Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Колыбасову за многочисленные предложения по улучшению текста лекций икомпьютерные рисунки, а также тех слушателей, которые своими вопросами побудили его заполнить некоторые пробелы в своих знаниях.Основная литература:1. Учебники:(a) Ильин В.А., Позняк Э.Г., Основы математического анализа.Часть II. 5-e изд. М. Физматлит, 2004. 464 с.(b) Будак Б.М., Фомин С.В., Кратные интегралы и ряды. Изд. 3-е,М. Физматлит, 2002. 512 с.2. Задачники:(a) Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А.Математический анализ в вопросах и задачах.
4-е изд., 2001.(b) Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Астрель, 2002.Дополнительная литература:1. Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах. 8-е изд. М.: Физматлит, 2003. 864 с.2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ, часть II, М.: ТК Велби, изд-во Проспект, 2004, 368 с.3. Владимиров В.С.
Уравнения математической физики. М.: Наука,1981, Гл. II Обобщенные функции с. 82–189.Глава 1Поверхности и поверхностныеинтегралы1.1ПоверхностиВ данной главе мы завершим, начатое в конце прошлого семестра изучение кратных и поверхностных интегралов. Мы начнем с повторенияпонятий (кусочно-) гладкой поверхности и интегралов по таким поверхностям.1.1.1Определение поверхностей и способы их заданияИнтуитивно, непрерывная поверхность является множеством Γ в трехмерном евклидовом пространстве E3 , каждая точка которого имеетокрестность V в Γ, являющуюся гомеоморфным (т.е. взаимно однозначным и взаимно непрерывным) образом круга K единичного радиуса наевклидовой плоскости.Если дополнительно потребовать дифференцируемости соответствующего отображения и обратного к нему, то мы получим гладкую поверхность.
Техническая проблема для четкой формулировки такого определения состоит в том, что нужно исключить из определения произвол,связанный с выбором конкретного отображения для каждой окрестности (пара, состоящая из окрестности U и соответствующего ей гомеоморфного отображения h : K 7→ U , называется картой), и согласоватьотображения для разных окрестностей. Этого можно добиться и дажеопределить поверхность абстрактно без содержащего ее евклидова пространства.
На этом пути получаются определения непрерывного и гладкого многообразий произвольных размерностей [10]. Но этот путь технически слишком сложен для нас и мы по нему не пойдем, ограничившись78Поверхности и поверхностные интегралырассмотрением поверхностей, задаваемых одной картой или явно составленных из небольшого их числа.В курсе аналитической геометрии мы уже встречались с поверхностями второго порядка: эллипсоидом, гиперболоидом, эллиптическим игиперболическим параболоидами, цилиндром, которые являются гладкими поверхностями.
Эти поверхности были заданы неявно уравнениемF (x, y, z) = 0,где F — многочлен второго порядка. Заметим, что для многочленов Fпроизвольного порядка такие поверхности называются алгебраическими.Но уже для конусаz 2 = x2 + y 2(1.1)точка (0, 0, 0) не обладает окрестностью в конусе, гомеоморфной открытому кругу (поскольку граница этой окрестности состоит из не менее чемдвух связных компонент, а граница открытого круга связна). Поверхность куба является гладкой везде, кроме его ребер. Точки, в которыхнарушается требование наличия окрестности, гомеоморфной единичному кругу, называются особыми для непрерывных поверхностей, а точки,в которых нарушается требование гладкости поверхности — особыми длягладких поверхностей.
Если рассмотреть половину конуса (1.1), выделенную условием z > 0, то мы получим непрерывную поверхность, ногладкой она будет везде, за исключением точки (0, 0, 0).Таким образом, невозможно дать единое определение поверхностей,пригодное для всех встречающихся в математике ситуаций, и при рассмотрении конкретных случаев поверхностей приходится мириться с наличием особых точек.Простейшим, но важным примером поверхности, заданной одной картой, является поверхность Γ, являющаяся графиком функцииz = f (x, y), (x, y) ∈ V ,(1.2)где V — область (т.е.
открытое связное множество) в R2 , а функцияf (x, y) имеет непрерывные частые производные в V и непрерывна в V . Вэтом случае h(x, y) := (x, y, f (x, y)) и Γ := U := h(V ). Взаимнооднозначность соответствия между точками (x, y) ∈ V и точками поверхности Γпозволяет рассматривать (x, y) как координаты на Γ.При таком задании поверхности координаты x, y и координата z неравноправны.
Они станут равноправными, если удастся ввести новыеДифференциальная геометрия поверхностей9координаты (u, v) и задать параметризацию точек поверхности Γ в виде:x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), z = χ(u, v), (u, v) ∈ V ⊂ R2 ,где функции ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v) имеют непрерывные частные производные в области V и непрерывны в V . Иначе эту формулу можнозаписать в видеr(u, v) = ϕ(u, v)i + ψ(u, v)j + χ(u, v)k, (u, v) ∈ V ⊂ R2 .(1.3)По определению, если существует касательная плоскость к поверхности в некоторой точке, то вектора ru и rv ей принадлежат.Определение 1.1.
