Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 9
Текст из файла (страница 9)
касательные ккоординатным линиям в этой точке попарно перпендикулярны.2.5.2Параметры ЛамеПусть q1 , q2 , q3 — криволинейные ортогональные координаты. Рассмотрим криволинейный параллелепипед,ограниченный тремя парами близких криволинейныхкоординатных поверхностей. Пусть точка M соответствует тройкам координат q1 , q2 , q3 и x, y, z, а вдолькриволинейного отрезка [M, Mi ] координатной линиикоордината qi увеличивается на величину ∆qi > 0, i = Рис. 2.4: криволи1, 2, 3.
Вычислим длины ∆`i ребер [M, Mi ], i = 1, 2, 3 па- нейный параллераллелепипеда, площади его граней и его объем в пер- лепипед.вом ненулевом порядке по ∆q1 , ∆q2 , ∆q3 . Пусть декартовы прямоугольные координаты точки M1 равны (x+∆x, y+∆y, z+∆z).Тогда∆x = x(q1 + ∆q1 , q2 , q3 ) − x(q1 , q2 , q3 ) =∂x(M )∆q1 + O(∆q12 ).∂q1Аналогично,∆y =∂z∂y(M )∆q1 + O(∆q12 ), ∆z =(M )∆q1 + O(∆q12 ).∂q1∂q1Поэтому ∆`1 = H1 ∆q1 + O(∆q12 ), гдеsµ¶2 µ¶2 µ¶2∂y∂z∂xH1 =++.∂q1∂q1∂q1Аналогично, ∆`2 = H2 ∆q2 + O(∆q22 ), ∆`3 = H3 ∆q3 + O(∆q32 ), гдеsµ¶2 µ¶2 µ¶2∂y∂z∂xH2 =++,∂q2∂q2∂q2sµ¶2 µ¶2 µ¶2∂y∂z∂x++.H3 =∂q3∂q3∂q3Операции векторного анализа в криволинейных ортогональных координатах51Величины H1 , H2 , H3 называются параметрами Ламе8 для криволинейных координат q1 , q2 , q3 или масштабными множителями.
Онихарактеризуют изменение длины координатных линий в зависимости отизменения соответствующей криволинейной координаты.Площади граней параллелепипеда равны, соответственно,∆s1 = ∆`2 ∆`3 + O(∆3 ) = H2 H3 ∆q2 ∆q3 + O(∆3 ),∆s2 = ∆`1 ∆`3 + O(∆3 ) = H1 H3 ∆q1 ∆q3 + O(∆3 ),∆s3 = ∆`1 ∆`2 + O(∆3 ) = H1 H2 ∆q1 ∆q2 + O(∆3 ),а его объем —V (G0 ) = H1 H2 H3 ∆q1 ∆q2 ∆q3 + O(∆4 ),(2.11)где ∆i , i = 3, 4 — сумма всех возможных мономов i-ых степеней от переменных ∆q1 , ∆q2 , ∆q3 .Пример 2.8. Для цилиндрических координат x = r cos ϕ, y = r sin ϕ,z = z, q1 = r, q2 = ϕ, q3 = z, и мы получаемsµ ¶µ ¶2 µ ¶2 q2∂y∂z∂xH1 =++= cos2 ϕ + sin2 ϕ + 0 = 1,∂r∂r∂rsµ ¶µ ¶2 µ ¶2 q2∂y∂z∂xH2 =++= (r sin ϕ)2 + (r cos ϕ)2 + 0 = r,∂ϕ∂ϕ∂ϕsµ ¶µ ¶2 µ ¶22√∂x∂y∂zH3 =++= 0 + 0 + 1 = 1.∂z∂z∂zЭто можно усмотреть и без вычислений из рисунка 2.5.Пример 2.9.
Для сферических координат (см. рис. 2.6) x = r sin θ cos ϕ,y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ, q1 = r > 0, q2 = θ ∈ [0, π], q3 = ϕ ∈ [0, 2π), имы получаемsµ ¶µ ¶2 µ ¶22∂x∂y∂zH1 =++=∂r∂r∂rq= sin2 θ cos2 ϕ + sin2 θ sin2 ϕ + cos2 θ = 1,8Ламе Габриэль (1795–1870) — французский математик.52Скалярные и векторные поляРис. 2.5: цилиндрические координатыsµH2 =q∂x∂赶2+∂y∂θРис. 2.6: сферические координатыµ¶2+∂z∂θ¶2=(r cos θ cos ϕ)2 + (r cos θ sin ϕ)2 + (r sin θ)2 = r,sµ ¶µ ¶2 µ ¶22∂y∂z∂xH3 =++=∂ϕ∂ϕ∂ϕq= (r sin θ sin ϕ)2 + (r sin θ cos ϕ)2 + 0 = r sin θ.=2.5.3ГрадиентПусть, как и выше, M (q1 , q2 , q3 ) и пусть e1 , e2 , e3 — ортогональный базис,состоящий из единичных касательных векторов к координатным линиямв точке M , направленных в сторону возрастания соответствующих координат.
