Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Вчастности, если f (x) задана на [0, π], то ее можно продолжить на [−π, 0]как четным, так и нечетным образом, и представить на сегменте [0, π]как в виде ряда по косинусам, так и в виде ряда по синусам. Вспомнимпримеры из предыдущего параграфа:x=2∞X(−1)n+1nn=1sin nx, 0 6 x < π,∞π 4 X cos(2k − 1)xx= −, 0 6 x 6 π.2 π(2k − 1)2k=1Поскольку функция x после периодического продолжения с сегмента[−π, π] на R имеет разрывы в точках πk, k ∈ Z, то первый из этих рядов сходится неравномерно. В то же время, по признаку Вейерштрасса,второй ряд сходится равномерно на R.Вся изложенная теория переносится на случай равенства периодаπфункции f (x) величине 2` заменой x → x. Ортогональную тригоно`метрическую систему на сегменте [−`, `] образуют функции:πnxπnx1, cos, sin, n ∈ N.``Ряд Фурье функции f (x) по этой системе функций имеет вид:a0 X ³πnxπnx ´f (x) =+an cos+ bn sin,2``n=1∞где1an =`Z`πnx1f (x) cosdx, n ∈ {0} ∪ N, bn =```7.3Z`f (x) sinπnxdx, n ∈ N.``Комплексная форма ряда ФурьеВместо системы периодических функций1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, .

. . , cos nx, sin nx, . . .можно рассмотреть систему комплексных экспонент exp inx, n ∈ Z, удобную тем, что в этой системе нет разделения функций на два типа и всеИнтеграл Фурье185формулы единообразны. Поскольку связь между этими системами¢¢1 ¡ inx1 ¡ inxeinx = cos nx+i sin nx, cos nx =e + e−inx , sin nx =e − e−inx22iзатрагивает только n-ые гармоники, то все утверждения, касающиесясходимости рядов Фурье по косинусам и синусам, справедливы и длярядов по экспонентам.Для нахождения коэффициентов Фурье по системе экспонент умножим ряд Фурье∞Xf (x) =cn einxn=−∞на e−imx и проинтегрируем от −π до π.

Ввиду очевидной формулы(Zπ0, n 6= m,einx e−imx dx =2π, n = m−πполучим1cn =2πZπf (x)e−inx dx.(7.6)−πЭтот способ нахождения формул для коэффициентов Фурье предполагает возможность переставить суммирование и интегрирование. Однако к тем же формулам (7.6) можно прийти несколько более долгимпутем, используя формулы (7.2), (7.3) и связь между экспонентами einxи функциями cos nx, sin nx.7.4Интеграл ФурьеРассмотрим ряд Фурье функции f (x) на [−l, l]:ππ ´a0 X ³+ak cos kx + bk sin kx .2llm(7.7)k=1Частоты λk = πl k гармоник этого ряда образуют бесконечно большуюпоследовательность, причем разность πl двух соседних частот тем меньше, чем больше l, т.е.

с увеличением l соседние частоты становятся всеближе друг к другу. В пределе l → ∞ получается разложение функцииf (x) по гармоникам с непрерывно изменяющейся частотой λ от 0 до ∞,а ряд Фурье переходит в так называемый интеграл Фурье.186Ряды и интегралы ФурьеПолучим сначала с помощью нестрогих рассуждений выражение дляинтеграла Фурье. Подставляя выражение для коэффициентов Фурье вряд (7.7), преобразуем его к виду12lZl−l=12lZl−l∞1X πf (t) dt +π n=1 |{z}l∆λnZlf (t) cos−lπn(t − x) dt =l|{z}λn lZ∞1 Xf (t) dt +f (t) cos λn (t − x)dt ∆λn .π n=1(7.8)−lБудем считать, что функция f (x) абсолютно интегрируема на всейR∞числовой прямой, т.е.

несобственный интеграл|f (x)|dx сходится. Пе−∞рейдем к пределу при l → +∞. Тогда первое слагаемое в (7.8) стремитсяк нулю, а второе переходит в следующее выражение для интеграла ФурьеZ+∞ Z+∞1dλf (t) cos λ(t − x)dt.π0−∞Получим теперь условия представимости функции f (x) интегралом Фурье.Теорема 7.2. Пусть функция f (x), x ∈ R является кусочно-гладкойна любом сегменте числовой прямой и абсолютно интегрируема на R.Тогда справедливо равенство11[f (x + 0) + f (x − 0)] =2πZ+∞Z+∞dλ0f (t) cos λ(t − x)dt.(7.9)−∞Доказательство.

