И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 70
Текст из файла (страница 70)
/ Л вЂ” г о +СО +00 2а г совАх 2 Г АвпьЛх 136) — / г г ьгЛ. 137) — / г г о ь. о о + 00 1 ь88ь — ь ( 8 1 8 О. ьг г 1(Л вЂ” ф)о+аг (Л+ф)г+аг~ о -~ 'г АвшЛх ьг / [(А — ьУ)г + аг][(Л+ ф)г + аг] о + 00 +80 140) — / е 8 совЛхььА. 141) — у Ае 8 вьпЛхььЛ. 1 Г 1 Г ь/х 2ь/х,/ о о 12 выл Л 821 . А,8 142) ь[( — —. 143) 89ь — — вьп — е Ч л ' о хЛ 144) ь'ьг — еь .
1 (2(вьп2Л вЂ” вшЛ) 4совЛ /2 4 ьь + г + [ А Лв)вьпЛ Ях х~ Л Л 1 /выл 2Л вЂ” в4п Л,Асов А — вьп Л 146) — [ + 8 ьГ2х [, Л 147) 1 148) — ье сов 1. /2 ьв ь/2хх(1+ 8Л) Ч ьг 149 1 2 — ЗЛ + ь(4А — Ло) /2 а ь882эг 4+ Л~ ьг8 ьг Ло+ аг ' 150) )ь г гп 1.,'Занумеруем множество чисел —, 1 < гп < 2д — 1, 2д' п~п д Е Я, и обозначим через — элемент этого множества с 2ч гт„~ гпе номером и. Пусть ~„( — ~ = 1 в точке —, Д(я) = О ( 2е" ~ 2д" ' ™ '2ч 2д -1~ ~2е 2д -1' 1 гпд 1 пз~) ! гп» гп,з 1 на на отрезках ~ — —; — ~, ~ —, — + (см.
[2е 2е«-~'2д.~' [2ч '2ч. 2ч.-~1 рис. 23). Рис. 23 Показать, что последовательность (Д„(я)) расходится ы каждой точке отрезка [О; 1), по у,',(я) Ия -+ О, и -~ +оо. о 2. Пусть (д'„) — ортонормированная система на [а;Ь]; У 6 Нз(а, Ь) и 5;, (я) — частичная сумма порядка и ряда Фурье л функции у по системе (ф„).
Функция К„«, я) =~~ ул«)4;(и) называется ядром порядка и системы (Н„). Показать, что З„( )=~У«) „«,*)а1. а 3. Система Хаара состоит из следующих функций; Хе — 1; (а> 1, л Е 0;— 1 О, я=-, 2' — 1, яŠ—;1 Х Хе для щ Е )Ч и 1 ( о ( 2 /г — 1 гХ Хт (л) = О, Х~~1(0) = Х(ч1 — ), Х~~1(1) = Х(ч1 ( 1 —, в тех точ- ках интервала (О; 1), где значение Х<~1 не определено предыдущими условиями, это значение равно полусумме значений Х1ч1 на прилегающих интервалах. Проверить, что система Хаара ортонормирована на (О; 1]. 4. Пусть К"'«, ) = ХГ1«)Х("(.)+ ХО)«)Х«1(*)+ + Х~ «)Хь (Я) + ' ' + Хт «)Хг» (л) где Х, (я) — функции Хаара, определенные в задаче 3, т, е.
00 ядро системы Хаара соответствующего порядка. Обозначим через („) квадрат [О; 1] х [О; 1]. Разделим его гориэонтальны(») ми и вертикальными прямыми на 2э» равных квадратов Я~ „), 1 ( 1( 2", 1 ( у < 2", занумерованных первым индексом слева направо и вторым — снизу вверх. При этом считаем, что квадраты, не прилегающие к границе Ц, открытые, а прилежащие к границе Я включают соответствующий интервал этои границы (например, квадрат (,)аз включает интервал (2) 1 3 — < ( < — х = О ).
Таким образом при любом фиксиро- 2 4' ванном п каждая точка Я либо принадлежит одному вз ф (») 1 ( 1 < 2", 1 ( ( < 2", либо лежит на общей границе двух или четырех этих квадратов. Показать, что а) К( ) [(, я) = 1, [(, ) ь а; б)К» 1 ((,х)= э" я) б О» (»)в,' 1 ь» О, [(,.)бд;1), 1« '2», 1« '2», з" ' а значение К», в точках общей границы двух или четырех квадратов Ц(„равно среднему арифметическому ее эначе(») ний на этих квадратах; (э"-' в) функция К»(е), 1 ( д ( 2", совпадает с функцией К( во всех точках Ц, не принадлежащих замыканию квадратов й;,, 1 < ( < д, лежащих на главной диагонали Я; если (») ((,я) б 9;;, 1 <1< д, то К» ((~*) = 2»Ке в тех точках, лежащих на границах квадратов (;1( , где (»+! ) значение К(е) ве определено предыдущими условиями, это значение равно среднему арифметическому значений К(е) в прилегающих квадратах.
