Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 30
Текст из файла (страница 30)
. , yn , 0, 0, 0, . . .} ∈ `2,f,Q и kx−yk2 < ε.Таким образом, `2,f,Q всюду плотно в `2 .Покажем, что `2,f,Q счетно. Пусть `2,f,Q,s := {x | xi = 0, i > s} =sQ ⊂ `2,f,Q . Тогда∞[`2,f,Q :=`2,f,Q,ss=1198Ряды и интегралы Фурьеи поскольку объединение счетного числа счетных множеств счетно, то достаточно доказать счетность множества Qs . Занумеруем элементы счетного множества Q и пусть Qsk — множество sэлементных последовательностей, члены которых находятся средипервых k элементов перенумерованного множества Q. Поскольку чисsло элементов множества Qsk конечно (# (Qsk ) = ks) и Qs = ∪∞k=1 Qk , тоQs счетно.Таким образом, пространство `2 сепарабельно.
Для доказательстватого, что `2 – гильбертово, остается показать, что оно бесконечномерно. Это следует из того, что любая конечная подсистема системыei := {0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .}, i = 1, 2, 3, . . .| {z }i чиселсостоит из линейно независимых элементов.Итак, пространство `2 – гильбертово. В качестве замкнутой системы в нем можно взять систему {ei }∞i=1 .Вопрос для самостоятельного изучения: какова мощность пространства `2 ?Произвольное гильбертово пространство принято обозначать первойбуквой H фамилии Hilbert 11 в рукописном начертании.Теорема 7.6.
Любая полная ортогональная система {ψk }∞k=1 элементов полного евклидова пространства E является замкнутой.Доказательство. При нормировке элементов системы ее полнота(неполнота) и замкнутость (незамкнутость) сохраняются, поэтому, безограничения общности, можно считать систему {ψk }∞k=1 ортонормированной.Пусть ϕ — произвольный элемент пространства E. Достаточно доказать,Pчто ряд Фурье элемента ϕ сходится к этому элементу. ПустьΦn := nk=1 ck ψk , ck = (ϕ, ψk ) — частичная суммаФурье элеменP∞ ряда2та ϕ.
Так как в силу неравенства Бесселя ряд k=1 ck сходится, то при∀m > n имеемà m!mmXXXkΦm − Φn k2 = kck ψk k2 =c k ψk ,ck ψk =k=n+111k=n+1k=n+1Давид Гильберт (1862 – 1943) — немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад вразвитие многих областей математики.Замкнутые и полные ортогональные системы=mX199c2k → 0, при n, m → ∞, m > n.k=n+1Поэтому Φn — фундаментальная последовательность и, в силу полнотыпространства E, существует элемент ϕ0 ∈ E такой, что kΦn − ϕ0 k → 0,n → ∞.Остается доказать, что ϕ0 = ϕ, а для этого достаточно доказать, чтокоэффициенты Фурье элементов ϕ0 и ϕ совпадают, т.к.
тогда элементϕ0 − ϕ будет ортогонален всем элементам ψk и, в силу полноты системы{ψk }∞k=1 , является нулевым. При любом n > k(Φn , ψk ) = (nXl=1cl ψl , ψk ) =nXcl (ψl , ψk ) = ck .l=1С другой стороны, в силу неравенства Коши–Буняковского имеемp|(Φn , ψk ) − (ϕ0 , ψk )| = |(Φn − ϕ0 , ψk )| 6 kΦn − ϕ0 k → 0, n → ∞,откуда вытекает ck = (Φn , ψk ) → (ϕ0 , ψk ), n → ∞, т.е. (ϕ, ψk ) = ck =(ϕ0 , ψk ).Теорема 7.7. В полном бесконечномерном евклидовом пространствеE существует замкнутая система элементов тогда и только тогда,когда оно гильбертово.Доказательство.
Если в полном евклидовом пространстве E есть замкнутая система элементов {ψi }∞i=1 , то любой элемент пространства Eможно приблизить с точностью ε/2 конечной линейной комбинацией элементов {ψi }∞i=1 с вещественными коэффициентами, а ее, в свою очередь,приблизить с точностью ε/2 конечной линейной комбинацией элементов{ψi }∞i=1 с рациональными коэффициентами. Тем самым, конечные линейные комбинации элементов {ψi }∞i=1 с рациональными коэффициентамиобразуют счетное всюду плотное множество (его счетность доказана впримере 7.9) в пространстве E, которое поэтому является гильбертовым.Пусть теперь E — гильбертово пространство.