Согласно определению несобственного интеграла, намнужно доказать равенство1lim SΛ := limΛ→+∞Λ→+∞ πZΛ Z+∞[f (t) cos λ(t − x)dt] dλ =(7.10)0 −∞=1[f (x + 0) + f (x − 0)] .2Интеграл Фурье187По признаку Вейерштрасса в силу абсолютной интегрируемости функции f (x) на R внутренний интеграл в левой части равенства (7.10) сходится равномерно по λ > 0. Поэтому в силу результата главы 6 можнопоменять порядок интегрирования в (7.10) и получить ΛZ+∞Z1SΛ (x) =f (t)  cos λ(t − x)dλ dt =π−∞1=π1=πZ0−∞−∞0¸Z+∞sin Λ(t − x)1sin Λξf (t)dt =f (x + ξ)dξ =t−x=:ξ πt−xξZ+∞·−∞1sin Λξdξ +f (x + ξ)ξπZ+∞sin Λξf (x + ξ)dξ := SΛ− (x) + SΛ+ (x).ξ0В силу равенстваZ+∞0π, Λ > 0,2sin Λξdξ := 0, Λ = 0,ξ− π , Λ < 02получаем11SΛ+ (x) − f (x + 0) =2π11SΛ− (x) − f (x − 0) =2πZ+∞0Z0−∞f (x + ξ) − f (x + 0)sin Λξ dξ =: J + (x, Λ),ξf (x + ξ) − f (x − 0)sin Λξ dξ =: J − (x, Λ).ξДля доказательства теоремы нам достаточно доказать, чтоJ (x, Λ), J − (x, Λ) → 0, Λ → ∞.(x+0)является кусочно-непрерывной при ξ >Хотя функция f (x+ξ)−fξ0, мы не можем просто применить лемму 7.4, поскольку J + (x, Λ) иJ − (x, Λ) являются несобственными интегралами первого рода.Чтобы обойти эту трудность, представим J + (x, Λ) в виде+1J + (x, Λ) =πZA0f (x + ξ) − f (x + 0)sin Λξ dξ+ξ188Ряды и интегралы ФурьеZ+∞Z+∞1sin Λξf (x + 0)sin Λξ+f (x + ξ)dξ −dξ =: J1+ + J2+ + J3+ ,πξπξAAгде A > 0.Зададим произвольное ε > 0 и возмем A > 1 столь большое, чтобывыполнялось неравенство¯ +¯ 1¯J ¯ 62π¯¯Z+∞Z+∞¯ sin Λξ ¯ε¯ dξ 6 1|f (x + ξ)| · ¯¯|f (x + ξ)| dξ < .¯ξπ3AA¯¯¯ sin Λξ ¯¯6Это возможно, поскольку интеграл|f (x + ξ)| dξ сходится и ¯¯¯ξ01 при ξ > A > 1.

Зафиксируем это значение A.В¯ силу леммы 7.4, J1+ → 0 при Λ → +∞, и поэтому ∃ Λ1 такое, что¯ +¯J ¯ < ε при Λ > Λ1 .13Наконец,Z+∞Z+∞sin Λξsin tdξ =dtΛξ=tξt+∞RAи т.к.+∞R0sin ttΛA¯ ¯dt сходится, то ∃ Λ2 такое, что ¯J3+ ¯ <ε3при Λ > Λ2 .Следовательно, при Λ > max(Λ1 , Λ2 ) справедливо:ε ε ε|J + (x, Λ)| 6 |J1+ | + |J2+ | + |J3+ | < + + = ε,3 3 3а это и означает, что J + (x, Λ) → 0 при Λ → +∞.Аналогично доказывается, что J − (x, Λ) → 0 при Λ → +∞.Замечание 7.1. Условия, вывод и доказательство этой теоремы похожи на условия, вывод и доказательство теоремы о поточечной сходимости ряда Фурье.7.5Преобразование ФурьеПусть выполнены условия теоремы 7.2.