Параметризацию (1.3) назовем регулярной, есливектора ru и rv линейно независимы для всех (u, v) ∈ V и соответствие r(u, v) : V 7→ Γ взаимно-однозначно.Регулярность параметризации гарантирует существование нормалиn = [ru , rv ] (и, тем самым, касательной плоскости) к поверхности Γ вовсех ее точках.Изначально u и v являются декартовыми координатами в области V ,но взаимнооднозначность отображения r(u, v) : V 7→ Γ позволяет рассматривать их как функции на поверхности Γ или, иначе, как криволинейные координаты на Γ.
При этом кривые u = const и v = constявляются координатными линиями на поверхности Γ.1.1.2Первая квадратичная форма поверхностиОпределение 1.2. Первой квадратичной формой или метрикой поверхности называется квадратичная формаI(u, v) := E(u, v)du2 + 2F (u, v)dudv + G(u, v)dv 2 := ds2 == dr2 = r2u du2 + 2(ru , rv )dudv + r2v dv 2 ,где вектор-функция r(u, v) задана уравнением (1.3).Через первую квадратичную форму I(u, v) можно выразить длинывекторовdr = ru du + rv dv, δr = ru δu + rv δv,лежащих в касательной плоскости, и углы между нимиcos θ =Eduδu + F (duδv + δudv) + Gdvδv(dr, δr)√=√.|dr||δr|Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 Eδu2 + 2F δuδv + Gδv 210Поверхности и поверхностные интегралыТем самым, первая квадратичная форма определяет внутреннюю геометрию поверхности, т.е.
позволяет находить на поверхности длины кривых и углы между векторами.Координатные линии u = c1 = const и v = c2 = const ортогональны, если в точке их пересечения F = 0. Криволинейные координаты наповерхности Γ называются ортогональными, если все их координатныелинии пересекаются под прямыми углами. Это эквивалентно условиюF (u, v) ≡ 0.Если на поверхности Γ задана гладкая кривая γ, определенная дифференцируемыми функциями (u(t), v(t)), t ∈ [a, b], то ее длину можнонайти по формулеL=Zb pE(u(t), v(t))u02 + 2F (u(t), v(t))u0 v 0 + G(u(t), v(t))v 02 dt.aПример 1.1. Для поверхности вращенияr(u, v) = x(v) cos u · i + x(v) sin u · j + z(v) · k, 0 6 u < 2πзаметаемой кривой x(v), z(v) в плоскости (x, z) (профилем поверхности) при ее вращении вокруг оси Oz, мы имеемru = −x(v) sin u · i + x(v) cos u · j,rv = x0 (v) cos u · i + x0 (v) sin u · j + z 0 (v) · k.Следовательно, E = x(v)2 , F = 0, G = x0 (v)2 + z 0 (v)2 иI(u, v) = x(v)2 du2 + (x0 (v)2 + z 0 (v)2 )dv 2 .Меридианы (линии u = const) и параллели (линии v = const) поверхности вращения, очевидно, ортогональны.
Если параметр v профиля x(v), z(v) является натуральным, т.е. длиной дуги, и тогдаx0 (v)2 + z 0 (v)2 = 1, тоI(u, v) = x(v)2 du2 + dv 2 .Пример 1.2. Для сферы радиуса 1 с центром в начале координат имеемx(v) = cos v, z(v) = sin v, −π 6 v 6 π иI(u, v) = cos2 vdu2 + dv 2 .Дифференциальная геометрия поверхностейРис. 1.1: катеноид.11Рис. 1.2: геликоид.Пример 1.3. Линия провеса однородной тяжелой нити называетсяцепной линией и является графиком гиперболического косинуса x(v) =ch(v), z(v) = v. Соответствующая ей поверхность вращения вокругоси Oz называется катеноидом и для негоI(u, v) = ch2 v(du2 + dv 2 ), 0 6 u < 2π, v ∈ R.Пример 1.4.
Пусть прямая, перпендикулярная оси Oz, равномерно вращается вокруг нее, оставаясь ей перпендикулярной и одновременно поднимаясь винтовым движением на высоту, пропорциональную углу поворота. Поверхность, заметаемая этой прямой, называется геликоидом.1 Она имеет вид винтового пандуса для въезда автомашин.Если v — параметр на прямой, а u — угол поворота, то геликоидбудет иметь параметризациюr(u, v) = v cos u · i + v sin u · j + u · k, u, v ∈ R.Поэтомуru = −v sin u · i + v cos u · j + k,rv = cos u · i + sin u · j,откуда E = 1 + v 2 , F = 0, G = 1 иI(u, v) = (1 + v 2 )du2 + dv 2 .В новых координатах u = u1 , v = sh v1 мы получим 1 + v 2 = 1 + sh2 v1 =ch2 v1 , du = du1 , dv = ch v1 dv1 , и поэтомуI(u1 , v1 ) = ch2 v1 (du21 + dv12 ).1Поверхность, заметаемая прямой линией при ее движении, называется линейчатой.12Поверхности и поверхностные интегралыОпределение 1.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
