Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Обобщенные функции fˆ и ĝ называются равнымина интервале I, если (fˆ − ĝ)|I = 0.Определение 8.8. Объединение всех интервалов I, на которых fˆI = 0называется нулевым множеством обобщенной функции fˆ и обозначается Ofˆ. Замкнутое множество supp fˆ := R\Ofˆ называется носителем обобщенной функции fˆ. Если supp fˆ — ограниченное множество,то функция fˆ называется финитной.Пример 8.4.1. supp δ̂ = {0}.2. Если f (x) = const 6= 0, то supp fˆ = R.214Обобщенные функции8.28.2.1Действия над обобщенными функциямиПроизведение обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функциюОпределение 8.9.

Произведение обобщенной функции fˆ на бесконечc,ное число раз дифференцируемую функцию a(x) — это функционал afc , ϕ) = (fˆ, aϕ).действующий по правилу (afВ случае регулярных обобщенных функций это определение переходит в обычное умножение функций. Для δ-функции мы получим a(x) δb =ba(0) δ.Произведение двух обобщенных функций, вообще говоря, не определено. Например, обобщенная функция δ 2 (x) не имеет смысла.8.2.2Замена переменной в обобщенной функцииПусть ψ(x), x ∈ R — монотонная бесконечно дифференцируемая функция, производная которой имеет постоянный знак, и ψ(x) → ±∞ приx → ±∞.

Ясно, что в этом случае аналогичными свойствами обладаети обратная функция ψ −1 (y), y ∈ R.Пусть также f (x) — локально интегрируемая функция. Рассмотримлокально интегрируемую функцию f (ψ(x)) и порожденную ею обобщенную функцию f\(ψ(x)). Тогда³´ Z∞f\(ψ(x)), ϕ(x) =f (ψ(x))ϕ(x) dx=ψ(x)=:y−∞Z∞=−∞¡¢f (y)ϕ ψ −1 (y)¯ −1 ¯¯ −1 ¯µ¶¯ ψ (x) ¯ ¡ −1 ¢¯ ψ (y) ¯ˆ¯¯¯¯¯ dy ¯ dy = f (x), ¯ dx ¯ ϕ ψ (x) ,∀ϕ ∈ D.Это равенство мотивирует следующее определение:Определение 8.10. Для любой обобщенной функции fˆ(x) обобщеннаяфункция fˆ(ψ(x)) действует по правилу:¯ −1 ¯¶³´ µ¯ ψ (x) ¯ ¡ −1 ¢¯ ϕ ψ (x) , ∀ϕ ∈ D.fˆ(ψ(x)), ϕ(x) = fˆ(x), ¯¯dx ¯Действия над обобщенными функциями215В частности, для линейной замены независимой переменной x получаем:µµ¶¶³´x−b1fˆ(ax + b), ϕ(x) =fˆ(x), ϕ, ∀ϕ ∈ D;|a|aпри a = 1, b = −c получаем формулу сдвига аргумента обобщеннойфункции:³´ ³´ˆˆf (x − c), ϕ(x) = f (x), ϕ(x + c) , ∀ϕ ∈ D;а при b = 0, a 6= 0 — формулу растяжения аргумента обобщенной функции:³´³ x ´´1 ³ˆˆf (ax), ϕ(x) =f (x), ϕ, ∀ϕ ∈ D.|a|aПервая из этих´формул определяет обобщенную функцию δ(x − x0 ):³δ̂(x − x0 ), ϕ(x) = ϕ(x0 ), а из второй при a = −1 получаем четностьδ-функции:´´³´ ³³δ̂(−x), ϕ(x) = δ̂(x), ϕ(−x) = ϕ(0) = δ̂(x), ϕ(x) ,т.е.

δ̂(−x) = δ̂(x).8.2.3Дифференцирование обобщенных функцийПусть f (x), x ∈ R — бесконечно дифференцируемая (и потому локальноинтегрируемая) функция. Ее производная f 0 (x) порождает обобщеннуюфункцию, которую мы обозначим Dfˆ. С помощью интегрирования почастям и с учетом финитности функции ϕ ∈ D мы получаем равенствоZ∞Z∞(Dfˆ, ϕ) =f 0 (x)ϕ(x) dx = −f (x)ϕ0 (x) dx = −(fˆ, ϕ0 ).−∞−∞Итерируя это равенство, получаем³´³´(k) ˆk ˆ (k)D f , ϕ = (−1) f , ϕ, ∀ϕ ∈ D.Это равенство мотивирует следующее определение.Определение 8.11.

