И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 59
Текст из файла (страница 59)
74. Обосновать возмо!кность перестановки двух несобственных интегралов в интеграле я!пах у"' 'е и"!!у Их, 0<го<2, о>0. / о а ОТВЕГЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ Х( )= 1. а) 1пп !о(п) = оо и ~ о„)(о(п)) <+со; ии! б) !Ип ((2(п) = 0 н ряд ~~2 й„((2(п) расходится. и-во> и=! 3. Указание. Рассмотреть / у (1) в(1, 0 < х < 1. 4. Например, а('2 2 ош( — (22 х — 2 +1)), хе[2 — 4;2 м+4 ], тй1(1, т>1, О, хЕ~ )(2 — 4;2 +4 !. 5. Указание. Рассмотреть 122(1) й, если / не возраста- и ет и 122"(1) (11, если 2' не убывает.
и/2 6. Решение. Если функция у ие убывает на (О;1) н ин- 1 1 /в(*(в* в, !1(*(в*=в,' ! В(*(в*> о ь ° и2 1 и-1 у . и-! 1 /1'2 > — 2.!1-1 > 2' ,1' в(*(в* = 1 в(*(в*, -. ° ° =1 в=! о дует требуемое утверждение. Для невозрастающей функции доказательство аналогично. 7. Решение.
Если функция у не убывает на (О;1) нес осо- 1 бой точкой является 1, то сходимость интеграла / у(х) ((х о и ограниченность последовательности 2(х) (2х зквивалент о лученных соотношений следует требуемое утверждение. Для иевозрастающей функции доказательство аналогично. 10. Решение. Из результата задачи 5 следует, что Дх) -) 0 ври х -+ +оо, позтому, не ограниченая общностя, можно считать, что функция 1 поло1кительная и невозрастающая на [а;+со). Тогда для 0 < Л < 1 имеют место неравенства «+(в«+1)Ь а+(в+1)Ь 1(х) 1(х = ~~1 / /(х) 1(х < «+а а+«Ь а+вь а+пвЬ ~<Л~Да+пЬ)(~в / у(х)ах«а / Дх)(х.
а+(в-1)Ь а В салу веотрицательвостя у отсюда следует эквивалентность + сходимосчв ряда ~~1 1(е+пЬ) в ввтеграла / ~(х) 1(х, а также неравенство +«а +«3 1(~) 1(~ < Ь ~ ~( + вЬ) < / 1(~) 1(х, а+Ь вв1 а из которого следует требуемое утверждение.
11. Решение. Необходимость. Пусть интеграл / У(х) 1(х а сходится и (хв) — произвольная последовательность, удо- влетворяквцая условию. Возьмем произвольное е > О. В си- лу критерия Ковш скодимости интеграла, существует число В > я, такое, что для любых Ь1 н Ьз, В < б1 < Ьз < ы, имеем ! Ь, 1(Х)ИХ < Е. ТаК Каи Хв -+ 1«, и -+ ОО, тО Су1цЕСтВуЕт ь, такое число Ф Е (1(, что для любых р Е (ч', т б (1( имеем В < х„, 1 < х .~р < ы.
Отсюда получаем, что « .1. $1 ~ 11Ь«$=$) 1(Е«$< р а 1 и, следовательно, в силу критерия Коши ряд ~~! э~ Я) !и пп! сходится. Х ! Достаточность. Предположим, что явтеграл !(!) !й раси ходится. В силу критерия Коши сходимости интеграла су- ществует такое число се > О, что для любого В > а най- дется пара чисел Ь! и Ьз, В ( Ь! < Ьз < и!, для которых ь, ! Я) а! > ее. Пусть сп — некоторая возрастающая послеь, довательвость, се — — а, (!ш с„= и!.
Пусть В! — — с!, найдем и-+00 ь!' ° Ц>,!',",в,<!',"~ь',",д р */~!!юуп$>п, ь('! и положим х! = Ь,', хз = Ь ', хе — а. Для Вз = !пах(хз, сз~ (!) (!) найдем соответствующне Ь,, Ьз и положим хз=Ьз, ха =Ьз . Д !з! (!] (г Из построения видно, что а = хе < х! < хг < хз < хе < ы и с! < х! < хз < и, сз < хз < хп ( и!.
Продолжая этот про- цесс неограниченно, получим последовательность (хп), удо- влетворяющую условиям 1) а = хе < х! ( из ° ° < хп ( хп+! ( . < и!, 2) сп < хзп-! < хзп < и!, и Е пп, пп 3) 1(М)а! > хе. пз -~ Условие 2) показывает, что 1!ш хп = и!, а условие 3)— и +О» 00 пь1; ) !(Опр ь !с п„1 обходимое условве сходимости. п Итак, предположив, что интеграл у(х) Нх расходится, а мы построили такую последовательность (хп): а = хе ( х! < й« «„. «,„, е,„=, „,<1' / 1(е)<е~ и +<о п=1 й„ ходится, что противоречит требованию сходимости такого ряда для любой последовательности (х„): а<хе < х) «... < х„«...
