Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 5
Текст из файла (страница 5)
На боковой стороне Γ3 поверхности Γ имеем cos γ = 0, поэтомуZZZZR dxdy =R cos γ dσ = 0.Γ3Γ3Теперь равенство (1.12) можно записать в видеZZZZZ3 ZZX∂Rdxdydz =R dxdy =R dxdy.∂zi=1GΓiΓТаким образом, формула (1.11) доказана.Пусть теперь G — простая область. Разобьем ее на конечное числоz-цилиндрических областей Gi с границами Γi , i = 1, . . .
, n. Для каждойобласти Gi справедливо равенство (1.11):ZZZZZ∂Rdxdydz =R dxdy.∂zGi5ΓiОстроградский Михаил Васильевич (1801–1862) — российский математик, который получил этуформулу в 1828 году, опубликовал в 1831 г. В 1834 г. он обобщил эту формулу на n-мерный случай,опубликовал в 1838 г. Для частного случая P = x, Q = y, R = z эту формулу получил Гаусс в1813 г.Интегральные формулы25Суммируя все эти равенства, получим слеваZZZ∂Rdxdydz, а справа —∂zGZZR dxdy,Γпоскольку поверхностные интегралы по вспомогательным поверхностям,разделяющим область G на части Gi , берутся дважды, причем один разпо одной стороне каждой такой поверхности, а другой раз — по другой стороне, и поэтому, сумма таких двух интегралов равна нулю. Темсамым, мы доказали равенство (1.11) для простой области.Аналогично можно доказать для простой области G следующие равенстваZZZZZ∂PP dydz,(1.13)dxdydz =∂xGZZZZΓZ∂Qdxdydz =Q dzdx.(1.14)∂yGΓСкладывая (1.11), (1.13) и (1.14), получим равенство (1.10).Замечание 1.3.
Можно доказать, что формула Остроградского–Гаусса справедлива для любой ограниченной области G, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей (см.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах. М.: Физматлит, 2003, т. 3, n◦ . 638, с. 333).∂Q∂RСледствие 1.1. Если функции P , Q, R таковы, что ∂P∂x + ∂y + ∂z = 1,то из формулы Остроградского–Гаусса получаемZZZZZV (G) =dxdydz =P dydz + Q dzdx + R dxdy.GΓВ частности, если P = 13 x, Q = 13 y, R = 13 z, то ∂P∂x +поэтомуZZ1V (G) =x dydz + y dzdx + z dxdy.3ΓКаждый из интеграловZZZZZZx dydz,y dzdx,z dxdyΓΓΓ∂Q∂y+∂R∂z= 1,26Поверхности и поверхностные интегралыравен V (G).
Осмыслить этот факт можно на примере z-цилиндрической области G, ограниченной снизу плоскостью Oxy, а сверху —поверхностью z = f (x, y). ТогдаZZZZZZV (G) =z dxdy =z dxdy =f (x, y) dxdyΓΓ2D— знакомая формула для объема криволинейного цилиндра.Пример 1.8. ВычислитьZZ¡ 2¢I=x + f1 (y, z) dydz+(cos y + f2 (x, z)) dzdx+(z + f3 (x, y)) dxdy,Γгде Γ — внешняя сторона сферы, заданной уравнением x2 + y 2 + z 2 = R2 .Здесь P = x2 + f1 (y, z), Q = cos y + f2 (x, z), R = z + f3 (x, y), поэтому∂Q∂P∂R∂x = 2x, ∂y = − sin y, ∂z = 1. По формуле Остроградского–Гауссаполучаем¶ZZZ µ∂Q ∂R∂PI=++dxdydz =∂x∂y∂zZ Z ZG4=(2x − sin y + 1) dxdydz = πR3 ,3Gт.к.
