Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Если f ∈ C[−l, l], l > 0 и f (l) = f (−l),то ∀ε > 0 ∃ тригонометрический многочлен Tl (x) такой, чтоkTl − f kC[−l,l] < ε.Доказательство. Предположим, что l = π. Зададим произвольное ε >0. Согласно лемме 7.3 существует непрерывная кусочно-гладкая функция `(x) такая, чтоεkf − `kC[−π,π] <2и, кроме того, `(−π) = `(π). По теореме 7.10 ряд Фурье функции `(x)равномерно сходится к ней на [−π, π], поэтому для заданного ε ∃ номер n такой, что для частичной суммы ряда Фурье Sn (x) (являющейсятригонометрическим многочленом) функции `(x) имеет местоεk` − Sn kC[−π,π] < .2Из двух полученных неравенств в силу неравенства треугольника следуетε εkf − Sn kC[−π,π] 6 kf − `kC[−π,π] + k` − Sn kC[−π,π] < + = ε,2 2Равномерная аппроксимация непрерывной функции многочленами205что и требуется.lЕсли теперь l 6= π, то функция ϕ(x) = f ( x) является непрерывнойπи ϕ(−π) = ϕ(π).
По уже доказанному получаем, что существует такойтригонометрический многочлен Tπ (x), чтоkϕ − Tπ kC[−π,π] < ε.ππТогда f (x) = ϕ( x) и для Tl (x) := Tπ ( x) получаемllkf (x) − Tl (x)kC[−l,l] = kϕ − Tπ kC[−π,π] < ε.Замечание 7.5. На первый взгляд может показаться, что мы доказали равномерную сходимость последовательности Sn (x) к непрерывнойпериодической функции f (x), не являющейся кусочно-гладкой. Однакоэто не так, поскольку для разных ε функции `(x) разные, а значит,разные и их ряды Фурье.Теорема 7.13 (Вейерштрасс). Если f ∈ C[a, b], то ∀ε > 0 ∃ алгебраический многочлен Pn (x) степени n такой, чтоkPn − f kC[a,b] < ε.Доказательство.
1. Пусть сначала f (x) ∈ C[−l, l], причем f (−l) =f (l). По теореме 7.12 ∀ε > 0 ∃ тригонометрический многочленTl (x) = A0 +m ³Xk=1ππ ´Ak cos kx + Bk sin kxllтакой, чтоεkTl − f kC[−l,l] < .2ππРазложим каждую функцию Ak cos kx, Bk sin kx по формуле Маllклорена и возмем в разложении каждой функции многочлены Тейлора такой степени, чтобы остаточный член на всем сегменте [−l, l]εбыл по модулю меньше 4m. Объединяя полученные многочлены Тейлора, получим многочлен Pn (x) такой, чтоkTl − Pn kC[−l,l] < 2mεε= .4m 2206Ряды и интегралы ФурьеИз двух полученных неравенств в силу неравенства треугольникаследуетε εkf − Pn kC[−l,l] 6 kf − Tl kC[−l,l] + kTl − Pn kC[−l,l] < + = ε.2 22.
Пусть теперь f ∈ C[a, b]. Возмем l таким, чтобы имело место строгое вложение [a, b] ⊂ [−l, l], [−l, l] 6= [a, b], и продолжим функциюf (x) непрерывным образом на [−l, l] до функции F (x) так, чтобывыполнялось условие F (−l) = F (l). По уже доказанному существует алгебраический многочлен Pn (x) такой, что kPn − F kC[−l,l] < ε.Тогда, тем более, kPn − f kC[a,b] < ε.7.10Замкнутость тригонометрической системыТеорема 7.14.
