И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 61
Текст из файла (страница 61)
51. Указание. Написать условие крвтервя Кошв равно- мерной скодимосш интеграла на (с;о) п перевтп к пределу прв у -+ с+ в у -+ И вЂ”. 63. Решение. Возьмем число с > О. Так как интеграл вша — бх скодвтсн, то вапдется такое чвсло В > 1, что для х е ь, Г юпх любов пары чисел Ьз, Ьз, В < Ь| < Ьз, имеем / — Их < е. ь, 1 Если 1 > у > — или у = О, то для любой такой пары В / ошх Г(х,у) — ~ =0; х ь, 1 1 если же 0 < у < —, то для любой такой пары няи В < Ьг ( —, У тогда ь, ппп(ьз,~') )~г(*.,)г — "*а*(=) Г '— "*а)<., ь| ь, ь 1 Г о1пх ияи В < — ( Ьы гогда / Г(х, у) — Их = О. Следовательно, ь! +ОО 81п х в силу критеряя Коши интеграл Г(х,у) — Их сходятся х о равномерно ва [О; 1).
Для доказательства неравномерной схо+со Г Г(х,у)]о)пх] димости на [О; 1] интеграла ~ ' ~1х прежде всего о заметим, что при любом у б [О; Ц зтот интеграл сходится, так как подынтегральная функция отлячна от нуля только 1 ва конечном интервале. Пусть у„= —, п й Я, тогда 41гп ' 4ю» [о1пх] Г [ошх] 2п Г, 1 Г(х,у„) дх — 4х > ]ошх]Ыхх,г х 4хп/ х что в силу произвольности и Е 14 я показывает неравномерную сходнмость рассматряваемого интеграла на [О; 1]. 64. а) Интеграл [/(х, у)] Ых сходится равномерно на М; а б) Функция у(х, уо) монотонна на [ос роо) для любого уо с М на [а; Д]. 65. Решенве. Интегралы 1 1 х"/(х) Их = х" '(х'/(х)) 6х / х" /(х) Их = *" ~(х~/(х)) 6х сходятся равномерно а силу признака Абеля.
66. Решение. Неотрицательвость /(х, у) следует иэ ее 5 1 определения. Если х > 5, то 0 « — — в ( 5~ 5 впр /(х,у) > / ~х,— 1 = эе1ея1 ~ '2х/ 2х!пх Следовательно, если /(х,у) < 1с(х), х Е [2;+со), у Е [О; Ц, +со 5 то р(х) > — для х > 5 н интеграл 1е(х) 6х раскодвт2х!пх ся. Покажем, что интеграл ~ /(х, у) 6х сходится равномер- но на [О; Ц. Воэьмем число е > 0 и вандем такое В > 2, что 1 3 2 1п В > —. Пусть В < Ь| < Ьэ. Если 1 > у > — или 0 < у < —, е ь, 2 3 то ~ /(х, у) гЬ = О. Если ме — < у < —, то Ь, Ь, ' ь, ь, / Г уе(п хху 1 l /(х,у)ох < 6х < — /1 уаш хху Ых < 1пх 1пЬ~ / ь, (ь„а) эх 1 1 / . 1 < — - у е)п 1 Ю « — е.
1пВ я,/ !пВ эа Итак, а силу критерия Коши данный интеграл сходится рав- номерно на [О; Ц. 67. Решение. Локальная монотонность функции Г(х,уо), уо Е [О; Ц, в правой несобственной точке +со следует вз определенна; равномерное стремление Г(х, у) к нулю прн 1 х -+ +со — вз неравенства [Г(х, у)[ ( —, у Е [О; Ц. Пусть х 1 У» = —, п6 И,тогда 4оп' о«» о«» « Г ошзх 2п Г з 1 Г(х,у)огвхг1х = / — Нх ) — / ош хая = —, 4хв,/ 4' что в силу проазвольностн п Е )ч а показывает неравномер- ную сходамость рассматриваемого интеграла на [О; Ц.
Функцвя уо(х) = Г(х,у) монотовва на (Ь(у), +со), н Ь(у) зависит от у (ср. с примером 46 гл. 1 $3). 68. Решенне. Монотонность ва [О;+со) и стремление к ну- лю Г(х, уо) прв х -+ +со для любого ус 6 [О; Ц следует вз опре+»« деленна. В силу празнака Дврнхле антеграл / Г(х, уо) о)в Ых о сходится прв любом уо Е [О; Ц. Полежав Вг = 2тгп, Вз = 1 1 = о(2в+ 1), уо —— 2гг(в+ Ц , и 6 Й,тогда Вг < Вз < уо а, следовательно, Г(х,уо) = 1 для х Е [Вг, Вз]. Отсюда поп.
