственно возможным представлением этой функции трвговометрвческнм рядом. В то же время сумма сходящегося всюду на [-к; я) тригонометрического ряда ~(а„соя вя+ Д в1п и*) может быть функцией ве интегрии-! руемой с квадратом ва [ — ~г; я) (и даже не входящей в класс Й[-я, я); см, задачи 22 и 23 гл.
11 1 5), т. е. таков ряд ве является ридом Фурье никакой функция ~ Е ~В[ — х, л). Вопрос о характеристике класса функций, являкецихся суммами всюду сходящихся трвговометрических рядов до сих пор не имеет полного решенвя. Как показывает результат задачи 19 гл. 11 ] 5, даже для непрерывных функций у ряд а(у) может расходиться в некоторых точках. Более того, известны првмеры непрерывных функций /, для которых ряд о(у) расходится на множестве мощности континуума.
В то же время известно, что для всех функцвв У Е В [ — я, и], в частности, для всех непрерывных яа [-я; я), ряд о(У) сходится к У для х Е [ — к; к] ~ М, где М— множество меры вуяь. Но известны также примеры трвго- ОО нометрвческих рядов ~~~ (а„сое пя + ф„еш яя), содержащих е=е отличные от нуля коэффициенты н сходящихся к нулю всюду, кроме некоторого множества меры нуль. Таким обрезом, если требовать в задаче представления функции тригонометрическим рядом иоточечную сходимосгь этого ряда к данной функции всюду ияи эа исключением не более чем счетного множества, то задача ве имеет решения даже для некоторых непрерывных функций. Если же ограничиться требованием сходимоств всюду, кроме множества меры нуль, то задача решается неоднозначно.
1 2. Суммировдкив п игономкпичиских рвдов с помощью Апдлигичкских функций комплвксного пкиаикнного Пусть ряды сп пп че + 7 в сое впк ~~~ Фпв внз вил 2 пвп1 пвп1 (6) 1 -ее+ 7 !7 хпв. 2 пвп1 (7) На окружносгн Ц = 1, т. е. при г = е1п, этот ряд сходится, кроме, быть может, конечного множества точек. Следова- тельно, ряд (7) сходятся всюду при )л) < 1 и его сумма ° и Ю(е) = 1Р(ге!*) = -в7о+ ~ Дте впп1 при О < (з) = т < 1 есть аналитнческая функцня.
Тогда по второй теореме Абеля, если ряд (7) сходится, то 1(х) + !у(к) = !пп Ж(ге!~) = УУ(е1~). Найдя функцяю в!в в явном виде н вычислив ее значение И~(е'и), тем самым нандем и суммы рядов (6). Пример 1. Нанта сумму рядов соя !пл ч е!и пвя Е н пв !и пв=1 пв=! Рен!евме. Первый ряд сходится для х 11 2пп, я Е Ж, второй сходятся для всех я б Ж.
Оба рида являются рядами Фурье для определяемых ими функций у(я) и у(х). сходятся на отрезке [О; 2л) соответственно к Дл) и у(л), кро- ме быть может конечного множества точек. Рассмотрим сте- пенной ряд с теми же коэффициентами, расположенный по степеням комплексной переменной ж лз Рассмотрим ряд 7 —.
Его сумма !е(х) равна — )п(1 — г), и! т=! 1 т. е. равна 1и —, ~г( < 1. Следовательно, 1 — г 1 Дх) + !д(х) = 1п —,, х Е (О; 2х). Поскольку 1 — совх + Вв!п х 1 — е!* 1 — сов х — ! е!п (1 — сов х) + е!и х 1, сов в -+' — += 2 2в!и— 1, е!их = — + 1.
2 2(1 — сов х) 1 г. х = — ~в!и — + ! сов 2вшн ~ 2 з х) + ! в!п (- — — )), 2 2 1 х х — х !и —. = — 1п2в!п — + ! —. 1 — е!* 2 2 Таким образом, сое пх х Дх) = ~~! — = — 1и 2 в!п —, х Е (О; 2х), и 2' в=! Оо у(х) = ~ — = —, х Е (О;2в'). и 2 ОЭ ОР— + 7 сов пзх и ~~! вш тх. 2 ив=! т=! Отметим, что для применения изложенного выше метода обязательно надо быть уверенным в скоднмости рядов (6), чтобы определять их сумму с помощью предельного перехода (8).
Одно существование предела в правой части равенства (8) еще не позволяет сделать заключение о скодимости рядов (6). Для иллюстрации этого утверждения рассмотрим ряды Эти ряда расходятся при О < х < 2к, однако для соответ- ствуюи!его ряда при стремлении точки г = ге!* по радиусу к точке е!г на окружности имеем 1 1 1- гсовх — !гв!ох 1 !ип — -=!ип -+! 1 — ге! 2 ° -ь! (1 — гсовх)в+гвв!п~х 2 1 !ге!и х 1 — гсов х !ип ~-+! 1!,1+ гз — 2гсовх 1 — г !ип е-+ ! ! 1 + ! з — 2г сов х 2 1+ гв — 2г сов х !виля 1 + ! ! — 2г сов х !впл х !сск *- 2 хф2хя„хЕК. сове)з Пример 2. Найти сумму рядов у( ) ~ ( 1)в-! ( и )х вю! , в!п(2п — 1)х 2п — 1 вж! Решение.
Рассмотрим ряд СЮ з«-! ( — 1), !в)< 1, вг.Ы. 2п — 1' вю! мает значений ж! (проверьте! . Применяя формулы Эйлера, 1 получаем что при в ф х+ — к, й Е л', 1 2 в!ил 1 е" — е '* 1 сам — 1 1кх = — = —,. совх ! е" +е '* ! еам+ 1 В теории функций комплексного переменного выводится, что сумма зтого ряда равна вгс$к в. Функция ю = !к х не прини- (1 — в«п х + «сов х) (1 + вш х + «сов х) «сове 1+вал (1 + в«п х)з + сове х («г х) 4 2 Так как модуль этого числа равен ~Гд 1 — — — 1 ~4 2) равен —, есяи х < —, и — —, если х > —, то 2' 2' 2' 2' !и —. =!и ~1й ( — — — ) ~ х — '« , а аргумент 1 асс!к х = ж — + — !и ~гк ( — — — ) ~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