Тригонометрическая система {1, cos nx, sin nx, n =1, 2, . . .} является замкнутой в пространстве Q[−π, π], т.е. для любойкусочно-непрерывной функции f (x) и ∀ε > 0 ∃ тригонометрическиймногочлен T (x) такой, чтоkf − T k2 < ε.Доказательство. Рассмотрим произвольную кусочно-непрерывную на[−π, π] функцию f (x). Ясно, что существует непрерывная функция g(x),совпадающая с f (x) всюду, за исключением малых окрестностей точекразрыва функции f (x) и, возможно, точки π, линейная в этих окрестностях и такая, что g(−π) = g(π). Поскольку функция f (x) ограничена, аколичество точек ее разрыва конечно, то эти окрестности можно выбратьстоль малыми, чтоεkf − gk2 < .2Далее, по теореме 7.12, примененной к непрерывной функции g, найдется тригонометрический многочлен T (x) такой, что kg − T kC < 2√ε2π , ипоэтомуvuZπuεukg − T k2 = t (g(x) − T (x))2 dx < .2−πПоэтомуkf − T k2 6 kf − gk2 + kg − T k2 <ε ε+ = ε.2 2Замкнутость тригонометрической системы207Следствие 7.3.
Для любой кусочно-непрерывной на [−π, π] функции:1. ее тригонометрический ряд Фурье сходится к ней по норме пространства Q[−π, π], т.е. в среднеквадратичном;2. справедливо равенство Парсеваля∞¢ 1a20 X ¡ 2+an + b2n =2πn=1Zπf 2 (x) dx,−πгде an , bn — коэффициенты Фурье функции f (x) по тригонометрической системе;3. ее тригонометрический ряд Фурье можно интегрировать почленно на этом сегменте.
Действительно, из сходимости ряда Фурьефункции f (x) в среднеквадратичном к функции f (x) и теоремы4.13 следует равномерная по x, x0 ∈ [−π, π] сходимость!Zx ÃZx∞Xa0+(ak cos kt + bk sin kt) dt ⇒ f (t) dt.2x0k=1x0Глава 8Обобщенные функцииПонятия обобщенной функции (по английски “distribution”) позволяетединообразно рассматривать дискретные и непрерывные распределенияфизических величин (масс, зарядов и т.п.). Теория обобщенных функцийв ее различных вариантах позволила сильно продвинуть теорию дифференциальных уравнений.8.1Понятие обобщенной функции.
Пространствообобщенных функцийНазовем функцию ϕ(x), x ∈ R финитной, если она равна нулю вненекоторого конечного интервала. Обозначим через supp ϕ(x) замыканиемножества точек, в которых ϕ(x) 6= 0. Множество всех бесконечное число раз дифференцируемых финитных функций назовем пространствомосновных функций и обозначим символом D.
Ясно, что это линейное пространство относительно обычных операций сложения функций и умножения их на вещественные числа.Как показывает следующий пример, ненулевые основные функции существуют.Пример 8.1 («шапочка» Соболева1 ).´³(a2exp − a2 −x2 , |x| < a,ωa (x) =0, |x| > a.supp ωa (x) = [−a, a].Финитность и бесконечная дифференцируемость6= ±a «шапоч³ при2x ´aки Соболева» очевидны.
Пользуясь тем, что exp − a2 −x2 стремится к1Соболев Сергей Львович (1908–1989) — советский математик. Автор теории обобщенных функций на основе пространства D.208Понятие обобщенной функции209нулю при x → a−0 или x → −a+0 быстрее любой степени x±a, нетрудно проверить, что «шапочка Соболева» бесконечно дифференцируема ив точках x = ±a.Ясно, что ω 13 (x−n), n ∈ Z — последовательность «шапочек» Соболевас непересекающимися носителями, поэтому любая конечная подсистематакой системы линейно независима. Значит, D — линейное бесконечномерное пространство.Определение 8.1. Последовательность {ϕn (x)}∞n=1 основных функцийDсходится к основной функции ϕ(x) (обозначим этот факт: ϕn (x) →ϕ(x), n → ∞), если1.