а), 1пп хп оо ы. Полученное противоречие » +оо показывает, что при выполнении этого требования интеграл ш / у(х) Их сходится. 13. Указание. Если хп 1 < 61 < 61 < х„„то ь, й, б./~(*)г..Е 1В) . ь ° шее — ° 14. Указание. Если хп 1 < 61 < 61 < х , то величиь, на у(х) Их заключена ме)кду наибольшей и наименьшей нз и, еп »е 1 1 //()й, т' /1(е)ее, Л' /е(е)й. ° пп+1 ° =»+1 ей» й, й, й, е й, у',/«ой пй,-е 15. Решение. Не ограничивая общности, монна считать, что единственной особой точкой функции у иа (а; 6) является точка а.
Зададим число с > О. Найдем такое Ь > а, что ! е /1(е)й/ < 1 ~ е, < е < е. ее Е е й(ее), „ 4 й найдется такое разбиение Т ((а = хе < х, < хз «... х„) < хп = 6), для которого О < У1, Т) - У(,),1 < ' л гдето(уТ) = ~~> М>(х;-х; >), М; =зару(х),хе [х; >,х>],— >ж! верхняя сумма Дарбу. Положим О, хЕ(ю;Л], М>, хЕ (х>->,х>), 1 < ! <и. Так как >ее(х) — у(х) ) О н х б (Л; Ь) о < />р и! — >>1> а < з>> т> — 1 1 ь) и* ~ -, * а >! н .
ь А Пусть Л вЂ” диаметр разбиения Т и М = впр Ях)], х Е [Л; Ь]. 1А я \ Если 6 = пни ~ —, — у, то отрезки [х> — 6; х<+Ь], [ху-6; худ], >.4 ' 8Мп) ' О < > < и, О < у < а, > ф,у, не пересекая>тся. Пусть у,(х) = у>с(х), х Е Ц [х! — 6; х>+ Ь] 0 [Л; Л+ Ь]„ >ш! линейна на [Л;Л+Ь] и [а> — 6;х>+6], 1<><п-1. Функция у, отлична от функцяи >», только на и отрезках [Л; Л + б], [х; — 6; х; + Ь], 1 < > < и — 1, причем ]у,(х) — у>,(х)] < 2М, х Е [Л; Ь], е Ф Если х Е (а;Л], то (Д1) — у(1))>11 = 1(1)>11 < —. Если а а х Е [Л;Ь], то е л х />>>~! — в В>! ~1 = > >>М + > >>>Π— а >Ф е = Е следовательно, ]у,(1) — >>е,(1)]>11 < п262М < — для всех *~ [Л;Ь].
Покажем, что функция у, удовлетворяет всем требованиям задачи. Условия а) н б) выполнены в силу определения е,. — /(1) «11 + (/(1) — ««з,(1)) «11+ (««з,(1) — е,(1)) «(х. В ь ь Применяя полученные выше оцевкв, получаем, что е ! е с с (/(1) — у.(1)) ~ < -+ -+ — = . 4 4 2 Ь Итак, условие в) выполнено. 16. Указание. Еслв а — единственная особая точка / ва (а;Ь), то для любого с > 0 найдется такое Л > а, что ч [/(1)[«««< — для всех ««, а < г«< Л. Далее доказательство Ю дословно повторяет решение задачи 15. 17. Решение.
Не ограничивая обпшоста, можно счвтать, что едвнствеввов особой точкой функции / на (а; Ь) являегся точка а. Взамем число с > О. Используя результат задачв 16, найдем непрерывную на (а;Ь) функцию у, равную нулю в некоторой окрестности точка а, для которой ь / [/(х) — у(х)[Ых < —. Если с = ш1(х, х б (о; Ь), у(х) 1Ь 0), 4 то -оо < с и а < с.
Так как а < а < Д < Ь, то найдется такое ««> О, что а < с — ««н а < а — ««< Ф+ ««< Ь. Ъ«к как функция у непрерывна ва [с — «1;Ь), то найдется такое с Л > О, что [у(х«) — у(хз)[ < для любой пары х«, хз, 2(Ь вЂ” с+ ««) х«, хз Е [с — ««, Ь), [х« — хз) < А. Положям Ь = ппп [ —; А~, тогда Щ для любого Л, [Л[ < Ь, имеем о < / ~/«*+ л) - «(*и г* с / у «.« -, «.и ь + а а + [/(я+ Л) — у(х+ Л)[йх+ [у(я+Л) — у(х)[«1х < а 4Ю < 2 Щх) — У(х)] ах+ [У(х+ Л) — У(хЦ пх < а с — Ч <2+(~ ')2[Ь- + ] <' Ф откуда следует, что 11пз l Щх+ Л) — 7(х)[Нг = О. ь-~е,Г а +сю 1О. Указание.
