Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Если хотя быодна из компонент связности неориентируема, то и Γ неориентируема.Определения 1.6 и 1.7 ориентируемости не подходят для негладкихповерхностей.Ориентация поверхностей19Пример 1.6. Куб.Рис. 1.7: куб.Возможный выход для негладкихповерхностей состоит в том, чтобызабыть про нормаль и дать другоеопределение для триангулируемыхповерхностей (не обязательно являющихся гладкими), т.е. поверхностей,которые можно разбить на конечное число криволинейных треугольников непрерывными кривыми (приэтом, строго говоря, два криволинейных треугольника либо не пересекаются, либо имеют одну общую вершину, либо имеют одно общее ребро).Назовем направлением обхода тре- Рис.
1.8: триангуляция поверхности.угольника триангуляции порядокперечисления его вершин с точностью до циклической перестановки.Определение 1.8. Триангулируемая поверхность называется ориентируемой, если на (криволинейных) треугольниках можно выбрать согласованное направление обхода так, что на любой смежной сторонедвух треугольников направления обхода противоположны. Выбор таких согласованных направлений обхода (криволинейных) треугольниковназывается ориентацией.Достоинства определения.1. Нет апелляции к объемлющему пространству.2.
Не требуется гладкость.20Поверхности и поверхностные интегралыОриентируемость, таким образом, есть внутреннее свойство поверхностии даже не геометрическое, а топологическое3 .Замечание 1.1. Ориентация на двумерной поверхности порождаеториентацию на одномерной границе этой поверхности посредством задания направления обхода треугольников триангуляции, примыкающихк границе поверхности. Важность этого факта мы увидим далее, когдабудем рассматривать формулу Стокса.Недостаток определения: оно явно зависит от конкретной триангуляции.Для преодоления этого недостатка нужно согласовать определение 1.8ориентируемости для различных триангуляций. В принципе, это можносделать, но мы этим заниматься не будем.Для гладких поверхностей определение 1.8 согласуется с определениями 1.6 и 1.7 при помощи правила правого винта.
Пользуясь этим согласованием, можно “переносить” нормаль на кусочно-гладких поверхностяхчерез ребро.1.5Поверхностные интегралы второго родаПусть Γ – гладкая двухсторонняя поверхность. Выберем на ней непрерывное поле единичных нормалей n(M ), M ∈ Γ. Обозначим черезα(M ), β(M ), γ(M ) углы между вектором n(M ) и осями координат, т.е.n(M ) = cos αi + cos βj + cos γk. Пусть на поверхности Γ определены триограниченные функции P (M ), Q(M ), R(M ).Рассмотрим поверхностные интегралы первого родаZZZZI1 =P (M ) cos α(M ) dσ, I2 =Q(M ) cos β(M ) dσ,ΓZZI3 =Γ(1.6)R(M ) cos γ(M ) dσ.ΓОни называются поверхностными интегралами второго рода от функций P, Q, R соответственно и обозначаются также следующим образомZZZZZZI1 =P (M ) dydz, I2 =Q(M ) dzdx, I3 =R(M ) dxdy.
(1.7)Γ3ΓΓТопологией называется раздел математики, в котором понятие непрерывности изучается в наиболее чистом виде. Несколько огрубляя ситуацию, можно сказать, что топология родственна геометрии, но не интересуется расстоянием между точками пространств.Поверхностные интегралы 2 рода21Переход ко второму варианту обозначений мотивирован тем, что величина cos α(M ) dσ есть, с точностью до бесконечно малых порядка большедвух, равна площади проекции площадки dσ на плоскость (x, y). Аналогичным образом обстоит дело с величинами cos β(M ) dσ и cos γ(M ) dσ.При смене ориентации поверхности Γ косинусы cos α(M ), cos β(M ),cos γ(M ) сменят знак, а значит изменят знак и интегралы I1 , I2 , I3 .В этом отношении поверхностные интегралы второго рода аналогичныкриволинейным интегралам второго рода, которые также меняют знакпри изменении направления обхода кривой. СуммаI = I1 + I2 + I3 =ZZ(P (M ) cos α(M ) + Q(M ) cos β(M ) + R(M ) cos γ(M )) dσ ==ΓZZ=P (M ) dydz + Q(M ) dzdx + R(M ) dxdy.(1.8)Γназывается общим поверхностным интегралом второго рода.Замечание 1.2.