∃ интервал (−a, a) такой, что ∀n: supp ϕn (x) ⊂ (−a, a);2.(k)ϕn (x)[−a,a]⇒ ϕ(k) (x), n → ∞, ∀k = 0, 1, 2, . . ..Данная сходимость не является метрической.Определение 8.2. Правило û, ставящее в соответствие каждойфункции ϕ(x) ∈ D некоторое вещественное число û[ϕ] и удовлетворяющее условию линейностиû[αϕ1 + βϕ2 ] = αû[ϕ1 ] + β û[ϕ2 ], ϕi ∈ D, i = 1, 2; α, β ∈ R,называется линейным функционалом на пространстве D.Альтернативное обозначение для линейного функционала û[ϕ], подчеркивающее его линейность, есть (û, ϕ).Определение 8.3. Линейный функционал û[ϕ], ϕ ∈ D на пространDстве D называется непрерывным, если ∀ϕn → ϕ, n → ∞ имеет местосходимость числовой последовательности û[ϕn ] → û[ϕ], n → ∞.Определение 8.4.
Линейный непрерывный функционал на пространстве D называется обобщенной функцией.Пример 8.2. Пусть функция f (x), x ∈ R интегрируема на любом отрезке числовой прямой (в таком случае она называется локально интегрируемой). ПоложимZ∞(fˆ, ϕ) :=f (x)ϕ(x) dx, ∀ϕ ∈ D.−∞210Обобщенные функцииВвиду финитности основных функций интеграл, очевидно, сходится.Очевидно, что (fˆ, ϕ) — линейный непрерывный функционал.
Даннаяобобщенная функция называется регулярной.В частности, локально интегрируемая функция Хевисайда(0, x < 0Θ(x) =1, x > 0порождает регулярную обобщенную функциюZ+∞Z+∞Θ(x)ϕ(x) dx =(Θ̂, ϕ) =ϕ(x) dx.−∞0Обобщенные функции, не являющиеся регулярными, называются сингулярными. Их мы тоже будем условно записывать в виде: û[ϕ] ≡+∞R(û, ϕ) ≡u(x)ϕ(x) dx, имея в виду под u(x) некоторую неклассиче−∞скую (обобщенную) функцию.Определение 8.5. Обобщенные функции образуют линейное пространство D0 (= пространство, сопряженное к пространству D) относительно операции(αû1 + β û2 )[ϕ] = αû1 [ϕ] + β û2 [ϕ], ∀ϕ ∈ D, α, β ∈ R.Определим в этом пространстве сходимость:D0ûn → û, n → ∞ ⇔ ûn [ϕ] → û[ϕ], n → ∞, ∀ϕ ∈ D.Эта сходимость называется слабой. Она аналогична поточечной сходимости последовательности функций.Пример 8.3.
Наиболее известной сингулярной обобщенной функциейявляется δ̂-функция, определяемая равенствомZ+∞(δ̂, ϕ) =δ(x)ϕ(x) dx := ϕ(0), ∀ϕ ∈ D.−∞Очевидно, что δ̂-функция — линейный непрерывный функционал.Понятие обобщенной функции211Докажем, что δ̂-функция действительно сингулярна. Предположим, что это не так, т.е. существует такая локально интегрируемая (а значит, ограниченная на любом отрезке) функция f (x), чтоZ+∞ϕ(0) = (δ̂, ϕ) =f (x)ϕ(x) dx, ϕ ∈ D.−∞Положим ϕ(x) = ωε (x), ε > 0 (см. пример 8.1). Тогда 0 6 ωε (x) 6ωε (0) = 1/e и¯¯ +∞¯ ¯ ε¯ ¯Z¯¯Z¯¯ ¯¯1= ωε (0) = ¯¯ f (x)ωε (x) dx¯¯ = ¯¯ f (x)ωε (x) dx¯¯ 6e¯¯¯ ¯−ε−∞Zε6|f (x)ωε (x)| dx 6−ε1eZε|f (x)| dx → 0, ε → +0.−εПолученное противоречие доказывает сингулярность δ-функции.Сингулярную обобщенную δ-функцию можно представить различными способами в виде предела в D0 регулярных обобщенных функций.Положим,³´(cε2exp − ε2 −x2 , |x| < ε,δε (x) = ε0, |x| > ε,· 1¸−1¡ 1 ¢RRεгде c := 2 exp − 1−t2 dt .