Поскольку функцияZ+∞f (t) cos λ(x − t)dt−∞Преобразование Фурье189относительно λ является четной, а функцияZ+∞f (t) sin λ(x − t)dt−∞— нечетной, то по формуле Эйлера получаем1v. p.2π=12πZ+∞dλ−∞Z+∞Z+∞−∞Z+∞−∞f (t) cos(λ(x − t))dt+−∞Z+∞Z+∞dλ−∞f (t) sin(λ(x − t))dt =−∞Z+∞dλ0f (t) exp(iλ(x − t))dt =dλi+ v. p.2π1=πZ+∞f (t) cos(λ(x − t))dt + 0 =−∞1[f (x + 0) + f (x − 0)] .2Для непрерывной функции f (x) эту формулу можно записать в видедвух очень похожих формул:1F : f (x) → F [f ](λ) ≡ fˆ(λ) := √2πZ+∞f (t)e−iλt dt−∞— прямое преобразование Фурье иF −11: fˆ(λ) → F −1 [fˆ](x) ≡ f (x) := v. p. √2πZ+∞fˆ(λ)eiλx dλ−∞— обратное преобразование Фурье.Функция fˆ(λ) называется Фурье-образом функции f (x), а функцияf (x) — оригиналом функции fˆ(λ).Если непрерывная функция f (x) задана лишь при x > 0, то продолжая ее четным или нечетным образом на всю числовую ось, получаемкосинус-преобразование Фурье:r Z∞2f (x) → fˆc (λ) :=f (t) cos λt dt,π0190Ряды и интегралы Фурьеrfˆc (λ) → f (x) =Z+∞2fˆc (λ) cos λx dλ, x > 0π0и синус-преобразование Фурье:r Z∞2f (x) → fˆs (λ) :=f (t) sin λt dt,πrfˆs (λ) → f (x) =02πZ+∞fˆs (λ) sin λx dλ, x > 0.0Заметим, что при x = 0 последний интеграл равен нулю, независимоот справедливости равенства f (0) = 0.7.6Понятие общего ряда ФурьеТригонометрический ряд Фурье является частным случаем разложенияэлемента бесконечномерного евклидова пространства по счетной системеэлементов этого пространства.Определение 7.3.

Последовательность {ψn }∞n=1 ненулевых элементовевклидова пространства E называется ортогональной системой, еслиее элементы попарно ортогональны. Ортогональная система называется ортонормированной, если нормы всех ее элементов равны 1.Пример 7.6. В пространстве Q[−π, π] нормированная тригонометрическая система11111√ , √ cos x, √ sin x, . .

. , √ cos nx, √ sin nx, . . .ππππ2πявляется ортонормированной.Пример 7.7. Еще один пример ортогональной системы в пространстве Q[−1, 1] дают полиномы Лежандра7¤1 dn £ 2nPn (x) = n(x−1), n = 0, 1, 2, . . .2 n! dxnqСистема ψn (x) := 2n+12 Pn (x) является ортонормированной системойв пространстве Q[−1, 1].7Лежандр Андриен Мари (1752–1833) — французский математик.Понятие общего ряда Фурье191Ортогональность этой системы устанавливается просто: если n >m, то, интегрируя по частям, получаемZ1Z1n+m £¤(−1)n 12n d2mPn (x)Pm (x)dx = n(x−1)(x−1)dx = 0,2 n! 2m m!dxn+m−1−1£¤dпоскольку n+m (x2 − 1)m = 0.dxНормировочный множитель можно вычислить, пользуясь ужеимеющимися у нас знаниями о B и Γ функциях.

Действительно,¶ nZ1 µ nZ12ndd2n2nn2n d(x − 1)(x − 1) dx = (−1)(x − 1)(x2 − 1)n dx =dxndxndx2nn+m−1−1Z1Z2x=t−1t=2v(x2 − 1)n (2n)! dx = (−1)n (2n)!= (−1)n−1tn (t − 2)n dt =0Z1t=2vv n (1 − v)n dv = (2n)! 22n+1 B(n + 1, n + 1) == (2n)! 22n+10+ 1)Γ(n + 1)(2n n!)2= (2n)! 2=2.Γ(2n + 2)2n + 1Пусть в евклидовом пространстве E задана ортогональная система{ψk }∞ck , k =k=1 и пусть f ∈ E. Попробуем подобрать коэффициентыPn1, . . . , n так, чтобы конечная линейная комбинация k=1 ck ψk приближала бы элемент f наилучшим (в смысле нормы) в E образом:nnnnXXXX2kck ψk − f k = (ck ψk − f,c k ψk − f ) =c2k (ψk , ψk )−2n+1 Γ(nk=1nXk=1n µXk=1¶2k=1n µX¶2(f, ψk )(f, ψk )−2ck (f, ψk ) + (f, f ) =ck kψk k −−+ kf k2 .kψk kkψk kk=1k=1k=1PОтсюда видно, что величина k nk=1 ck ψk − f k2 принимает минимальное(f, ψk ).

Величины fkзначение тогда и только тогда, когда ck = fk :=kψk k2называются коэффициентами Фурье элемента f по системе {ψk }∞k=1 .Определение 7.4. Рядом Фурье Pэлемента f ∈ E по ортогональной∞∞системе {ψk }k=1 называется ряд ∞k=1 fk ψk . Если система {ψk }k=1 –ортонормированная, то fk = (f, ψk ).192Ряды и интегралы ФурьеРяд Фурье является обобщением разложения по ортогональному базису элементов конечномерного евклидова пространства.Очевидно, что при нормировке элемента ψk меняются ψk и fk , но неих произведения, т.е.

Характеристики

Список файлов лекций