Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 29
Текст из файла (страница 29)
ряд Фурье любого элемента f ∈ E при этом неменяется. Подытожим эти рассуждения в виде теоремы.Теорема 7.3. [Об экстремальном свойстве конечной суммы рядаФурье] Пусть {ψk }∞k=1 — ортогональная система элементов евклидоваPn пространства E. При фиксированном n из всех сумм видаэлемента f по нормеk=1 ck ψk , ck ∈ R наименьшее отклонение от Pnпространства E имеет n-я частичная суммаk=1 fk ψk ряда Фурьеэлемента f .Определение 7.5. Ряд Фурье элементаPnf сходится к этому элементупо норме пространства E, если lim k k=1 fk ψk − f k = 0.n→∞Геометрический смысл теоремы 7.3.
Множество всевозможныхPлинейных комбинаций nk=1 ck ψk образуют подпространство евклидовапространства E. Мы ищем наименьшее отклонение элемента f от данногоподпространства, т.е. расстояние между f и данным подпространством.PИз всевозможных отрезков f − nk=1 ck ψk , соединяющих f с этим подпространством, наименьшую “длину” (норму) имеет тот, который перпендикулярен к подпространству, а для этого он должен быть перпендикулярен к каждому базисному элементу ψi , i = 1, .
. . , n, этого подPпространства, откуда (f − nk=1 ck ψk , ψi ) = 0, т.е. ci = (f, ψi ) = fi ,i = 1, . . . , n. Таким образом, наименьшим по норме перпендикуляромPявляется f − nk=1 fk ψk .Следствие 7.1. Из доказательства теоремы 7.3 получаем тождествоБесселя8nnXX22kfk ψk − f k = kf k −fk2 kψk k2 ,(7.11)k=1k=1а ввиду неотрицательности левой части тождества Бесселя, и неравенствоnXfk2 kψk k2 6 kf k2 .k=18Бессель Фридрих Вильгельм (1784–1846) — немецкий астроном и математик.Замкнутые и полные ортогональные системыОтсюда следует сходимость ряда∞X193Pn22k=1 fk kψk kи неравенство Бесселяfk2 kψk k2 6 kf k2 .(7.12)k=1Пример 7.8. Рассмотрим в пространстве Q[−π, π] ряд Фурье¶∞ µXa0akbk√ +√ cos kx + √ sin kxππ2π k=1(7.13)функции f ∈ Q[−π, π] по ортонормированной системе функций½¾111√ , √ cos kx, √ sin kx, k = 1, 2, .
. . .π2π π0Если ввести обозначения √a2π= a20 , √akπ = an , √bkπ = bk , то этот рядпримет вид тригонометрического ряда Фурье.Ряд (7.13) поточечно может и не сходиться (если функция f неявляется кусочно-гладкой), однако для его коэффициентов выполненонеравенство БесселяZ∞ ³´X2a20 +a2k + bk 6 kf k2 = f 2 (x)dx,πk=1−πоткуда, разделив на π, получим неравенство∞¢ 1a20 X ¡ 2+ak + b2k 62πk=1Zπf 2 (x)dx.−πИз этого неравенства следует, что коэффициенты an , bn кусочнонепрерывной функции f стремятся к нулю при n → ∞. Это же можно получить и из леммы 7.4, однако использованный метод проще иуниверсальнее.7.7Замкнутые и полные ортогональные системыНеобходимо выяснить условия, при которых ряд Фурье элемента f ∈ Eсходится к f по норме пространства E.194Ряды и интегралы ФурьеОпределение 7.6. Ортогональная (в частности, ортонормированная)система элементов {ψn }∞n=1 в бесконечномерном евклидовом пространстве E называется замкнутой, если любой элемент f ∈ E можносколь угодно точно приблизить по норме этого пространства конечнойсистемы {ψn }∞n=1 , т.е.
∀ε > 0Pnлинейной комбинацией элементовPn∃ k=1 ck ψk такая, что kf − k=1 ck ψk k < ε.PnОтметим, что в этом случае тем более выполнено неравенство kf −k=1 fk ψk k < ε, где fk — коэффициенты Фурье элемента f по системе{ψn }∞n=1 .Теорема 7.4 (необходимое и достаточное условие замкнутости ортогональной системы). Следующие три условия эквивалентны:1. ортогональная система {ψn }∞n=1 – замкнута;2. ∀f ∈ E выполняется равенство Парсеваля9∞Xfk2 kψk k2 = kf k2 ,(7.14)k=1где fk :={ψk }∞k=1 ;(fk ,ψ)kψk k2— коэффициенты Фурье элемента f по системе3. ряд Фурье ∀f ∈ E по ортогональной системе {ψk }∞k=1 сходится кf по норме.Доказательство. Докажем теорему по схеме 1 → 2 → 3 → 1.1 → 2. В силу замкнутости системы {ψk }∞k=1 , тождества Бесселя (7.11)и экстремального свойства частичной суммы ряда Фурье получаем, что∀ε > 0 ∃N такое, что левая часть тождества Бесселя < ε при n = N .Следовательно, правая часть тождества Бесселя < ε при n > N , а этозначит, что∞X2kf k −fk2 kψk k2 = 0,k=1т.е.
справедливо равенство Парсеваля.2 → 3. Из справедливости равенства Парсеваля для f ∈ E и тождества Бесселя сразу следует сходимость ряда Фурье для элемента f кf.9Парсеваль Марк Антуан (1755–1836) — французский математик. Ясно, что равенство Парсеваляесть не что иное, как теорема Пифагора в бесконечномерном пространстве.Замкнутые и полные ортогональные системы1953 → 1. Из сходимость ряда Фурье для ∀f ∈ E к f сразу следуетзамкнутость системы {ψk }∞k=1 .Замечание 7.2. Замкнутую систему в бесконечномерном евклидовомпространстве можно назвать базисом этого пространства, посколькуряд Фурье любого элемента f ∈ E сходится к f по норме E.Докажем единственность такого разложения.