Заметим, что при движении точки M направления векторов e1 ,e2 , e3 будут, вообще говоря, меняться.9 Пусть u(M ), M ∈ G — некоторая дифференцируемая в области G функция. Разложим grad u(M ) побазису e1 , e2 , e3 .Координаты вектора grad u(M ) в базисе e1 , e2 , e3 — это проекциивектора grad u(M ) на базисные векторы.
Но проекция grad u(M ) на век9Такой базис называется подвижным репером.Операции векторного анализа в криволинейных ортогональных координатах53тор ei равна скалярному произведению (grad u(M ), ei ), что совпадает спроизводной функции u по направлению ei . Поэтому∂uu(q1 + ∆q1 , q2 , q3 ) − u(q1 , q2 , q3 )= lim=∂e1 ∆`1 →0∆`1u(q1 + ∆q1 , q2 , q3 ) − u(q1 , q2 , q3 )1 ∂u1lim=.=H1 ∆q1 →0∆q1H1 ∂q1(grad u(M ), e1 ) =Аналогично получаем∂u1 ∂u=, i = 2, 3.∂eiHi ∂qiОкончательно,grad u(M ) =1 ∂u1 ∂u1 ∂ue1 +e2 +e3 .H1 ∂q1H2 ∂q2H3 ∂q3Слушателям предлагается выписать формулы для градиента в цилиндрической и сферической системах координат.2.5.4ДивергенцияPПусть a(M ) = 3i=1 ai (M )ei (M ) — дифференцируемое векторное поле вобласти G.
Для получения выражения div a(M ) в ортогональных криволинейных координатах будем использовать инвариантное определениедивергенции:ZZ1(a(M ), n) dσ,(2.12)div a(M ) = limΓ→M V (G0 )Γгде поверхность Γ ограничивает область G0 , содержащую точку M , и стягивается в пределе к этой точке. В качестве области G0 мы возмем криволинейный параллелепипед, изображенный на рисунке 2.4 (тот факт, чтоточка M лежит на его границе Γ, не играет роли) и перейдем в (2.12) кпределу при ∆qi → 0, i = 1, 2, 3. Поскольку V (G0 ) — величина третьегопорядка малости относительно ∆qi , то для вычисления предела в (2.12)нам нужно вычислить интегралZZ(a(M ), n) dσ(2.13)Γ54Скалярные и векторные поляс точностью до членов третьего порядка малости.10Пусть q̃1 , q̃2 , q̃3 — координаты переменной точки в параллелепипеде G0 .Обозначим через Γi грань параллелепипеда, лежащую на поверхностиq̃i = qi , а через Γ0i — грань параллелепипеда, лежащую на поверхностиq̃i = qi + ∆qi .
ТогдаZZ3 ZZX(a(M ), n) dσ.(a(M ), n) dσ =i=1ΓΓi ∪Γ0iПоскольку нормаль к граням Γ1 и Γ01 параллелепипеда G0 параллельнакоординатной линии q̃1 и, поэтому, dσ|Γ1 ∪Γ01 = H2 H3 dq̃2 dq̃3 , то первыйинтеграл можно представить по формуле среднего значения и формулеконечных приращений в виде:ZZZZ[(a1 H2 H3 ) (q1 + ∆q1 , q̃2 , q̃3 ) −(a(M ), n) dσ =Γ1 ∪Γ01q2 6q̃2 6q2 +∆q2q3 6q̃3 6q3 +∆q3− (a1 H2 H3 ) (q1 , q̃2 , q̃3 )] dq̃2 dq̃3 = [(a1 H2 H3 )(q1 + ∆q1 , q2∗ , q3∗ )−¯¯∂−(a1 H2 H3 )(q1 , q2∗ , q3∗ )]∆q2 ∆q3 =· ∆q1 ∆q2 ∆q3 ,(a1 H2 H3 )¯¯∂q1(q1∗ ,q2∗ ,q3∗ )где qi 6 qi∗ 6 qi + ∆qi , i = 1, 2, 3.
Применяя циклическую перестановку,получим"¯¯ZZ¯¯∂∂+(a(M ), n) dσ =(a1 H2 H3 )¯¯(a2 H1 H3 )¯¯+∂q1∂q∗∗∗2(q1 ,q2 ,q3 )(q 1 ,q 2 ,q 3 )Γ#¯¯∂+(a3 H1 H2 )¯¯· ∆q1 ∆q2 ∆q3 ,∂q3(q̂1 ,q̂2 ,q̂3 )где qi 6 q i , q̂i 6 qi + ∆qi , i = 1, 2, 3. Учитывая выражение (2.11) дляобъема криволинейного параллелепипеда, по формуле (2.12) получаем"¯¯1∂div a(M ) =lim(a1 H2 H3 )¯¯+(2.14)H1 H2 H3 ∆qi →0 ∂q1∗∗∗(q1 ,q2 ,q3 )#¯¯¯¯∂∂(a2 H1 H3 )¯¯+(a3 H1 H2 )¯¯=+∂q2∂q3(q 1 ,q 2 ,q 3 )(q̂1 ,q̂2 ,q̂3 )10Отметим, что в книге Будак Б.М., Фомин С.В.