5. Пусть | б Вэ(0, 1). Пользуясь результатами задач 2 н 4, докаэат, что в любой точке хе непрсрышюсти функции ) ее ряд Фурье по системе Хаара сходится к /(хе). ( 1)» /~п+ 1 1»(1 х2)» Многочлен Р„(х)— называется и!2»+1/э (х» нормированным многочленом Лежандра порвдка и. б. Показать, что нормированные многочлены Лежандра Р„(х) образуют ортонормальную систему на [ — 1; 1). 7.
Доказать, что система нормированных многочленов Лежандра полна на [ — 1; 1] 8. Обозначим через А„множество всех многочлснов П„(х) степени и со старшим коэффициентом 1. Доказать, что 2х»+ ' (и.') 4 шщ / »(х) х (2п)Ч(2 + 1))]2»(х) 9. Обозначим через В» множество всех многочленов П„(х) 1 степени не выше и, удовлетворяющих условию / П„(х) Их (1.
» Доказать, что шахП„(0) = У Рь(0). В я=а 10. Пусть 21-периодическая функция / е Йэ( — 1,1). Для д б 1(( обозначим через а„ы 6»д коэффициенты Фурье функции 7 по системе ((г,. ) н чеРез а ю Ь е — по системе ((г, ). (0 (ч)) Доказать, что если пх = пд, то а л — — а»л, 6»,л — — 6» ь а если ш не кратно д, то а~ = О, 6 = 0; т.
е. ряд сп(7') совпадает с рядом <ге~(~). 11. Пусть функция у, определенная на Ы, удовлетворяет УсловиЯм: У' Е Й [ — л, и]; 7'(х + х) = — У'(х). Покаэатгь что у является 2я-периодической, и найти, какой особенностью обладают ее коэффициенты Фурье а„, Ь» по системе (~р;). 12. Пусть ~ — периодическая функция 7' Е Йэ[ — х, я] и а„, 6„— ее коэффициенты Фурье по системе (у,). Какими особенностями обладают последовательности (а„) н (Ь„), если график у симметричен уя а) относительно оси ОУ и точки ( —; О); (2' л, б) относительно осн ОУ н прямой х = — — 7 2 13.
Показать, что системы (сслч2пх) и («йп(2п — 1)х), и б И, являются полными ортогональнымн системами соот- ветственно на [О; «г] и [О; я-/2]. 14. Пусть / — 2я-периодическая функция, / Е Л~[ — х, х]. х Функция н««(д,/) = вцр 1 ]/(х+И) — /(х)]Их называется е<)ь)йб-~,/ интегральным модулем непрерывности /. Доказать, что 1 х 1 х [а„(< — и««( —,/), [Ь„[< — и««( —,/), и ЕИ, где а„, ܄— коэффициенты Фурье / по системе (х«). 15. Пусть / — 2х-периодическая функция с ограниченным изменением на [ — х; х] и Р --- ее полная вариация на [ — х; х] Доказать, что [а„] < —, [Ь„] < —, 2п' " 2п' где а„, ܄— коэффициен гы Фурье / по системе (1е«). я«п йх 16.
Доказать, что семейство функций ч«„(х) = ограничено в совокупности на [ — х; х]. 17. Пусть сов пх соз(п+ 1)х сое(2п — 1)х Я(х, и) — + + ' ' '+ и и — 1 1 ссн(2п+ 1)х соа(2п + 2)х соя Зпх + + + Используя результат задачи 16, доказать, что существует такая постоянная С, что ]Я(х, и)] < С для всех х Е [ — «г; х] и всех н ЕИ. 18. Пусть 7«(х, Я) обозначает сумму любого числа первых слагаемых тригонометрического полинома Я(х, и), определенного в задаче 17.
Доказать, что для любого 6 > О существует такое число Мэ, что ]~р(х, и)[ < Мэ для всех х: Ь < ]х] < х и всех и Е И. 2 19. Пусть ««(х) = Ц(х,2 ), где тригонометрический полипом Я(х, и) определен в задаче 17. Доказать, что функция 701 1 1(е) = ~ — Я (х) непрерывна на Й, а ряд гг(~) расходится ггг 2 ге=1 при х = О. 20. Доказать, что для любой функции / Е Й( — л, я) н всех и Е )Ч определены числа и 1 Г 1 аи=-/ У(х) соеихг1х, Ьи=-/ 2'(х)е1пихЫх, и = 0,1,2, 21. Функция 2 определяется на [ — гг; гг] следующими условиями: / гг гг У(х) = 3" егп4" х, х Е ~ —; — ~, и Е И, ~2и ' 2и-11 ' У(0) = О, ~(х) = — 1( — х), * Е [ — гг;0).
