Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Так какp0rM P = (x1 − x)2 + (y1 − y)2 + (z1 − z)2 ,Кратные интегралы, зависящие от параметровтоОтсюда,∂ρ(P )∂x1µ¶1rM 0 P∂∂x1µ1¶rM 0 P∂= −ρ(P )∂xµ169∂=−∂x1¶rM 0 Pµ1rM 0 P¶.∂ρ1∂=(P )−∂xrM 0 P∂xµ¶ρ(P ).rM 0 PТаким образом,µ¶ZZZZZZ∂ρ∂∂u1110ρ(P )(M ) =dVP =(P )dVP −∂x1∂x1 rM 0 P∂xrM 0 PδBMZZZ−δBM∂∂xµρ(P )rM 0 PδBM¶dVP =: I1 (M 0 ) − I2 (M 0 ).Несобственный интеграл I1 (M 0 ) такого же типа, как функция u(M 0 ),∂ρтолько вместо ρ(P ) стоит ∂x(P ). Следовательно, I1 (M 0 ) имеет непрерывные частные производные первого порядка, которые можно вычислятьдифференцированием под знаком интеграла и, ввиду сходимости несобственного интеграла, модули этих производных сколь угодно малы придостаточно малом δ > 0.Для несобственного интеграла I2 (M 0 ) справедливы следующие равенства, второе из которых следует из формулы Остроградского–Гаусса,µ¶ZZZZZ³´ρ(P )∂ ρ(P )0\dVP = lim cos n(P ), i dσP +I2 (M ) = limε→0ε→0∂x rM 0 PrM 0 Pδ \B εBMM0ZZ+εSM0т.к.δSMZZ³´³´ρ(P )ρ(P )\\cos n(P ), i dσP  =cos n(P ), i dσP ,rM 0 PrM 0 PδSM¯¯¯Z Z¯¯¯ C ZZ³´ρ(P )¯¯\cos n(P), i dσP ¯ 6dσP = 4πCε → 0, ε → 0,¯¯¯rM 0 Pε¯S ε 0¯Sε 0MMδεгде n(P ) — поле нормалей на поверхности SM∪ SM0 , внешних по отноδεшению к области BM \BM 0 .

Таким образом, интеграл I2 (M 0 ) выражаетсячерез поверхностный собственный интеграл, если точка M 0 лежит строго170Кратные несобственные интегралы, зависящие от параметровδвнутри сферы SM, поэтому частные производные функции I2 (M 0 ) можновычислять под знаком интеграла.Тем самым, мы доказали существование непрерывных частных производных∂ 2u∂ 2u∂ 2u00(M ),(M ),(M 0 )2∂x1∂y1 x1∂z1 x10ньютоновского потенциала u(M ) = u1 (M 0 )+u2 (M 0 ).

Совершенно аналогично доказывается существование и непрерывность и остальных частных производных второго порядка у ньютоновского потенциала.Остается доказать, что ньютоновский потенциал u(M 0 ) = u1 (M 0 ) +u2 (M 0 ) удовлетворяет уравнению Пуассона. Поскольку уже доказано,что функция u2 (M 0 ) – гармоническая, достаточно доказать, что ему удовлетворяет функция u1 (M 0 ). Имеем:ZZ³´ ∂ µ 1 ¶∂I20\(M ) =ρ(P ) cos n(P), idσP =∂x1∂x1 rM 0 PSδZ MZ=δSMоткуда³´x−x1\ρ(P ) cos n(P ), idσP3rM0P¯ZZ³´x−x¯∂I200 ¯\(M )¯=ρ(P ) cos n(P ), idσP =3∂x1rM PM 0 =MδSMZZZZ³´³´1ρ(P )22\\cos n(P ), i dσP = 2ρ(P ) cos n(P ), i dσP .2rMδP=δSMδSMСледовательно,1∆u1 (M ) = − 2δ+ cos2³ZZ³ρ(P ) cos2³´³´2\\n(P ), i + cos n(P ), j +δSMZZ´´1\ρ(P ) dσP + J(δ),n(P), kdσP + J(δ) = − 2δ(6.23)δSMгде функция J(δ) содержит члены, аналогичные частным производнымпервого порядка от I1 (M 0 ), и J(δ) → 0 при δ → 0.