Сделать в интеграле у(х) зш пх Их заа мену х = 1 — — и воспользоваться свойством интегральной п непрерывности (см. задачу 17). 19. Решение. Возьмем чвсло е > О и нандем такое Л > О, что О < / у'(х) Их = Ф(9) < — для любого 9, О < ц < Л. 25 е Пусть О < Ьз < Ьз < Л. Так как у Е 3ЦЬ|, Ьз), то найдется такое разбиение Т: (Ь~ = хз < х~ < хз < ... < х -~ < х = Ьз), что ь , О < Б((, Т) — У(х) Их < —, Э(Ь,) ь, в гДе Б(1,Т) = ~~~ М;(х; — х; з), М; = зпР ~(х), х Е [х, б х;],— ~ы~ верхняя сумма Дарбу функции у. Положим Мз, х Е [Ь~,х~], у(') = М;, хЕ(х; ~,х], 2<1<в, ь.
тогда У(а) Нх = БЦ, Т). Так как У(х) > у(х), х Е [Ь!, Ьз], то ь, отсюда получаем, что О< 1'(у(1)-У(1))У1<)'у(1)У1-) У(а)а<— ь, ь, 595 для асех х с [Ь|;Ьа]. Так какфУнкциа У на[Ь|,.Ьз] имеет только конечное число точек разрыва,то функция С(х) = Ф(Ь|) — о(1) ~11 ь, является пераообразной для у ва [Ь~, Ьз]. В силу монотонпоств фувкцни Ф отсюда получаем, что Ф(Ь) Ф( ) О < С(х) — Ф(х) = (у(1) — Ф)) ~х < — < —, х Е [Ь!,Ьз], 5 и, следовательно, 0 < С(х) < -Ф(х), х Е [Ь|,Ьз]. Из всех полученных соотношении имеем, что Ьз 1 .'-~ '--'/ ' = М(~/С(Ьз) —,/С(бь)) < -ь/Ф(Ьз) < е.
Отсюда а салу крвтерня Коши следует скодимость интеграла у(х) ~Ф(г) п(*и* 20. Указание. Рассмотреть поведение ввтегралау при фиксированном Д, 0 < а < р < 1, н о -+ О+, 1 1 21. Например, у(х) = —, х Е (О; 1], у(х) = — —, х Е (О; 1]. /1 1] 22. Например, у(х) = (-1)" (о+ 1), х Е ~ —; — ~, о Е Й, 1 у(х) = —. 23. Указание. з э1пх аих 1 сое2х вш х + + /х — е(н х ~/х х 2х х(,/х — вьч х) 24.
Решение. Так как Ф Е С[0;+ос), то для любого отреэка [о; Ь] С (О;+ос) амеем Ь/2 ь '= ' — -/ — '.= Ф(2х) — Ф( ) 1 Ф()а ]'Ф( ) 2/ г а а/2 О О ь — — Нх — — ~/х = 1и 2 [Ф(6) — Ф((2)], а/2 Ь/2 ) с Е ~-'Ь~. Так как Ф(х) имеет предел (2 где 6 б 2'а, 2 ~2' при х -+ +со, то для любого е > О вайдегся такое С, что 1в2 Ь Г Ф(2х) — Ф(х) ва сельпо, если о > 2С и Ь > 2С, то /2 Нх < е. а В силу критерия Коша отсюда следует скодимость интеграла +ОО Г Ф(2х) — Ф(х) Ф(2*)-Ф(),(, Ско м, „„р,!',1, х о доваэывается точно так же. 1 /2 1 у2 25. 1) Следует иэ веравевства 1/у] < 2) Следует аэ неравевства ( Г + у)2 < 2(~2 + уэ); 3) Следует иэ 1).
26. Решение. Воэьмем часло е > 0 и найдем такое Л, 0 < Л < 1, что О < У(х)Нх < — для всех О, 0 < 2/ Е ,О« Л. Если о 0 < х < пнп Л,, то 2)'У(1) 11 л 1 ь 'Ф) Г с О О л О Следовательыо, !пп я ~ — 1!! = О. Г Г(1) + У 27. Указание. Применить к интегралу ~у(х) Ы*, 0<с<1, Е формулу интегрирования по частям и испольэовать результат задачи 26. 28.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