Не ограничивая общности, можно считать систему {ψk }∞k=1 ортонормированной. Предположим, что ряды∞∞XXfk ψk иfk0 ψkk=1k=1сходятся к элементу f ∈ E по норме пространства E. ТогдаknXfk ψk −k=1nXk=1fk0 ψk k6knXfk ψk − f k + kf −k=1nXfk0 ψk k → 0 при n → ∞,k=1откудаnnXX0 2(fk − fk0 )ψk k2 → 0 при n → ∞,(fk − fk ) = kk=1k=1следовательно fk = fk0 , что и означает единственность разложенияэлемента f .Замечание 7.3. Ниже мы докажем замкнутость тригонометрической системы в пространстве Q[−π, π], откуда в силу теоремы 7.4следует, что для любой функции f ∈ Q[−π, π] ее ряд Фурье сходитсяк f по норме пространства Q[−π, π], т.е. в среднеквадратичном, что,конечно, не означает поточечной сходимости.Остается открытым вопрос о существовании замкнутых систем в бесконечномерных евклидовых пространствах.
Ниже мы определим гильбертовы пространства, для которых всегда существуют замкнутые системы.Определение 7.7. Ортогональная (в частности, ортонормированная)система элементов {ψk }∞k=1 в бесконечномерном евклидовом пространстве E называется полной, если единственным элементом f , ортогональным ко всем элементам ψk данной системы, является нулевойэлемент.1010В книге Будака, Фомина термины замкнутости и полноты системы элементов переставлены, ав книге Ильина, Позняка имеют тот же смысл, что и у нас.196Ряды и интегралы ФурьеТеорема 7.5.
Любая замкнутая система элементов в пространствеE является полной.Доказательство. Пусть {ψk }∞k=1 – замкнутая система и пусть f ∈ E— элемент, ортогональный всем элементам данной системы. Посколькуfk = (f, ψk ) = 0, то в силу равенства Парсеваля, справедливого дляP22замкнутых систем, имеем kf k2 = ∞k=1 fk kψk k = 0, откуда по определению нормы f = 0.Замечание 7.4. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно; вкниге Ильина, Позняка (ч. II, гл. 11, §3, п. 2) с помощью интегралаЛебега построен пример полной системы в бесконечномерном не полном евклидовом пространстве, которая не является замкнутой.Определение 7.8.
Нормированное пространство L называется сепарабельным, если в нем существует счетное всюду плотное подмножество L1 , т.е. ∀f ∈ L существует последовательность fi ∈ L1 такая,что kfi − f k → 0 при i → ∞.Среди бесконечномерных евклидовых пространств особое место занимают гильбертовы пространства.Определение 7.9. Бесконечномерное полное сепарабельное евклидовопространство называется гильбертовым пространством.Пример 7.9. Определим гильбертово пространство `2 :)(∞Xx2i < ∞ .`2 := x = {xi }∞i=1 | xi ∈ R,i=1Очевидно, что `2 — линейное пространство относительно поэлементной суммы последовательностей и умножения последовательностейна вещественные числа. Определим в `2 скалярное произведение(x, y) :=∞Xi=1∞1X 2xi yi 6(xi + yi2 ) < ∞.2 i=1Нам остается проверить полноту и сепарабельность пространства `2 .Пусть последовательность {xn }∞n=1 ⊂ `2 фундаментальна. Этоозначает, что ∀ε > 0 ∃N такое, что2kxn − xn+p k =∞Xi=1(xn,i − xn+p,i )2 < ε при ∀n > N, ∀p ∈ N.(7.15)Замкнутые и полные ортогональные системы197Но тогда при любом фиксированном i фундаментальна и последовательность {xn,i }∞n=1 , откуда xn,i → yi ∈ R, n → ∞.
Покажем, теперь,∞что y := {yi }i=1 ∈ `2 и xn → y := {yi }∞i=1 , n → ∞. Из неравенства(7.15) следует, что для любого фиксированного mmX(xn,i − xn+p,i )2 < ε, ∀n > N (ε), ∀p ∈ N.i=1Переходя в этом неравенстве к пределу при p → ∞, получимmX(xn,i − yi )2 6 ε, ∀n > N (ε).i=1Переходя теперь к пределу при m → ∞, получим∞X(xn,i − yi )2 6 ε, ∀n > N (ε).(7.16)i=1ТеперьmXi=1yi2mmXX2=(yi − xn,i + xn,i ) 6 2((yi − xn,i )2 + x2n,i ) 6 2(ε + kxn k2 ),i=1i=1P2следовательно, ряд ∞i=1 yi сходится, и поэтому y ∈ `2 .
С другой стороны, в силу произвольности ε из неравенства (7.16) следует xn → y.Таким образом, пространство `2 полно.В качестве счетного всюду плотного подмножества пространства`2 можно взять множество`2,f,Q := {{x1 , x2 , . . . , xs , 0, 0, 0, . . .}| xi ∈ Q, i = 1, . . . , s, s ∈ N}финитных последовательностей рациональных чисел. Действительно,еслиP∞ x —2 произвольный элемент из `2 , а ε > 0, то ∃n ∈ N такое, чтоi=n+1 xi < ε/2. Выберем теперь рациональные числа yi так, что |xi −2yi | < ε/(2n). Тогда y := {y1 , y2 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