«(3»+1) г, ) Г<*,»> ' *г*= ) « *г*=г. т в, 3«» уо Е [О; Ц, а Вг может быть сколь угодно болыпнм за счет выбора в, то полученное равенство показывает, что т Г(х, у) вгп х ~(х сходатся неравномерно на [О; Ц, о Функция Г(х, у) неравномерно стремвтся к нулю на [О;+со). 69. Решенне. Не ограничивая общности, можно предпола- гать, что Г(х, у) ) 0 на [О; +со) х М н, следовательно, Г(х, уо) монотонно не возрастаег на [а;+со) прв любом уо Е М. Ес- ли Г(х, у) прв х -+ +со сходятся к нулю неравномерно ва [О; Ц, 610 то существует число со > 0 такое, что для любого и Е р1 найдутся у„б М и х„> я(2п+ 1), удовлетворяющие условию у(х„, у„) > ео Так как у(х, у„) монотонно не возрастает, то, не огранвчивоя общности, можно считать, что ~(х, у„) > ео для всех х < х(2п+ 1).
Отсюда получаем, что 2«»+а У(х,уу)в)пхИх > со / в1пхд1х = 2со, откуда следует неравномерная сходимость интеграла +со 7(х, у) о1в х ох на М. Полученное противоречие докззы- о воет, что у(х, у) ~ 0 на М при х — ь +со. +с« 70. Решение. Необходимость. Пусть интеграл / 7'(х, у)Их а сходится равномерно на М и (х„) — последовательность, удовлетворяющая данному условию. Возьмем число с > 0 и найдем такое В > а, что для любой пары 6ы 6з, В < 6д < Ьз, ьд ~ууа,д)д*~д ° д дда. а.„д ь, сги последовательностн (х„) и условия !пп х„= м найдется «-д«а такое Ф е 1Ч, что х ь > В для всех гп Е й, пь > № Тогда для всех у Е М я любых натуральных чисел р и пь > дг имеем ° »+Р +а Е 1 хо д) д< ) = ! 1 х(д и) дд( д ° а а д Оа „.„д,р„,р к, р,д ~' 1»д,д)дд .д р номерно на М.
«ан дд Достаточность. Предположим, что интеграл / у(х, у) Их а сходится неравномерно на М. Построим такую последовательность (х„), удовлетворяющую заданным условиям, что б11 с„ д д К / )О д) дд ддд ° > а=1 с аа М. Возьмем некоторую последовательность (с„): ю = со < < с) < сз «... с„« ... о)д !ип с„= ы. Так как интегРал о-+оо У(х, у) ях сходвтся неравномерно на М, то существует таа кое чвсло ео > О, что для любого В > о найдутся числа Ь), Ьг, ь, в<а, <ь<, д, ам,д д /~))*,д)д*/ ь, Попонам хо = ю и найдем х), хз, ю < х) < хг < о), у) Е М так, ~~))д,д)дд~.> ..
в в, = ~*...,) дд. с! сд хз,ход В) < хз < хо < ш, уз Е М так, что У(1,уг)Й > со. св Продолмая этот процесс, получим последовательность (х„) н последовательность у„такае, что 1) у„Е М для любого и Е Я, 2) ю= хо<хг<хз<хз<хс« ... хз, -1<хз « - ° о), 3) с 1 < хз„, 1 < хз для лк)бого гп Е 1Чд св 4)) ~ ))д, )а)>.... Свойства 2) и 3) показывают, что 1нп х„= ы, т. е. послео-+о> довательность (х„) удовлетворяет условаям формулировки с ц ° д) — д,д т' 1 ))дд)а о=! днтся аераваомерно на М. Итак, получено протююречае с требованием раввомернои сходнмости этого ряда прн любой последовательности (х„), удовлетворяющей этим условиям. Получеаиое противоречие заканчивает доказательство.
412 71. Решение. Сходвмость интеграла е "' соу х Их па а (О; 1) следует ю прюнака Днрвзле, а неравномерная сходимость на (О; 1) — ю расходнмостн зтого кптеграла прн у = 0 (см. Задачу 61). Так как функция (у(() = (е ~', Ь ф 0 на (О; 1) 1 неотрвцательва, пршшмает навбольшее значение — прн 1 Ье М= — в Ь Зев~ е "* 12пп е увсоехйх = — (мпх — усоух)~ ]+ у2 Зп(п-1)» Зв(п-1)в У -Зпу(в-1) < -Зпу(зв-1)ъ С 1+ р' ';: — с 2п»* -2п (и 1)~ 1 2зе(п — 1 2' Зп(п-1)2 у Е (О;1).