Кратные интегралы и ряды. Изд. 3-е, М., Физматлит, 2002 формула для дивергенции в ортогональных криволинейных координатах полученанестрого, поскольку при вычислении интеграла (2.13) рассуждения ведутся с точностью только довторого порядка малости. Аналогичное замечание справедливо для вычисления ротора.Операции векторного анализа в криволинейных ортогональных координатах55·¸∂∂∂1=(a1 H2 H3 ) +(a2 H1 H3 ) +(a3 H1 H2 ).H1 H2 H3 ∂q1∂q2∂q3(q1 ,q2 ,q3 )Слушателям предлагается выписать формулы для дивергенции в цилиндрической и сферической системах координат.2.5.5РоторДля получения выражения rot a(M ) в ортогональных криволинейныхкоординатах будем использовать инвариантное определение ротора:I1(rot a(M ), n(M )) = lim(a(M ), dl),(2.15)L→M S(Γ0 )Lгде замкнутая кривая L ограничивает поверхность Γ0 , содержащую точку M , и стягивается в пределе к этой точке, а направление обхода кривой L связано правилом правого винта с полем единичных нормалей nна поверхности Γ0 .
В качестве поверхности Γ0 мы возмем грань Γ1 нашего криволинейного параллелепипеда, изображенного на рисунке 2.4,в качестве нормали к поверхности Γ0 выберем внутреннюю нормаль кпараллелепипеду и перейдем в (2.15) к пределу при ∆qi → 0, i = 1, 2, 3.Поскольку S(Γ0 ) — величина второго порядка малости относительно ∆qi ,то для вычисления предела в (2.15) нам нужно вычислить интегралI(a(M ), dl)(2.16)Lс точностью до членов второго порядка малости.Вычислим интеграл (2.16) по формуле среднего значения и формулеконечных приращений с учетом того, чтоdl| q̃1 =const = ±H2 e2 dq̃2 , dl| q̃1 =const = ±H3 e3 dq̃3 .q̃3 =constq̃2 =constИмеем:Iq2Z+∆q2(a(M ), dl) =[(a2 H2 ) (q1 , q̃2 , q3 ) − (a2 H2 ) (q1 , q̃2 , q3 + ∆q3 )] dq̃2 +q2Lq3Z+∆q3+[(a3 H3 ) (q1 , q2 + ∆q2 , q̃3 ) − (a3 H3 ) (q1 , q2 , q̃3 )] dq̃3 =q356Скалярные и векторные поля= [(a2 H2 ) (q1 , q2∗ , q3 ) − (a2 H2 ) (q1 , q2∗ , q3 + ∆q3 )]∆q2 ++[(a3 H3 ) (q1 , q2 + ∆q2 , q3∗ ) − (a3 H3 ) (q1 , q2 , q3∗ )]∆q3 ="#¯¯¯¯∂∂= −+· ∆q2 ∆q3 ,(a2 H2 )¯¯(a3 H3 )¯¯∂q3∂q2(q1 ,q2∗ ,q 3 )(q1 ,q 2 ,q3∗ )где qi 6 q i , qi∗ 6 qi + ∆qi , i = 2, 3.
Отсюда по формуле (2.15)"#¯¯¯¯1∂∂¯lim(a(a2 H2 )¯¯(rot a(M ), e1 ) =−=3 H3 )¯2 →0H2 H3 ∆q∂q∂q∗∗23(q1 ,q 2 ,q3 )(q1 ,q2 ,q 3 )∆q3 →0·¸¯¯1∂∂=(a3 H3 ) −(a2 H2 ) ¯¯.H2 H3 ∂q2∂q3(q1 ,q2 ,q3 )Производя циклическую перестановку индексов, получим¯¯¯H1 e1 H2 e2 H3 e3 ¯¯ ∂¯1∂∂ ¯¯rot a(M ) =∂q2∂q3 ¯ .H1 H2 H3 ¯¯ ∂q1H1 a1 H2 a2 H3 a3 ¯(2.17)Слушателям предлагается выписать формулы для ротора в цилиндрической и сферической системах координат.2.5.6Оператор ЛапласаВыражение для оператора Лапласа в ортогональных криволинейных координатах получается композицией операторов div и grad:·µ¶µ¶µ¶¸∂H2 H3 ∂u∂H1 H3 ∂u∂H1 H2 ∂u1++.4u =H1 H2 H3 ∂q1H1 ∂q1∂q2H2 ∂q2∂q3H3 ∂q3Слушателям предлагается выписать формулы для оператора Лапласа вцилиндрической и сферической системах координат.Глава 3Числовые рядыСамостоятельное значение понятие числового и функционального рядаприобрело в 17 веке, особенно после работ И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