Показать, что а) у Е С[с,к] для любого е ) 0; б) / Е В( — гг, гг); 1 в) 1пп 6„= со, где 6„= — / Дх)е1пихИх (ср. с задал-гоо я,/ чей 18 гл.! 2 5). егп их 22. Пусть 2(х) = ~~~ —. Показать, что ~ Е й(-я, л), и но 2 Е Л [ — я, гг], сйп их 23. Пусть |(х) = ~ —. Показать, что !пи и=2 У Е С([-я„гг]'г [ — е;е]) при любом е>0, по у" Й М ( — я, я). 24.
Пусть 2 Е С[ — гг; я] и ряд гг(у) сходится к функции д(х) для всех х Е (-гг;гг). Доказать, что Г(х) = д(х) для всех х Е (-гг; гг). 25. Пусть 2я-периодическая функция ~ Е С[ — я;я] и и„, 6„— ее коэффициенты Фурье по системе (угг). Доказать, что если а„= о [ -(, 6„= о ] — ], и -+ оо, то о(2') е 2' на [ — л; гг]. ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 1. Решение. Из определенна /„(х) получаем, что 0 < ~~(х) Ых < 29 -з и н так как д„ -~ +ос при и -+ со,то, следовательно, 1 1нп /а( )И = О. «-+оа / о Пусть хе Е (О; 1]. С одной стороны, существует такая подпослеДовательность и; '1 +сю, что Се,(хе) = 0; а с ДРУгой стороны, существует такая бесконечная последовательность и; 1 +оо, что хе Е ~ — ' — —; — '+ — н, следователь12ч" 2ч" ' 2ч" 2е" 1 1 но, Д„,(хе) > —; откуда в следует расходвмость последова- 2' тельности (,/„(х)).
4. Указанне. Пункт а) проверяется непосредственно. Пункт б) доказывается по индукции. Для доказательства пункта в) воспользоваться равенством К~а)(С,х) = КС 1(С,х)+ ~ Х<'1(С)К~'~(х), 1 < д < 2". б. Решение. Пусть хе б (О; 1) н не является двончно рациональным числом.
Тогда, применяя результаты задач 2 и 4, получаем, что 5ф1(хе) = ~(С)К~ч1(С,хе) й = — /,С(С) АСС (") 1 1 1 где 1(ч) есть интервал длины — илн . Если же хе е ~П 2т 2т+1 ' б [О;1] -- двончно рациональное число, то либо К~~1(С,хе) равно 2"'+', 2 нли 2'" ' на интервале 1®, включающем хе, и 1 1 1 длины, — или — соответственно; либо К РД (1, ле) = ив+! ' 2т 2ю-1 1 = 2 на интервале 11е1 = хе — ,;хе н 2"' ' на ин- 1 1 тервале,/~~1 = ве,хе+ — ). В первом случае для 51~1(ло) справедлива формула (е), а во втором — равенство ~ ™~~~+ — 1 1 Г 1 2(1~~1( у 2(у1~1( у(М (см Рнс 24).
В силу непрерывности у в обоих случаях имеем равенство !1п1 э!2)(хо) = У(хо). 6. Решение. Интегрируя и раэ по чаь там, получаем равенство 1 Р„(х) Р (х) ь(х = — 1 и („1)222~+11 (~( 1)д-1[(1 2)ьь]!ьь-о) [(1 хг)еь](т+о-!)+ о=ь 1 +( — 1)" / (1 — а )" [(1 — х )"']!'"+") ь(х).
— 1 Так как — 1 и 1 — корни порядка и многочлена (1 — хг)", то отсюда получаем, что 1 1 /. - -'." '/— Р„(х)Р,„(х) Нх= (1 — х ) [(1 — х ) ] ь!х. 1)о(2п+11 (и!)222"+' ь' -1 -1 Если !и( и, то степень многочлена (1 — хг) меньше, чем т+и, и следовательно, 1 Р„(х) Р (х) ь(х = О. -1 Если пь = и, то поскольку старший коэффициент многочлена (1 — хг)" равен ( — 1)", то 1 1 =. -'/-'= — 1 -1 (2п+ 1)! ( 1) (2п+ 1)! (П!)222и+1 1" ' 2,/ 2ан!(2П-!. 1)!! 7. Указание.
Если 1 Е В~[ — 1, Ц, то для любого е > О существует тригонометрический полинам ьа ао 7;а(Х) = — + ~ (а, оса ЛПХ+ Ььь В!в ЛПХ), 2 н=! 705 ,Пз справедливы соотношения П„С В, (П„) (0) = Д Р (0)) что и завершает доказательство. 10. Указание. Равенства а„ь = а„ы Ь и = Ь»л для ш = пд проверяются непосредственно, а равенство нулю всех остальных коэффициентов следует иэ равенства Парсеваля. 11. аг», — Ьг» ! —— О, и Е И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