Отличие поверхностного интеграла второго рода отповерхностного интеграла первого рода состоит в том, что в интеграле второго рода площадь dσ рассматривается не как скалярная, акак векторная величина, имеющая компонентыcos(n, i) dσ, cos(n, j) dσ, cos(n, k) dσи потому направленная по нормали к поверхности. Развитие этойточки зрения приводит к понятию дифференциальной формы, лежащему за рамками нашего курса.Если ввести вектор-функцию a(M ) = P (M )i + Q(M )j + R(M )k, томожно записать равенствоZZI=(a, n) dσ.ΓПример 1.7. Поток жидкости с полем скоростей v(M ) через ориентированную поверхность Γ снабженную непрерывным полем нормалейn(M ) задается интеграломZZ(v, n) dσ.Γ22Поверхности и поверхностные интегралыВычисление поверхностных интегралов второго рода.
Поскольку поверхностный интеграл второго рода был определен через поверхностный интеграл первого рода, то его можно вычислять по формулетеоремы 1.1, вводя параметризацию поверхности и сводя его к двойномуинтегралу по области в плоскости параметров.Если мы можем взаимно-однозначно спроектировать связную поверхность Γ на связную область V в плоскости (x, y), то интегралZZZZR(M ) dxdy = ±R(M (x, y)) dxdy,(1.9)ΓVгде знак ± выбирается равным знаку cos(n, k), который в этом случае неможет меняться, т.к. это противоречило бы взаимной однозначности проектирования.
Для поверхности Γ, состоящей из нескольких связных компонент, подобное равенство справедливо для каждой компоненты, приусловии ее взаимно-однозначного проектирования. Наконец, нарушениетребования взаимной однозначности проектирования на множестве нулевой площади не нарушает равенства (1.9). Аналогичное верно и дляинтеграловZZZZP (M ) dydz,ΓQ(M ) dzdxΓи координатных плоскостей (y, z) и (x, z) соответственно.1.61.6.1Интегральные формулыФормула Остроградского–ГауссаОпределение 1.9. Пусть функции z1 (x, y) и z2 (x, y) определены инепрерывны в ограниченной замкнутой области D ∈ E2 , причемz1 (x, y) 6 z2 (x, y).
Замкнутую область G := {(x, y, z) ∈ E3 | (x, y) ∈D, z1 (x, y) 6 z 6 z2 (x, y)} в евклидовом пространстве E3 назовем z-цилиндрической.Аналогично определяются x-цилиндрическая и y-цилиндрическая замкнутые области.44Под областью в математике обычно понимают открытое связное множество, а интегралы определяют по замкнутым множествам. Чтобы не перегружать текст каждый раз разъяснениями этогообстоятельства, договоримся интегрировать по замкнутым областям или замыканиям открытыхмножеств, а в остальных случаях, если не сказано противное, считать областью открытое связноемножество.Интегральные формулы23Рис.
1.9: z-цилиндрическая область.Заметим, что x-цилиндрическая, y-цилиндрическая и z-цилиндрическая области являются ограниченными.Определение 1.10. Область G назовем простой, если ее можно разбить кусочно-гладкими поверхностями на конечное число x-цилиндрических областей, а также на конечное число y-цилиндрических областей и на конечное число z-цилиндрических областей.Например, параллелепипед и шар — простые области. Поверхность,ограничивающую область G, будем обозначать через Γ. Заметим, чтопростая область ограничена, поскольку разбивается кусочно-гладкимиповерхностями на конечное число ограниченных областей.Теорема 1.2. Пусть функции P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) и их част∂Q ∂Rные производные ∂P∂x , ∂y , ∂z непрерывны в простой области G, ограниченной кусочно-гладкой поверхностью Γ.
Тогда¶ZZZ µZZ∂Q ∂R∂P++dxdydz =(P cos α + Q cos β + R cos γ) dσ =∂x∂y∂zGΓZZ=P dydz + Qdzdx + Rdxdy,(1.10)Γгде поверхностный интеграл берется по внешней стороне поверхности Γ, а α, β, γ суть углы между внешней нормалью к поверхности Γи осями координат Ox, Oy и Oz, соответственно.24Поверхности и поверхностные интегралыФормула (1.10) называется формулой Остроградского–Гаусса.5Доказательство.
Рассмотрим сначала случай, когда G — z-цилиндрическая область, и докажем справедливость равенстваZZZZZ∂Rdxdydz =R dxdy,(1.11)∂zGΓгде интеграл справа берется по внешней стороне поверхности Γ.Сведя тройной интеграл к повторному, получимZZZZZ∂Rdxdydz =∂zGz2Z(x,y)ZZdxdyDZZz (x,y)=R(x, y, z)|z21 (x,y) dxdy =Dz1 (x,y)R(x, y, z2 (x, y)) dxdy−DZZZZ−∂R(x, y, z) dz =∂zR(x, y, z1 (x, y)) dxdy =ZZR dxdy +D(1.12)Γ2R dxdy,Γ1где мы выразили двойные интегралы через поверхностные по Γ2 — верхней и Γ1 — нижней стороне поверхности Γ, с учетом ориентаций на этихсторонах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