Переходя теперь в(6.23) к пределу при δ → 0, окончательно получаем по формуле среднегозначения:∆u(M ) = ∆u1 (M ) = −4πρ(M ).Кратные интегралы, зависящие от параметров171Глава 7Ряды и интегралы ФурьеПериодические процессы играют огромную роль в нашей жизни. Достаточно упомянуть три самых важных периодических процесса космического происхождения: вращение Земли по своей орбите (период год), вращение Земли вокруг своей оси (период сутки), вращение Луны и Земливокруг общего центра масс (период месяц).

Конечно, эти процессы периодичны лишь приближенно, но многие периоды жизнедеятельностиживых существ на Земле происходят из этих трех периодических процессов.Математическая идея рядов Фурье1 состоит в том, чтобы разложитьпериодическую функцию на такие периодические слагаемые, напримертригонометрические функции, с которыми оперировать проще, чем с исходной функцией.7.1Тригонометрические ряды ФурьеОпределение 7.1. Функция f (x), x ∈ R называется периодической,если существует число T > 0 такое, что f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ R.Наименьшее число T , для которого верно это тождество, называетсяпериодом функции f .Простейшие непостоянные периодические функции — это sin x и cos x.Их период равен 2π.

Из них можно составить последовательность периодических функций1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx, . . .1Фурье Жан Батист Жозеф (1768–1830) — французский математик. Его не следует путать сФрансуа Мари Шарлем Фурье (1772–1837) — французским социалистом-утопистом.172Тригонометрические ряды Фурье173Эта последовательность называется тригонометрической системой, афункции cos nx, sin nx — n-ыми гармониками. В данной главе мы изучим вопрос представимости данной периодической функции в виде (бесконечной) линейной комбинации функций тригонометрической системыс постоянными коэффициентами.Будут установлены достаточные условия, при выполнении которыхфункцию f (x) можно представить в виде ряда∞a0 Xf (x) =+(an cos nx + bn sin nx) , an , bn ∈ R.2n=1(7.1)Равенство (7.1) называется разложением функции f (x) в тригонометрический ряд Фурье, а коэффициенты an , bn — коэффициентами Фурьефункции f (x).

Выведем формулы, по которым вычисляются коэффициенты Фурье данной функции. С этой целью предварительно отметимважное свойство тригонометрической системы — ее ортогональность вевклидовом пространстве Q[−π, π] (вместо сегмента [−π, π] можно взятьлюбой другой сегмент длины 2π). Действительно:ZπZπ1(1 + cos 2nx)dx = π,cos2 nx dx =2−πZπsin2 nx dx =−πZπ12−πZπ(1 − cos 2nx)dx = π,−πZπ1 · cos nx dx = 0,−πZπcos nx cos mxdx =−π1 · sin nx dx = 0,−π12Zπ(cos((n + m)x) + cos((n − m)x)dx = 0,−πn 6= m,Zπsin nx sin mxdx =−π12Zπ(cos((n − m)x) − cos((n + m)x)dx = 0,−πn 6= m,Zπ−π1cos nx sin mxdx =2Zπ(sin((n + m)x) + sin((m − n)x)dx = 0,−π174Ряды и интегралы Фурье∀n, m.Предположим, что ряд Фурье в правой части (7.1) можно интегрировать почленно.