Ясно, чтоδε (x) dx = 1, поэтому−ε0∀ϕ(x) ∈ D имеем по формуле среднего значения¯ +∞¯ ¯ +∞¯¯Z¯ ¯Z¯¯¯ ¯¯¯ δε (x)ϕ(x) dx − ϕ(0)¯ = ¯ δε (x) (ϕ(x) − ϕ(0)) dx¯ 6¯¯ ¯¯¯¯ ¯¯−∞−∞Zε6Zεδε (x) |ϕ(x) − ϕ(0)| dx = |ϕ(xε ) − ϕ(0)|−εδε (x) dx =−ε= |ϕ(xε ) − ϕ(0)| → 0, ε → +0, где − ε 6 xε 6 ε.Это означает, что0Dδˆε → δ̂, ε → +0.212Обобщенные функцииЗаметим, что поточечный предел(+∞, x = 0,lim δε (x) =ε→+00, x 6= 0классической функцией не является.Задача 8.1.
Доказать, что следующие регулярные обобщенные функции, соответствующие локально интегрируемым функциямµ 2¶1x1x 1 ε√ exp −,sin ,,4επxε π x2 + ε22 πεсходятся в D0 к δ̂-функции при ε → +0.Доказательство. Докажем, что если f (x) > 0, x ∈ R ито ∀ϕ ∈ D справедливо соотношение +∞Z1 xlim f ( )ϕ(x) dx − ϕ(0) = 0,ε→+0ε ε+∞Rf (x) dx = 1,−∞(8.1)−∞D0т.е.
1ε f ( xε ) → δ̂, ε → +0. Тогда требуемое утверждение для функцийµ 2¶1x1 ε√ exp −,4επ x2 + ε22 πεиз условия задачи получится как частный случай.Действительно, пусть ϕ ∈ D. Тогда ∀R > 0 имеемϕ(εt)t∈[−R,R]⇒ϕ(0), ε → +0.Зафиксируем произвольное δ > 0 и выберем R > 0 так, чтоZδ2 sup |ϕ(t)|f (t) dt < .2t∈RR\(−R,R)Тогда для всех достаточно малых ε имеем:¯ ¯ +∞¯ +∞¯¯ ¯Z¯Z¯¯ ¯¯ 1 x¯¯ = ¯ f (t) (ϕ(εt) − ϕ(0)) dt¯ 6¯f()ϕ(x)dx−ϕ(0)¯ ¯¯¯ε ε¯ ¯¯¯−∞−∞Понятие обобщенной функции213¯ R¯ ¯¯¯Z¯ ¯¯¯ ¯6 ¯¯ f (t) (ϕ(εt) − ϕ(0)) dt¯¯ + ¯¯¯ ¯¯−RZR\(−R,R)¯¯¯¯f (t) (ϕ(εt) − ϕ(0)) dt¯ 6¯¯ZR6Zf (t) |ϕ(εt) − ϕ(0)| dt + 2 sup |ϕ(t)|t∈R−Rf (t) dt 6δ δ+ = δ,2 2R\(−R,R)что и влечет (8.1).Для функции1xsinπxεнужно другое доказательство. Аналогично (8.1) нам нужно показать, чтоZ+∞limε→+0−∞1xsin (ϕ(x) − ϕ(0)) dx = 0.πxε(8.2)Но это непосредственно следует из рассуждений, проведенных при доказательстве теоремы 7.2 о представимости функции интегралом Фурье,поскольку интеграл в (8.2) лишь обозначениями отличается от суммыJ + (x, Λ) + J − (x, Λ) → 0, Λ → ∞ в том доказательстве.Обобщенная функция не имеет значения в отдельных точках.
Темне менее можно говорить об обращении в нуль обобщенной функции накаком-то интервале и о носителе обобщенной функции.Определение 8.6. Говорят, что обобщенная функция fˆ обращается внуль на интервале I ⊂ R, если ∀ϕ ∈ D такой, что supp ϕ ⊂ I, выполняется равенство (fˆ, ϕ) = 0. Будем записывать этот факт следующимобразом: fˆ|I = 0.Определение 8.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
