Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Область G, заключенная между двумя сферами (не обязательно концентрическими),не является объемно односвязной (но является поверхностно односвязной), поскольку (деформированная) сфера, заключенная между двумяграничными сферами, не является границей никакой подобласти области G. Полноторие является объемно односвязной областью, но не является поверхностно односвязной.Мы не можем доказать эти факты, поскольку это требует углубленияв топологию.Соленоидальное поле в объемно односвязной области G обладает следующим свойством: поток соленоидального поля через любую кусочногладкую замкнутую поверхность Γ, расположенную в области G, равенСоленоидальные векторные поля45нулю. Действительно, пусть поверхность Γ является границей областиG1 ⊂ G.
По формуле Остроградского–Гаусса имеемZZZZZZZZdiv a dxdydz =0 dxdydz = 0.(a, n)dσ =ΓG1G1Как следует из примера 2.4, для областей, не являющихся объемно односвязными, данное свойство соленоидальных полей не имеет места.Это свойство соленоидального поля показывает, чтовекторные линии соленоидального поля не могут начинаться и заканчиваться внутри области соленоидальности (как векторные линии электростатического поля, начинающиеся и заканчивающиеся на зарядах).Они либо начинаются и заканчиваются на границе области (пример: электростатическое поле в области, несодержащей зарядов), либо являются замкнутыми линиями (пример: магнитное поле длинного проводника).Для соленоидального поля имеет место закон сохранения интенсивности векторной трубки, т.е.трубки, составленной из векторных линий.ПосколькуZZZZ(a, n)dσ = 0 и(a, n)dσ = 0,Γ1 +Γ2 +Γ3Рис. 2.2: соленоидальные поля.Γ3в силу того, что поле a касается боковой поверхноститрубки, тоZZZZ(a, n)dσ = −(a, n)dσ.Γ1Γ2Изменив ориентацию поверхности Γ2 , получимZZZZ(a, n)dσ =(a, n)dσ,Γ1Γ2т.е.
поток соленоидального векторного поля через все сечения векторнойтрубки постоянен.Замечание 2.1. Любое векторное поле a можно представить в виде суммы потенциального и соленоидального векторных полей: a =grad u + b, где div b = 0.46Скалярные и векторные поляДействительно, взяв дивергенцию от равенства a =b+grad u, получим уравнениеПуассона4 div grad u ≡ 4u =div a, которое имеет решение(с большим произволом в виде граничных условий), чтодоказывается в курсе ММФ.Полагая теперь b := a −Рис. 2.3: трубка векторного поля.grad u, получаем искомое разложение.
Заметим, что оператор div ◦ grad, действующий на скалярных функциях, называется оператором Лапласа.2.4Оператор Гамильтона и повторные дифференциальные операцииОператор Гамильтона5 (или оператор “набла” 6 ) определяется формулой¾½∂∂∂ ∂ ∂∂.+j +k=, ,∇=i∂x∂y∂z∂x ∂y ∂zПри операциях с этим оператором нужно учитывать его двоякуювекторно-дифференциальную природу. Как вектор он удовлетворяеттождествам векторной алгебры, а как оператор — правилам дифференцирования.С помощью оператора Гамильтона можно записать операции векторного анализа в следующей форме:∂u∂u∂u+j+k ,∂x∂y∂z∂Q ∂R++, где a = P i + Qj + Rk,∂y∂z¯j k ¯¯∂∂ ¯∂y ∂z ¯ = [∇, a], 4 = (∇, ∇).Q R¯grad u = ∇u = i∂P∂x¯¯i¯∂rot a = ¯¯ ∂x¯Pdiv a = (∇, a) =4Пуассон Симеон Дени (1781–1840) — французский математик.Гамильтон Уильям Роуан (1805–1865) — ирландский математик.6По древнегречески слово “набла” означает род арфы с треугольным остовом.5Оператор Гамильтона и повторные дифференциальные операции47Зафиксируем некоторую (открытую) область G в пространстве E3 .Обозначим через F линейное пространство бесконечное число раз дифференцируемых скалярных функций на G.
Поскольку при умножениифункций из F друг на друга и на вещественные числа результат будетопять лежать в F, то линейное пространство F является (коммутативной) алгеброй. Обозначим через X линейное пространство бесконечное число раз дифференцируемых вектор-значных функций на G. Приумножении функций из X на функции из коммутативной алгебры F мыполучаем функции из X . Поэтому линейное пространство X являетсямодулем над алгеброй F.Теперь из операций grad, rot, div можно составить следующую последовательность отображенийgradrotdivF −−→ X −→ X −→ F ,причем, как мы уже видели ранее, выполнение двух последовательныхотображений из этой последовательности дает нуль (последовательностьпространств и отображений с такими свойствами называется цепнымкомплексом).Кроме этих двух нулевых повторных операций возможны еще триповторные операции:div ◦ grad u =∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u++=: 4u∂x2 ∂y 2 ∂z 2— оператор Лапласа и операции rot ◦ rot, grad ◦ div, связанные тождествомrot ◦ rot a = grad ◦ div a − 4a,получаемым из известной формулы векторного анализа[a, [b, c]] = b(a, c) − c(a, b),которая в данном случае записывается в виде[∇, [∇, a]] = ∇(∇, a) − (∇, ∇)aи где операция 4 применяется к векторному полю a покомпонентно.Уравнение Пуассона 4u = f и его частный случай — уравнение Лапласа7 4u = 0 являются важными уравнениями математической физики.
