Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Пусть в области G задано векторное поле (2.1)и пусть Γ — кусочно-гладкая двухсторонняя поверхность, лежащая в области G. Выберем одну из сторон поверхности Γ, зафиксировав непрерывное векторное поле единичных нормалей n(M ) ={cos α, cos β, cos γ}, т.е. ориентируем поверхность. Поверхностный интеграл второго родаZZ(a, n) dσ(2.4)Γназывается потоком векторного поля a через ориентированную поверхность Γ.Поток (2.4) можно также записать в видеZZZZ(a, n) dσ =(P cos α + Q cos β + R cos γ) dσ =ΓZZ Γ=P dydz + Qdzdx + Rdxdy.ΓОчевидно, что поток векторного поля через ориентированную поверхность не зависит от выбора системы координат.Физическими примерами потоков через поверхность Γ являются: приa = v — поток жидкости, при a = B — поток магнитного поля.Основные понятия2.1.839Инвариантное определение дивергенции векторного поляС помощью введенных понятий дивергенции и потока векторного поляформулу Гаусса–Остроградского можно записать в виде:ZZZZZdiv a dxdydz =(a, n) dσ,(2.5)GΓт.е.
поток векторного поля через внешнюю сторону замкнутой поверхности Γ равен интегралу от дивергенции поля по области G, ограниченнойповерхностью Γ.По формуле среднего значения левую часть (2.5) можно записать ввидеZZZZZZdiv a dxdydz = div a(M ∗ )·dxdydz = div a(M ∗ )·V (G), M ∗ ∈ G.GПоэтомуG1div a(M ) =V (G)ZZ∗(a, n) dσ.ΓБудем теперь стягивать поверхность Γ к некоторой точке M ∈ G. Приэтом V (G) → 0, M ∗ → M иZZ1(a, n) dσ.(2.6)div a(M ) = limΓ→M V (G)ΓТак как объем области G и поток поля a через поверхность Γ не зависятот выбора системы координат, то и величина div a(M ) не зависит отвыбора системы координат, а зависит только от самого поля a(M ).Обсудим теперь физический смысл дивергенции. Пусть полем a является электрическое поле E, созданное набором N точечных электрических зарядов qi , i = 1, .
. . , N , расположенных в области G. Удалимиз области G малые шары с центрами, совпадающими с данными зарядами, и вычислим поток через границу Γ0 получившейся области G0 . Содной стороны, поскольку дивергенция поля точечного заряда (а значит, и их суперпозиции) равна нулю всюду, кроме точки расположениясамого точечного заряда, то по формуле Гаусса–Остроградского потокэлектрического поля через поверхность Γ0 равен нулю. С другой стороны, он складывается из потока через границу Γ области G и потоков40Скалярные и векторные полячерез внутренние поверхности малых сфер. Устремляя радиусы малыхсфер к нулю, получаем, что поток через i-ую сферу есть −4πqi , а значит,ZZ(E, n) dσ = 4πQ,Γгде Q — полный электрический заряд области G. Данная формула, называемая в электростатике теоремой Гаусса, не зависит от количестваточечных зарядов в области G, а потому справедлива и в предельном случае непрерывного распределения заряда в области G с объемной плотностью ρ.
Подставляя теперь данное значение потока в формулу (2.6),мы получаем равенствоdiv E(M ) = 4πρ(M ).Таким образом, дивергенция является, с точностью до множителя,объемной плотностью источников векторного поля.С помощью операции дивергенции записываются уравнения Максвелла для вектора электрического смещения D и вектора магнитной индукции B:div D = 4πρ(M ), div B = 0.2.1.9Инвариантное определение ротора векторного поляС помощью введенных понятий циркуляции и потока векторного поляформулу Стокса можно записать в виде:IZZ(a, dl) =(rot a, n) dσ,(2.7)LΓт.е.
поток ротора векторного поля через ориентированную поверхность Γравен циркуляции этого векторного поля по границе L поверхности Γ,направление обхода которой согласовано по правилу правого винта с ориентацией поверхности Γ.По формуле среднего значения правую часть (2.7) можно записать ввидеZZZZ(rot a, n) dσ = (rot a, n)|M ∗dσ = S(Γ) (rot a, n)|M ∗ , где M ∗ ∈ Γ.ΓΓПотенциальные векторные поляПоэтому(rot a, n)|M ∗411=S(Γ)I(a, dl).LБудем теперь стягивать границу L к некоторой точке M ∈ Γ так, чтобынормаль к поверхности Γ в точке M была постоянной. При этом S(Γ) →0, M ∗ → M иI1(a, dl).(2.8)(rot a, n)|M = limL→M S(Γ)LТак как площадь поверхности Γ и циркуляция векторного поля a поконтуру L не зависят от выбора системы координат, то и величина(rot a, n)|M не зависит от выбора системы координат, а зависит толькоот самого поля a(M ).HОбсудим теперь физический смысл ротора.
Циркуляция (a, dl) явLляется количественной мерой завихренности векторного поля a (т.е.его способности совершать ненулевую работу вдоль замкнутых кривых)вдоль границы поверхности Γ, поэтому отношениеI1(a, dl)S(Γ)Lможно рассматривать как среднюю завихренность поля a на поверхности Γ, а предел этого отношения при L → M — как завихренность поля aв точке M в фиксированном направлении n. Тем самым вектор rot a(M )характеризует завихренность векторного поля a в точке M .С помощью операции ротора записываются уравнения Максвелла,связывающие электрическое и магнитное поля:4π1 ∂D1 ∂Brot H =j+, rot E = −.cc ∂tc ∂tЗдесь c — скорость света в вакууме, H – напряженность магнитного поля,а j — плотность электрического тока.2.2Потенциальные векторные поляОбсудим свойства потенциальных векторных полей.Если векторное поле a(M ) = {P, Q, R} потенциально в области G, то,сравнивая (2.1) с (2.2), получаем∂u∂u∂uP =, Q=, R=.∂x∂y∂z42Скалярные и векторные поляСледовательно, выражениеP dx + Q dy + R dz =∂u∂u∂udx +dy +dz∂x∂y∂zявляется полным дифференциалом функции u(x, y, z) в области G.