Для любой обобщенной функции fˆ обобщеннаяфункция D(k) fˆ действует по правилу:³´³´(k) ˆk ˆ (k)D f , ϕ = (−1) f , ϕ, ∀ϕ ∈ D.216Обобщенные функцииТаким образом, любая обобщенная функция бесконечно дифференцируема.Пример 8.5. Для обобщенной функции Хевисайда из примера 8.2 получаем³´³b ϕ = − Θ,b ϕ0DΘ,´Z+∞=−ϕ0 (x) dx = −ϕ(x)|+∞= ϕ(0) = (δ̂, ϕ),00b = δ̂. Заметим, что Θ0 (x) = 0, x 6= 0, а Θ0 (0) не существуоткуда DΘет.Для δ-функции получаем:(Dδ(x), ϕ(x)) = − (δ(x), ϕ0 (x)) = −ϕ0 (0)и, более общо,³´³´(k)k(k)∀k ∈ N : D δ(x), ϕ(x) = (−1) δ(x), ϕ (x) = (−1)k ϕ(k) (0).Оказывается, что если носитель обобщенной функции состоит из одной точки x = 0, то такая обобщенная функция представима единственным способом в виде линейной комбинации δ-функции и ее производных.2Пусть f (x), x ∈ R — кусочно-гладкая функция, имеющая единственную точку разрыва первого рода x0 , а в остальных точках у функцииf (x) имеется непрерывная производная.

Тогда в пространстве D0 справедлива следующая формула:Dfˆ = fˆ0 + [f ]x0 δ(x − x0 ),(8.3)где fˆ0 — регулярная обобщенная функция, порожденная кусочнонепрерывной функцией f 0 (x), а [f ]x0 := f (x0 + 0) − f (x0 − 0) — скачокфункции f (x) в точке x0 .Действительно, ∀ϕ ∈ D интегрированием по частям получаем:³´³´Z∞Dfˆ, ϕ = − fˆ, ϕ0 = −−∞2Zx0f (x)ϕ0 (x) dx = −f (x)ϕ0 (x) dx−−∞см. Владимиров В.С. Уравнения математической физики.

М.: Наука, 1981, с. 153–155. В гл. IIэтой книги можно найти и многие другие сведения о обобщенных функциях.Действия над обобщенными функциями217Zx0Z−∞0 −0f (x)ϕ0 (x) dx = − f (x)ϕ(x)|x−∞f 0 (x)ϕ(x) dx−−+x0−∞Z−∞f 0 (x)ϕ(x) dx = −f (x0 − 0)ϕ(x0 )+− f (x)ϕ(x)|+∞x0 +0 +x0Z+∞³´0ˆf (x)ϕ(x) dx = [f ]x0 (δ(x − x0 ), ϕ(x)) + f , ϕ ,0+f (x0 + 0)ϕ(x0 ) +−∞что и требуется.Частным случаем формулы (8.3) является формула для производнойфункции Хевисайда из примера 8.5.8.3Разложение δ-функции в ряд ФурьеПусть½¾∞ ¾1πkπk11√ , √ cos x, √ sin xll2lllk=1— ортонормированная замкнутая система функций в пространствеQ[−l, l] и пусть D[−l, l] := {ϕ ∈ D | supp ϕ ⊂ [−l, l]}.Тогда ∀x0 ∈ [−l, l] в пространстве D0 [−l, l] справедлива следующаяформула:Ã!∞X\\b1πkx01πkxπkx0πkxδ(x − x0 ) = +cos· cos+ sin· sin=2l lllllk=1µ¶∞b11Xπk(x − x0 )= +cosc,2l ll½k=1(8.4)где сходимость ряда понимается в смысле слабой сходимости обобщенных функций.

Действительно, ∀ϕ ∈ D[−l, l] справедливо равенствоÃÃ!!nb11Xπkx0 \πkxπkx0 \πkx+cos· cos+ sin· sin, ϕ(x) =2l lllllk=11=2lZlϕ(x) dx+−l218Обобщенные функции+1lnXk=1ZlZlπkxπkxπkx0sinϕ(x) dx + sinϕ(x) dx =lll−l−lµ¶na0 Xπkx0πkx0ak cos=++ bk sin,2llcos πkx0lcosk=1где ak и bk — коэффициенты Фурье функции ϕ(x), x ∈ [−l, l]. В силуsupp ϕ ⊂ [−l, l] имеем ϕ(l) = 0 = ϕ(−l), и потому ∀x0 ∈ [−l, l]¶n µa0 Xπkx0πkx0+ak cos+ bk sin→ ϕ(x0 ) = (δ(x − x0 ), ϕ(x)) , n → ∞.2llk=1По теореме 7.10 эта сходимость даже равномерна при x0 ∈ [−l, l], но намэто здесь не нужно. Таким образом, формула (8.4) доказана.8.4Преобразование Фурье обобщенных функцийПространство D основных функций является лишь одним возможнымбазисом для построения теории обобщенных функций. Оно не удобнодля определения преобразования Фурье, поскольку Фурье-образ ненулевой функции из этого пространства не является функцией из D.