Интегрируя от −π до π, получимππZπZπZZ∞Xa0an cos nxdx + bn sin nxdx = a0 π.f (x)dx =dx +2n=1−π−π−πОтсюда,1a0 =π−πZπf (x)dx.−πУмножим теперь равенство (7.1) на cos kx и снова проинтегрируем от −πдо π. Учитывая ортогональность тригонометрической системы, получимZπZπZπakf (x) cos kxdx = akcos2 kxdx =(1 + cos 2kx)dx = ak π,2−π−π−πоткуда1ak =πZπf (x) cos kxdx.(7.2)−πАналогично, умножая равенство (7.1) на sin kx и интегрируя от −π доπ, находимZπ1bk =f (x) sin kxdx.(7.3)π−πТеперь, после того как мы нашли формулы для коэффициентов Фурье, мы можем для данной функции f (x) вычислить эти коэффициенты,составить ряд Фурье и исследовать вопрос о сходимости этого ряда Фурье к функции f (x). Заметим, что если ряд Фурье сходится к функцииf (x) на сегменте [−π, π], то поскольку коэффициенты Фурье учитываютзначения функции только на сегменте [−π, π], вне этого сегмента рядФурье будет сходится к периодическому продолжению функции f (x) ссегмента [−π, π].Пример 7.1.

f (x) = x, −π 6 x 6 π.ZπZπZπ111a0 =xdx = 0; an =x cos nxdx = 0; bn =x sin nxdx =πππ−π−π−πТригонометрические ряды Фурье=−2nπ175Zπxd(cos nx) = −02 x cos nx|π0 −nπZπcos nxdx =022(−1)n+1n= − π cos πn = − (−1) = 2.nπnnТаким образом, ряд Фурье для функции x есть2∞X(−1)n+1nn=1sin nx.(7.4)В следующем параграфе будет доказано, что этот ряд сходится кфункции x при x ∈ (−π, π).Пример 7.2. f (x) = |x|, −π 6 x 6 π.ZπZπZπ112xd sin nx =a0 =|x|dx = π; an =|x| cos nxdx =πππn−π0 −ππ¯πZ¯2 22π=x sin nx|0 − sin nxdx = 2 cos nx¯¯ =[(−1)n − 1] =2πnnππn00(Zπ− n42 π , n = 2k − 1, k = 1, 2, . .

.1=bn =|x| sin nxdx = 0.π0, n = 2k,−πТаким образом, ряд Фурье для функции |x| есть∞π 4 X cos(2k − 1)x−.2 π(2k − 1)2(7.5)k=1В следующем параграфе будет доказано, что этот ряд сходится кфункции |x| при x ∈ [−π, π].При x = 0 получим сумму обратных квадратов нечетных чисел∞Xk=1π21= .(2k − 1)28При 0 6 x < π функция f (x) = x представима как рядом (7.4), так ирядом (7.5).1767.2Ряды и интегралы ФурьеПоточечнаяряда ФурьесходимостьтригонометрическогоНам потребуется одно простое свойство периодических функций.Лемма 7.1. Если интегрируемая на любом конечном сегменте вещественной оси функция f (x) периодична с периодом T , то ∀a ∈ R справедливо равенствоa+TZZTf (x)dx = f (x)dx.a0Доказательство.Z0a+TZf (x)dx =aНоZTf (x)dx +aa+TZZaПоэтомуf (x)dx =aRTTZ0f (T + t)dt = −0Tf (x)dx.f (x)dx +0f (x)dx =a+TRa+TZf (t)dt.af (x)dx, что и нужно.0Определение 7.2.

Кусочно-непрерывная на сегменте [a, b] функцияf (x) называется кусочно-гладкой на этом сегменте, если ее производная f 0 (x) существует и непрерывна всюду на [a, b], за исключением,может быть, конечного числа точек, в которых существуют конечные правый и левый пределы функции f 0 (x).Правый и левый пределы функции f 0 (x) в точке x0 будем обозначатьf 0 (x0 + 0) и f 0 (x0 − 0). Следует отличать эти пределы от левой и правойпроизводной в точке x0 :f (x) − f (x0 ) 0f (x) − f (x0 ), fl (x0 ) = lim.x→x0 +0x→x0 −0x − x0x − x0Пример 7.3. Рассмотрим функцию(x2 sin x1 , x 6= 0,.f (x) =0, x = 0fr0 (x0 ) = limДля нее f 0 (0) = 0, и поэтому fr0 (x0 ) = fl0 (x0 ) = 0.

Характеристики

Список файлов лекций