интегралы от нечетных функций 2x и sin y равны нулю.Пример 1.9. Пусть G — область в E3 с произвольной замкнутойкусочно-гладкой границей Γ. ТогдаZZI=(y + z) dydz + (x + z) dzdx + (x + y) dxdy = 0,Γт.к.1.6.2∂P∂x=∂Q∂y=∂R∂z= 0.Формула СтоксаОпределение 1.11. Назовем поверхность Γ «xyz-проектируемой», если она взаимно-однозначно проектируется на каждую координатнуюплоскость прямоугольной системы координат Oxyz.Интегральные формулы27Поверхность Γ, являющуюся «xyz-проектируемой», можно задать любым из трех уравнений:z = f1 (x, y), (x, y) ∈ D1 ,x = f2 (y, z), (y, z) ∈ D2 ,y = f3 (z, x), (z, x) ∈ D3 ,(1.15)где Di , i = 1, 2, 3 — проекции поверхности Γ на координатные плоскости.Простейшим примером такой поверхности является часть плоскости, заданной уравнением x + y + z = 1 и удовлетворяющая условиям x > 0,y > 0, z > 0.Под гладкой «xyz-проектируемой» поверхностью будем понимать такую поверхность, что каждая из функций (1.15) имеет в соответствующей замкнутой области Di непрерывные частные производные первогопорядка, а границей поверхности является кусочно-гладкий контур L,взаимно-однозначно проектирующийся на границу каждой области Di ,i = 1, 2, 3.Теорема 1.3.
Пусть1) функции P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) и их частные производныепервого порядка непрерывны в некоторой области G;2) гладкая «xyz-проектируемая» поверхность Γ, ограниченная замкнутым контуром L, расположена внутри области G.Тогда справедлива формула¶IZZ µ∂Q ∂PP dx + Q dy + R dz =dxdy+−∂x∂yLΓµ¶µ¶∂R ∂Q∂P∂R+−dydz +−dzdx =∂y∂z∂z∂x¶µ¶Z Z ·µ∂Q ∂P∂R ∂Q=−−cos γ +cos α+∂x∂y∂y∂zΓµ¶¸∂P∂R+−cos β dσ,∂z∂x(1.16)в которой направление обхода контура L согласовано с ориентациейповерхности Γ, а α, β, γ — углы между вектором нормали n(M ) кповерхности Γ и осями координат.28Поверхности и поверхностные интегралыФормула (1.16) называется формулой Стокса.6 Она выражает криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру L через поверхностный интеграл второго рода по поверхности Γ, ограниченной контуром L.Доказательство.
Запишем уравнение поверхности Γ в видеz = f (x, y), (x, y) ∈ D1 ,где D1 — проекция поверхности Γ на плоскость Oxy. Обозначим через `проекцию кривой L на плоскость Oxy. Контур ` является границей плоской области D1 . Рассмотрим первое слагаемоеIP dxLв левой части (1.16) и преобразуем его в интеграл по поверхности Γ последующей схеме:IIZZZZ(1)(2)(3)→→→.L`D1Γ1. Для определенности будем рассматривать верхнюю сторону поверхности Γ и согласованное с этой ориентацией поверхности Γ направление обхода контура L. При проектировании на плоскость Oxy этонаправление обхода контура L переходит в направление контура `,положительно согласованное с областью D1 .
ПоэтомуIIP (x, y, z) dx = P (x, y, f (x, y)) dxL`поскольку интегральные суммы этих двух интегралов совпадают.2. По формуле ГринаIZZ∂P (x, y, f (x, y)) dx = −[P (x, y, f (x, y))] dxdy =∂yD1`¶ZZ µ∂P ∂f∂P=−+·dxdy.∂y∂z ∂yD16Стокс Джордж Габриэль (1819–1903) — английский физик и математик.Интегральные формулы293. Поскольку{−fx , −fy , 1}, тоn = {cos α, cos β, cos γ} = q221 + fx + fy¡¢−1/2cos βcos γ = 1 + fx2 + fy2, и − fy =.cos γПоэтомуZZ µ¶∂P∂P ∂f+·−dxdy =∂y∂z ∂yD1¶qZZ µ∂P∂Pcos β −cos γ1 + fx2 + fy2 dxdy ==∂z∂yD1¶ZZ µ∂P∂P=cos β −cos γ dσ.∂z∂yΓИтак,ZZ µIP dx =∂P∂Pcos β −cos γ∂z∂y¶dσ.(1.17)ΓLАналогично можно доказать, что¶IZZ µ∂Q∂QQ dy =cos γ −cos α dσ,∂x∂zL¶ZΓZ µI∂R∂RR dz =cos α −cos β dσ.∂y∂x(1.18)(1.19)ΓLСкладывая равенства (1.17)–(1.19), получаемIP dx + Q dy + R dz =Z Z ·µ=∂Q ∂P−∂x∂y¶Lcos γ +µ¶µ¶¸∂R∂R ∂Q∂P−−cos α +cos β dσ,∂y∂z∂z∂xΓчто и требовалось доказать.Замечание 1.4.