Возмем в нем счетноевсюду плотное подмножество {χk }∞k=1 и применим к нему процедуру ортогонализации Грама–Шмидта, удаляя по ходу дела из элементов, ещене затронутых ортогонализацией, те, которые являются линейными комбинациями уже построенных конечных ортонормированных семейств. Врезультате мы получим замкнутую систему элементов в пространствеE.200Ряды и интегралы ФурьеТеорема 7.8. Если {ψk }∞k=1 — полная система элементов в евклидовомпространстве E, то два различных элемента f и g этого пространстване могут иметь одинаковые ряды Фурье по этой системе.Доказательство. Если элементы f и g пространства E имеют одинаковые ряды Фурье по системе {ψk }∞k=1 , то их разность f − g имеет нулевыекоэффициенты Фурье, а значит ортогональна всем элементам ψk . Отсюда, в силу полноты системы {ψk }∞k=1 , следует, что f = g.Теорема 7.9.
Любое гильбертово пространство изоморфно пространству `2 .Доказательство. Пусть H — произвольное гильбертово пространство,а {ψk }∞k=1 — произвольная замкнутая система в H. Из вышесказанного следует,P∞ что между элементами∞пространства H и сходящимися рядамивзаимно-однозначноеk=1 ck ψk по системе {ψk }k=1Pсуществует∞соответствие. Но сходимость рядаck ψk эквивалентна по критеk=1P∞2рию Коши сходимости числового рядаk=1 ck . Таким образом, имеется взаимно-однозначное соответствие F между элементами пространства H и последовательностями {ck }∞k=1 из пространства `2 , сохраняющее в силу тождества Парсеваля нормы, а в силу тождества (x, y) =12222 (kx + yk − kxk − kyk ) – и скалярные произведения.Пусть теперь F: Q[−π, π] 7→ `2 — отображение, переводящее функцию из пространства Q[−π, π] в последовательность ее коэффициентовФурье по нормированной тригонометрической системе {ψk }∞k=1 , которая,как будет показано ниже, является замкнутой. В силу тождества Парсеваля отображение F сохраняет нормы элементов, а значит, в силу тождества (x, y) = 21 (kx + yk2 − kxk2 − kyk2 ), справедливого в произвольномевклидовом пространстве, и скалярные произведения.
При этом разнымфункциям f и g из пространства Q[−π, π] сопоставляются разные последовательности коэффициентов Фурье, поскольку эти ряды Фурье сходятся в среднеквадратичном к функциям f и g, норма разности которыхkf −gkQ[−π,π] нулю не равна. Но отображение F изоморфизмом не является, поскольку Q[−π, π] — не полное пространство. Его можно превратитьPв полное пространство, если рассмотреть ряды Фурье ∞k=1 ck ψk , фундаментальныепо норме пространства Q[−π, π] (т.е. те, для которых схоP∞дятся ряды k=1 c2k ), но не имеющие пределов в пространстве Q[−π, π],как новые функции.12 Полученное пополненное пространство L2 [−π, π]изоморфно пространству `2 , а потому полно.12Более явное описание этих функций дается в теории интеграла Лебега.Равномерная сходимость и почленное дифференцирование ряда Фурье7.8201Равномерная сходимость и почленное дифференцирование тригонометрического ряда ФурьеВ данном параграфе мы установим, какие условия на функцию f (x)обеспечивают равномерную сходимость ее ряда Фурье на [−π, π] и какиеусловия позволяют дифференцировать ряд Фурье почленно.Теорема 7.10.
Пусть1. функция f (x) непрерывна на [−π, π], и f (π) = f (−π);2. функция f (x) имеет на [−π, π] кусочно-непрерывную производную.Тогда тригонометрический ряд Фурье функции f (x) сходится к нейравномерно и абсолютно на [−π, π].13Доказательство. В силу непрерывности 2π-периодического продолжения функции f (x) на вещественную прямую и ее кусочной гладкости изтеоремы 7.1 следует поточечная сходимость ряда Фурье функции f (x) кней.
Поэтому для частичной суммы Sn (x), n > 1 ряда Фурье∞a0 X+(ak cos kx + bk sin kx)2k=1функции f (x) справедливо следующее соотношениеf (x) − Sn (x) =∞X(ak cos kx + bk sin kx),k=n+1откуда для доказательства теоремы достаточно установить сходимостьчислового ряда∞X(|ak | + |bk |).k=1Обозначим через αk и βk коэффициенты Фурье кусочно-непрерывнойфункции f 0 (x):1αk =π13Zπ−π1f 0 (x) cos kx dx, βk =πZπf 0 (x) sin kx dx.−πОтличие от условий теоремы о поточечной сходимости ряда Фурье состоит в условии 1.202Ряды и интегралы ФурьеИз неравенства Бесселя для коэффициентов ФурьеP∞ кусочнонепрерывной функции (см.