В свау првзвака Вейерштрасса полученное неравенство дока2пв* в<2, / " *в Я Р <. вв1 Зп(п-1)1 но на (О; 1). 72. Указанве. Есув хв 1 < Ь1 < ЬЗ < х,„, то ~з в, о</11,<1<,<1' /11<у« у, (=в „. 73. Указаняе. Есля хв, < Ь1 < ЬЗ < х,„, то велнчн ~/11*,у)<*~ и б ь и Ьз 613 величинами: / лг,ей~, ~~ / л~,еа~, Ф, 74. Указание. Обоснование производится так же, как обоснование перестановки двух несобственных интегралов при вычислении интеграла Френеан (см. пример 52 гн.
П 5 3). Глава Ш РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ $1. РЯДЫ ФУРЬВ Определение. Функцвл /: [а; 6] -+ й называется функцией с интегрируемым квадратом на [а; Ь], если / Е Й(а,Ь) и /~ б Й(а, Ь). Множество функцяй с янтегрируемым квадратом ва [а; 6] будем обозначать Йз(а, 6). Отметим, что множества Й(а,6) и Й~(а,Ь) частично пересекаются. Действительно, если неогранвченвая функция / Е Й(а, Ь), то /з ве обязательно внтегряруема на [о; 6], на- 1 прямер, /(х) = — на (О;1). Для ограниченвык на (а,Ь) ь/х функций нз интегрируемости / ва [а; Ь] следует интегрируемость /~ на [а; 6], но яз ннтегрируемости /з на [а; Ь] не сле- 1 дует янтегрируемостн / на [а; 6], например, /(х) = — — В(х) 2 ( 1, х — рационально, иа [О; 1], где 0(х) = 1 — функция ( О, х — иррационально Дярихле.
Множество Йз(а,6) представляет собой линейное прость ранство. Интеграл /(х)у(х) Их определен для любых двух а функций из Й~(а, Ь). Его можно рассматривать как скалярное произведение в Й (а, 6) и ввести соответствукяцую норму: ь ~/з [[/][ = / (х) ь(х О ь 1/з Отметим, что фукционал / /з(х) 4х яе удовлетво- а ряет всем требованвям, предъявляемым в опоеделеввя нормы линейного пространства; именно, есля / Е В (а,6) и множество М = (х, х 6 [а; Ь], /(х) ф 0) является множеством меры 615 ь нуль, то ~~(х) ех = О.
Такам образом, из условия ![Д = О а не следует, что у есть нулевой элемент пространства Л~(а, Ь), т. е. Дх) = О, х б [а; 6], а следует только то, что /(х) = О для х б [а; Ь] ~ М, где М вЂ” мнопество меры нуль. Будем называть две фувкцви У б В~(а, Ь) в у Е В~(а, Ь) эквиааеентнымн, если они отличаются только иа мнопестае меры нуль; тогда ь 1/3 мопво сказать, что функционал уз(х) ех есть норма а и пространстве (линейном), элемевтамв которого являются классы эквивалентных функций из Л~(а, 6).
Опреде~впе. Система фувкцвв (4;(х)), ф; Е Йз(а,Ь), называется ортогональной ва [а; 6], если ь ~м*вл*и*= <,",, ,'.~,'.' Определение. Система функций (4<(х)), 4ч б А~(а,Ь), вазываегся ортоиормнрованной ва [а; 6], если зта свсгема ортогональна на [а; Ь] в ь ~уз [[Фю[! = ~фу( ) ~х а для всея 6. Если (чч(х)) — ортогональная система ва [а; Ь], то система < — ~ ортовормированная на[а;6].
Ф'(х) ) [[Ф;[! 1 Пример 1. рассмотрим функции н(х), являющиеся решенвямн уравнения в" + у(х)и = Ли, где функцвя е Е С [а, Ь] и А — некоторое число. Если при некотором А существует отличяая от тождественного нуля на [а; Ь] фувкцвя из(х) б Сз[е, Ь], удовлетворяющая этому ураавеввю и условиям и(а) = и(Ь) = О, то такое число Л назовем собственным значением задачи, а фувк- $16 цию иь — собствеввоя фувкцяей задача, соответсгвующей собственному зяачевяю А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
