Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

Действительно, если fˆ ∈ S 0 , то ограничение функционала fˆ на пространство D дает элемент из D0 . Не всякаялокально интегрируемая функция f порождает функционал fˆ ∈ S 0 , на2пример, локально интегрируемая функция ex не порождает элемент S 0 ,2поскольку e−x ∈ S иZ+∞22ex e−x dx = +∞.−∞Происхождение термина «функция медленного роста» таково. Локальноинтегрируемая функция f (x) называется функцией медленного роста,если ∃C ∈ R и N ∈ N такие, что|f (x)| 6 C(1 + |x|)N , ∀x ∈ R.Можно доказать,4 что пространство S 0 состоит из производных произвольных порядков от локально интегрируемых функций медленного роста.4см.

М.С. Агранович, Обобщенные функции, М.: МЦНМО, 2008, с. 47–49.Действия над обобщенными функциями221Пусть теперь f ∈ D. Тогда1|Ff (λ)| 6 √2πZ+∞|f (t)| dt,−∞cf ∈ S 0 , и ∀ϕ ∈ S имеемпоэтому F³Z+∞Z+∞Z+∞cf , ϕ = √1FFf (λ)ϕ(λ) dλ =f (t)e−iλt dt ϕ(λ) dλ =2π−∞−∞−∞Z+∞Z+∞1=f (t)  √ϕ(λ)e−iλt dλ dt = (fˆ, Fϕ ).2π´−∞−∞В этой выкладке мы изменили порядок интегрирования, поскольку интеграл по t фактически берется по конечному сегменту, а интеграл по λсходится равномерно по t.Полученное равенство мотивирует следующее определение преобразования Фурье функции fˆ ∈ S 0 :³´Ffˆ, ϕ := (fˆ, Fϕ ), ∀ϕ ∈ S.(8.5)Пример 8.6. Вычислим преобразование Фурье для δ̂-функции.³´ ³´Fδ̂(x−x0 ) , ϕ = δ̂(x − x0 ), Fϕ (x) = Fϕ (x0 ) =Ã!Z+∞\11=√ϕ(λ)e−ix0 λ dλ = √ e−ix0 λ , ϕ(λ) .2π2π−∞Таким образом, получаем равенство в пространстве S 0 :1\Fδ̂(x−x0 ) (λ) = √ e−ix0 λ .2πФормально эту формулу можно получить так, как это делают физики:Z+∞11Fδ̂(x−x0 ) (λ) = √δ(x − x0 )e−ixλ dx = √ e−ix0 λ .2π2π−∞Литература[1] Агранович М.С.

Обобщенные функции. М.: МЦНМО, 2008, 128 с.[2] Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. Изд. 3-е, М.Физматлит, 2002. 512 с.[3] Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах. 4-е изд., 2001.[4] Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука,1981. Гл. II: обобщенные функции, с. 82–189.[5] Гальперин И.

Введение в теорию обобщенных функций, М.: Изд-воиностранной литературы, 1954, 63 с.[6] Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическомуанализу. М.: Астрель, 2002.[7] Зорич В.А., Математический анализ, часть II, М.: Наука, 1984.[8] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. ЧастьII. 5-e изд. М. Физматлит, 2004. 464 с.[9] Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.

Математический анализ, часть II, М.: ТК Велби, изд-во Проспект, 2004, 368 с.[10] Постников М.М. Гладкие многообразия, М.: Наука, 1987, лекции 3–5.[11] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах. 8-е изд. М.: Физматлит, 2003. 864 с.[12] Щербаков Р.Н., Пичурин Л.Ф. Дифференциалы помогают геометрии. M. Просвещение, 1982; УРСС, 2010.222.

Характеристики

Список файлов лекций