пример 7.8) получаем, что ряд k=1 (αk2 + βk2 )сходится. Интегрируя по частям, получаем в силу f (π) = f (−π):¯πZπ¯11αk = cos kxf (x)¯¯ + kf (x) sin kx dx = kbk ,ππ−π−πоткуда |bk | =∞X|αk |k .Аналогично, |ak | =(|ak | + |bk |) =k=1|βk |kи¶∞ µX11 22(|αk | + |βk |) 6+ (α + βk ) ,kk2 2 k∞X1k=1(7.17)k=1где мы воспользовались очевидными неравенствамиµµ¶¶11 111 122|αk | 6+ αk , |βk | 6+ βk .k2 k2k2 k2Поскольку ряд в правой части (7.17) сходится, то сходится и рядP∞k=1 (|ak | + |bk |), что достаточно для доказательства теоремы.Теорема 7.11. Пусть1. функция f (x) и ее производные до m-ого порядка непрерывны на[−π, π] и f (k) (π) = f (k) (−π), k = 0, 1, .
. . , m;2. функция f (m+1) (x) кусочно-непрерывна на [−π, π].Тогда тригонометрический ряд Фурье∞a0 X+(ak cos kx + bk sin kx)2(7.18)k=1функции f (x) можно m раз дифференцировать почленно на [−π, π],т.е.∞ ³³³Xπ ´´π´l(l)l+ bk k sin kx + l, l = 1, 2, . . . , m.f (x) =ak k cos kx + l22k=1(7.19)Доказательство. Обозначим через αk и βk коэффициенты Фурьекусочно-непрерывной функции f (m+1) (x):1αk =πZπ−π1f (m+1) (x) cos kx dx, βk =πZπf (m+1) (x) sin kx dx.−πРавномерная сходимость и почленное дифференцирование ряда Фурье203Интегрируя m + 1 раз по частям, получаем в силу первого условиятеоремы:|αk | + |βk | = k m+1 (|ak | + |bk |),(7.20)где ak и bk — коэффициенты Фурье функции f (x). Отсюда∞Xk=1mk (|ak | + |bk |) =∞X1k=1k(|αk | + |βk |).(7.21)Сходимость ряда в правой части равенства (7.21) доказывается как впредыдущей теореме.
Числовой ряд в левой части (7.21) мажорируетфункциональный ряд (7.19) при l = 1, 2, . . . , m, поэтому по признаку Вейерштрасса ряд (7.19) сходится равномерно на [−π, π] для l =1, 2, . . . , m. Отсюда по теореме о почленном дифференцировании функционального ряда следует, что ряд (7.18) можно m раз дифференцировать почленно на [−π, π].Следствие 7.2. В условиях теоремы 7.11 для коэффициентов ряда Фурье функции f (x) справедлива оценк൶µ¶11ak = o, bk = o, k → ∞,k m+1k m+1которая следует из равенства (7.20) и того, что |αk |, |βk | → 0 приk → ∞.Пример 7.10.1.
Пусть f (x) = (x2 − π 2 )2 , −π 6 x 6 π. Тогдаf (−π) = f (π) = 0,f (x) = 4x(x2 − π 2 ), f 0 (−π) = f 0 (π) = 0,f 00 (x) = 4(x2 − π 2 ) + 8x2 , f 00 (−π) = f 00 (π) = 8π 2 ,f 000 (x) = 24x, f 000 (−π) = −24π, f 000 (π) = 24π,0и поэтому для третьей производной функции f (x) первое условие теоремы нарушено.
Поэтому к данной функции теорема 7.11применима при m = 2 и ряд Фурье функции f (x) можно два разадифференцировать почленно на [−π, π].Если вычислить ряд Фурье данной функции, то можно убедиться, что в точках интервала (−π, π) его можно дифференцироватьпочленно трижды.204Ряды и интегралы Фурье2. f (x) = sin(cos x).Для данной функции условия теоремы 7.11 выполнены ∀m ∈ N,поэтому соответствующий ряд Фурье можно дифференцироватьпочленно любое число раз, а для его коэффициентов Фурье справедливы асимптотикиµ ¶1ak , bk = o, k → ∞, ∀l ∈ N.kl7.9Равномерная аппроксимация непрерывной функции тригонометрическими и алгебраическимимногочленамиОпределение 7.10. Тригонометрическими многочленами будем называть 2l-периодические функции видаn ³Xπ ´πTl (x) = A0 +Ak cos kx + Bk sin kx .llk=1Теорема 7.12 (Вейерштрасс).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