Важность оператора Лапласа и большая частота его появления в7Лаплас Пьер Симон де (1749–1827) — французский математик.48Скалярные и векторные поляприложениях объясняется тем фактом, что он является с точностью допостоянного множителя единственным дифференциальным операторомвторого порядка из F в F, сохраняющим свой вид во всех декартовыхсистемах координат. Более того, все дифференциальные операторы изF в F, сохраняющие свой вид во всех декартовых системах координат,являются многочленами с постоянными коэффициентами от оператора4.Функции, удовлетворяющие в области G уравнению Лапласа, называются гармоническими в этой области. Примеры гармонических функций: u = Ax + By + Cz, A, B, C = const; u = 1/r, r 6= 0.
Следующие двапримера приводят естественным образом к оператору Лапласа и гармоническим функциям.Пример 2.5. Пусть векторное поле a является потенциальным и соленоидальным. Тогда a = grad u, 4u = div grad u = div a = 0, т.е.скалярный потенциал векторного поля, являющегося потенциальными соленоидальным, есть гармоническая функция.Поскольку вещественная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими, то таким образом получается большой запасявных гармонических функций.Пример 2.6.
Пусть векторное поле a = P i+Qj+Rk является соленоидальным и безвихревым, т.е. div a = 0 и rot a = 0, а его компоненты– дважды непрерывно дифференцируемы. Тогда∂P∂Q ∂R∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P∂R++= 0,=,=,=.∂x∂y∂z∂x∂y ∂y∂z ∂z∂xОтсюда получаем:∂ 2P∂ 2Q∂ 2R∂ 2Q∂ 2P ∂ 2R∂ 2P++= 0,=,=⇒∂x2∂x∂y ∂x∂z∂x∂y∂y 2 ∂x∂z∂z 2∂ 2P∂ 2P∂ 2P++= 0, ⇒ 4P = 0.∂x2∂y 2∂z 2Аналогично доказывается, что 4Q = 0, 4R = 0. Таким образом, компоненты соленоидального безвихревого поля являются гармоническимифункциями.Пример 2.7.
Пусть векторное поле a = P i + Qj является соленоидальным и безвихревым. Тогда∂P∂Q∂Q ∂Pdiv a =+=0 и=.∂x∂y∂x∂yОперации векторного анализа в криволинейных ортогональных координатах49Это в точности условия Коши–Римана для функции комплексной переменной f (z) = Q(x, y) + iP (x, y), z = x + iy, которая, в предположении существования непрерывных частных производных у функций P, Qв области D, является аналитической в D.2.5Операции векторного анализа в криволинейныхортогональных координатахГрадиент, дивергенция и ротор были введены в прямоугольной системе координат Oxyz. Во многих задачах математической физики удобнее пользоваться выражениями для этих операций в других системахкоординат, например, в цилиндрической или сферической.
Мы выведемвыражения для grad, div и rot в так называемых криволинейных ортогональных координатах, частными случаями которых являются цилиндрическая и сферическая системы.2.5.1Криволинейные ортогональные координатыПри изучении тройного интеграла уже рассматривались замены переменных видаx = ϕ(u, v, w), y = ψ(u, v, w), z = χ(u, v, w).Тройку чисел (u, v, w), соответствующую тройке чисел (x, y, z), можнорассматривать как криволинейные координаты точки M (x, y, z), принадлежащей некоторой области G, которая может совпадать со всемпространством E3 .
Эти координаты называются криволинейными потому, что соответствующие им координатные поверхности (u = const,v = const или w = const) и координатные линии (множества постоянства пары координат) являются, вообще говоря, кривыми поверхностямии линиями.В данном параграфе будем обозначать криволинейные координатычерез q1 , q2 , q3 , а формулы, связывающие координаты (x, y, z) с координатами (q1 , q2 , q3 ), будем записывать в видеx = x(q1 , q2 , q3 ), y = y(q1 , q2 , q3 ), z = z(q1 , q2 , q3 ),считая функции x(q1 , q2 , q3 ), y(q1 , q2 , q3 ), z(q1 , q2 , q3 ) дифференцируемыми достаточное количество раз. Через каждую точку пространства проходят три координатные линии, на каждой из которых изменяется толь-50Скалярные и векторные поляко одна из координат: q1 , q2 или q3 . Криволинейные координаты называются ортогональными, если в любой точке три координатные линии,проходящие через эту точку, попарно ортогональны, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