Этоозначает, что выполнено условие (c) теоремы 1.4 об условиях независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.Поэтому, по данной теореме, потенциальное в области G векторное полеa(M ) обладает следующими свойствами:1. Циркуляция потенциального поля a(M ) вдоль любого замкнутогоконтура L ⊂ G равна нулю:II(a, dl) = P dx + Qdy + Rdz = 0.LLИногда это свойство принимают за определение потенциального поля.2. ∀A, B ∈ G циркуляция потенциального поля a(M ) = grad u(M )вдоль кривой, соединяющей точки A и B и целиком лежащей в области G, не зависит от вида этой кривой и равна разности значенийпотенциала u в точках A и B:Z(a, dl) = u(B) − u(A).AB3.
Если функции P , Q, R имеют непрерывные частные производныепервого порядка и если поле a(M ) = {P, Q, R} потенциально, тосправедливо равенство∂R∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P=,=,=.∂x∂y ∂y∂z ∂z∂x(2.9)Эти равенства означают, что rot a = rot grad u = 0, т.е. потенциальное поле является безвихревым.Рассмотрим обратный вопрос: верно ли, что безвихревое поле в области G является потенциальным? Это зависит от области. Если область Gповерхностно односвязна, то в силу теоремы 1.4 из условия rot a = 0, т.е.из условия (2.9), следует существование функции u, определенной в области G и такой, что a = grad u, что означает потенциальность векторногополя a.Соленоидальные векторные поля43Если же область G не является поверхностно односвязной, то безвихревое поле в этой области может не быть потенциальным.
Действительно, пусть в пространстве E3 введена декартова система координат xyzи область G получена удалением из E3 оси Oz. Определим векторноеполе a в G формулой½¾−yxa(x, y, z) =,,0 .(2.10)x2 + y 2 x2 + y 2Тогда¯¯ i¯¯ ∂rot a = ¯ ∂x¯ −y¯ x2 +y2¯jk ¯¯∂∂ ¯∂y∂z ¯ = 0 · i + 0 · j+¯x¯022x +yµ¶12x212y 2+−+−= 0 в области G.x2 + y 2 (x2 + y 2 )2 x2 + y 2 (x2 + y 2 )2Рассмотрим замкнутый контур L : x = cos t, y = sin t, z = const, 0 6t 6 2πZ2π µI(a, dl) =L0cos t · d sin tsin t · d cos t+− 2sin t + cos2 t sin2 t + cos2 t¶Z2π=d t = 2π 6= 0.0Таким образом, хотя rot a = 0, но поле a не является потенциальным вобласти G.32.3Соленоидальные векторные поляВекторное поле a(M ) называется соленоидальным (по греч.
“трубчатым”) в области G, если в этой области div a = 0, т.е. в области соленоидальности нет источников векторного поля.qrПример 2.3. Электрическое поле точечного заряда E = 3 в любойrобласти G, не содержащей заряда.3Наличию безвихревых векторных полей в поверхностно неодносвязных областях обязан своимсуществованием так называемый эффект Ааронова–Бома (1959 г.). Пусть имеется длинный тонкийсоленоид с током.
Вне соленоида магнитный потенциал, с точностью до постоянного множителя,равен (2.10), и ему соответствует нулевое магнитное поле. Поэтому соленоид вне себя не оказывает влияния на движение классической заряженной частицы (сила Лоренца равна нулю). Однако вуравнение Шредингера для квантовой частицы входит не само магнитное поле H, а его векторныйпотенциал A, rot A = H, что приводит к дискретному спектру ее энергий и рассеянию на соленоиде.Подробнее см.
И.М. Тернов, В.Ч. Жуковский, А.В. Борисов. Квантовая механика и макроскопические эффекты. МГУ, 1993. С. 15–26.44Скалярные и векторные поляЕсли векторное поле можно представить в видеa = rot b,то векторное поле a является соленоидальным (поскольку легко проверяется, что div ◦ rot ≡ 0), а векторное поле b называется векторнымпотенциалом векторного поля a.Верно ли, что произвольное соленоидальное векторное поле в области G имеет векторный потенциал? Это зависит от области, и существуют области, в которых это неверно.Пример 2.4. Рассмотрим электрическое поле E = qr/r3 точечногозаряда q, расположенного в начале координат, в области G, заключенной между двумя концентрическими сферами с центром в началекоординат.
Как мы видели выше, в области G справедливо равенствоdiv E = 0, но если бы в области G существовал векторный потенциал b такой, что E = rot b, то для третьей сферы S, концентрическойс первыми двумя и расположенной между ними, в силу электростатической теоремы Гаусса и формулы Стокса было бы выполнено равенствоZZZZZ4πq =(E, n)dσ =(rot b, n)dσ = (b, τ )d` = 0,SS∂Sпоскольку ∂S = ∅.Полученное противоречие показывает отсутствие векторного потенциала для данного соленоидального поля.Область G называется объемно односвязной, если для любой ориентированной кусочно-гладкой замкнутой (= без границы) поверхностиΓ ⊂ G существует область G1 ⊂ G с границей Γ.Шар, параллепипед — объемно односвязные области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