Поэтомудля определения преобразования Фурье основных и обобщенных функций нам нужно изменить пространство основных функций. При этомавтоматически изменится и сопряженное к нему пространство обобщенных функций.Пусть S — линейное пространство бесконечно дифференцируемыхфункций, убывающих вместе со всеми своими производными при |x| →∞ быстрее любой отрицательной степени |x|, т.е. ∀f ∈ S и ∀l ∈ N имеем lim xl f (x) = 0. Пространство S называется пространством быстро|x|→∞убывающих функций.

Очевидно, что D ⊂ S, но пространство S шире2пространства D. Например, оно содержит функцию e−x , не являющуюся финитной.33Автором теории обобщенных функций на основе пространства S является французский математик Лоран-Моиз Шварц (Laurent-Moïse Schwartz 1915–2002). Его не следует путать с немецкимматематиком Карлом Германом Амандусом Шварцем (Karl Hermann Amandus Schwarz 1843–1921)— внесшим существенный вклад в комплексный анализ (принцип симметрии Шварца, интегралШварца — Кристоффеля, формула Шварца, производная Шварца, лемма Шварца) и автором конструкции, известной как «сапог» Шварца, показывающей, что один из кажущихся естественнымподходов к определению площади поверхности не ведет к цели.Действия над обобщенными функциями219В пространстве S вводится сходимость, аналогичная сходимости впространстве D. Последовательность {ϕk (x)}∞k=1 ⊂ S сходится к функции ϕ(x) ∈ S, если ∀m, l ∈ {0} ∪ N имеет место(l)x∈Rxm ϕk (x) ⇒ xm ϕ(l) (x), k → ∞.Ясно, что из сходимости последовательности в пространстве D следует ее сходимость в пространстве S.В теории обобщенных функций мы будем использовать следующееобозначение для преобразования Фурье1Ff (λ) := F[f ](λ) = √2πZ+∞f (t)e−iλt dt, f ∈ S,−∞т.к.

символ « ˆ » используется для обозначения обобщенных функций.Поскольку¯¯ C1 (k)∀k ∈ N, ¯f (t)tk ¯ 6, C1 (k) > 0,1 + t2то интегралZ+∞1√f (t)(−it)k e−iλt dt2π−∞абсолютно и равномерно по λ ∈ R сходится. Значит, функция Ff (λ)бесконечно дифференцируема и1dk√F(λ)=fdλk2πZ+∞f (t)(−it)k e−iλt dt.−∞С другой стороны, ∀m ∈ N с помощью интегрирования по частямимеем:¯¯¯¯Z+∞¯ 1¯mm−iλt|λ Ff (λ)| = ¯¯ √(−iλ) f (t)edt¯¯ =¯ 2π¯−∞¯ +∞¯ ¯¯¯Z¯ ¯¯Z+∞mm¯d ¡ −iλt ¢ ¯¯ ¯¯ (−1)1 ¯¯dt¯ = ¯ √f (m) (t)e−iλt dt¯¯ 6= √ ¯ f (t) m edt2π ¯¯ ¯ 2π¯−∞−∞16√2πZ+∞¯¯¯ (m) ¯¯f (t)¯ dt =: C2 (m), C2 (m) > 0.−∞220Обобщенные функцииТем самым, Ff (λ) — быстро убывающая функция, и поэтому Ff (λ) ∈ S.Ввиду того что формула обратного преобразования Фурье очень похожа на формулу прямого преобразования Фурье, то и из f ∈ S следуетF −1 [f ] ∈ S.

Тем самым, F: S → S — взаимно-однозначное преобразование. В этом и состоит смысл расширения пространства основных функций D до пространства S, поскольку преобразование Фурье ненулевойфункции из пространства D финитной функцией не является.Линейное пространство линейных непрерывных функционалов напространстве S обозначается S 0 и называется пространством обобщенных функций медленного роста. Для функций из fˆ ∈ S 0 можно определить производные всех порядков так, как это было сделано для пространства D0 формулой³´³´(k) ˆk ˆ (k)D f , ϕ = (−1) f , ϕ, ∀ϕ ∈ S.Пространство S 0 содержит и δ̂-функцию, определяемую равенством(δ̂, ϕ) := ϕ(0).Для обобщенных функций из пространства S 0 определяется и замена переменных так, как это было сделано выше для функций из пространстваD0.Ясно, что раз D ⊂ S, то для сопряженных пространств справедливообратное включение D0 ⊃ S 0 .

Характеристики

Список файлов лекций