Формула Стокса остается справедливой, если поверхность Γ можно разбить кусочно-гладкими кривыми на конечное число «xyz-проектируемых» частей. Доказательство просто: складываем формулы Стокса для каждой части и учитываем, что по общим30Поверхности и поверхностные интегралычастям границы прилегающих друг к другу частей криволинейные интегралы сокращаются. Примером такой поверхности является сфера,разбитая тремя попарно перпендикулярными плоскостями, проходящими через ее центр, на восемь «xyz-проектируемых» частей.Замечание 1.5.
Формула Стокса справедлива и для плоских областей,параллельных какой либо координатной плоскости, хотя они и не являются «xyz-проектируемыми». В этом случае она переходит в формулуГрина.Замечание 1.6. Слагаемые в обеих частях формулы Стокса получаются друг из друга циклической заменой, поэтому достаточно запомнить вид первого из них, т.е. формулу Грина.Замечание 1.7. Формула Стокса остается справедливой, если граница L поверхности Γ состоит из нескольких связных компонент. Приэтом в левой части должна быть сумма интегралов по всем связнымкомпонентам контура L.Замечание 1.8. В формулах Ньютона–Лейбница, Стокса и Гаусса–Остроградского имеется единообразие, состоящее в том, что с однойстороны в каждой из них стоит интеграл по n-мерному множеству,а с другой стороны — интеграл по (n − 1)-мерной границе этого множества для n = 1, 2, 3.
С помощью понятия дифференциальной формы,лежащего за рамками нашего курса, можно записать все эти формулыи их аналоги для произвольного n ∈ N единообразно. Соответствующаяобщая формула, справедливая для гладких многообразий, также носитназвание формулы Стокса.1.6.3Условие независимости криволинейного интеграла отпути интегрированияПусть G — область в пространстве E3 , а Γ — кусочно-гладкая ориентируемая поверхность в пространстве E3 .
Будем называть область G поверхностно односвязной, если для любого кусочно-гладкого замкнутогоконтура L, лежащего в G, существует ориентируемая кусочно-гладкаяповерхность, ограниченная контуром L, также целиком лежащая в G.Аналогично, будем называть поверхность Γ односвязной, если для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в Γ, существуеткусочно-гладкая поверхность, ограниченная контуром L, также целикомлежащая в Γ.Интегральные формулы31Примерами поверхностно односвязных областей являются шар, область между двумя концентрическими сферами и области, гомеоморфные одной из этих двух областей, например, все пространство E3 . Примером односвязной поверхности является сфера и любая поверхность, ейгомеоморфная.
Напротив, утолщенная поверхность тора и полноториене являются поверхностно односвязными областями, а тор не является односвязной поверхностью. Доказательства этих фактов мы дать неможем, поскольку это требует углубления в топологию.7Теорема 1.4. 1. Пусть функции P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) определены и непрерывны в области G. Тогда следующие три условияэквивалентны (т.е. из каждого из них следуют два других):(a) Для любого замкнутого контура L ⊂ G:IP dx + Q dy + R dz = 0.L(b) Для любых двух точек A, B ∈ G криволинейный интегралZP dx + Q dy + R dzABне зависит от пути интегрирования, т.е. от выбора кривой,соединяющей точки A и B и целиком лежащей в области G.(c) Выражение P dx + Q dy + R dz является полным дифференциалом, т.е. в области G существует дифференцируемая функция u(x, y, z) = u(M ) такая, что du = P dx + Q dy + R dz.Отсюда следует, в частности, чтоZP dx + Q dy + R dz = u(B) − u(A) ∀A, B ∈ G.AB2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
