Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Рассмотриминтегралы от неотрицательных функций. Рассмотрение интегралов отнеположительных функций совершенно аналогично.Теорема 5.9 (критерий сходимости несобственного интеграла от неотрицательной неограниченной функции с одной особой точкой по ограниченной области евклидовой плоскости). Пусть функция f (M ), M ∈ Ωнеотрицательна и пусть последовательность δn0 монотонно убывает кнулю. Тогда для сходимости интеграла (5.8) необходимо и достаточно,чтобы числовая последовательностьZZIn :=f (M ) dσ, n = 1, 2, 3, . .
.(5.10)Ω\Kδn0была ограниченной.Доказательство. Необходимость условия теоремы сразу вытекает изопределения сходимости интеграла (5.8), поскольку если интеграл (5.8)сходится, то сходится и последовательность (5.10), а значит, она ограничена.Достаточность. Пусть последовательность (5.10) ограничена. Ввидумонотонного убывания последовательности δn0 к нулю, последователь0,ность областей Ω\Kδn0 монотонно расширяется, т.е. Ω\Kδn0 ⊂ Ω\Kδn+1n = 1, 2, 3, .
. .. Поэтому в силу неотрицательности функции f (M ) последовательность (5.10) является неубывающей, а раз она ограничена, тосходится к некоторому пределу J. Нам остается доказать, что при любом выборе последовательности ωδn , δn → 0, n → ∞ стягивающихся кточке M0 областей соответствующая последовательность интеграловZZJn :=f (M ) dσ, n = 1, 2, 3, . . .(5.11)Ω\ωδnсойдется к тому же пределу J. Заметим, что при любом достаточно боль00шом n для области ωδn можно найти такие круги Kδp(n)и Kδq(n), чтобыимело место включение00Kδq(n)⊂ ωδn ⊂ Kδp(n)Кратные несобственные интегралы13100и чтобы радиусы δp(n)и δq(n)этих кругов стремились к нулю при n → ∞.Тогда имеет место включение00⊂ Ω\ωδn ⊂ Ω\Kδq(n),Ω\Kδp(n)из которого, в силу неотрицательности функции f (M ), вытекает неравенствоZZZZZZf (M ) dσ 6f (M ) dσ 6f (M ) dσ.Ω\Kδ0p(n)Ω\ωδnΩ\Kδ0q(n)Крайние интегралы в этом двойном неравенстве стремятся к J при n →∞.
Значит иZZlimf (M ) dσ = J.n→∞Ω\ωδnВ соответствии со следующей теоремой последовательность кругов вусловии теоремы 5.9 можно заменить на произвольную последовательность ωδn , δn → 0, n → ∞ стягивающихся к точке M0 областей.Теорема 5.10. Пусть функция f (M ), M ∈ Ω неотрицательна и пустьωδn , δn → 0, n → ∞ — произвольная последовательность стягивающихся к точке M0 областей. Тогда для сходимости интеграла (5.8)необходимо и достаточно, чтобы числовая последовательностьZZLn :=f (M ) dσ, n = 1, 2, 3, . . .(5.12)Ω\ωδnбыла ограниченной.Доказательство. Необходимость условия теоремы устанавливаетсятак же, как и при доказательстве предыдущей теоремы.Для доказательства достаточности возмем какую-нибудь монотонностремящуюся к нулю последовательность δn0 и докажем, что последовательность (5.10) ограничена.
Тогда применение теоремы 5.9 завершитдоказательство.Ввиду δm → 0 при m → ∞ для любого n ∈ N найдется такое m, чтобудет иметь место включениеωδm ⊂ Kδn0 ,132Несобственные интегралыоткудаΩ\Kδn0 ⊂ Ω\ωδm ,и, ввиду неотрицательности функции f (M ), получимZZZZf (M ) dσ 6f (M ) dσ.Ω\ωδmΩ\Kδn0В силу ограниченности последовательности (5.12) отсюда и следует ограниченность последовательности (5.10).Пример 5.13. Докажем, что интегралZZpCdxdy, где C = const > 0, α = const, r = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ,rαΩ(5.13)по ограниченной области Ω, содержащей внутри себя точку M0 (x0 , y0 ),сходится при α < 2 и расходится при α > 2.В соответствии с замечанием 5.4 интеграл (5.13) по области Ωможно заменить интегралом по какой-либо ее подобласти Ω0 , содержащей внутри себя точку M0 .
В качестве такой подобласти возмемкруг KR с центром в точке M0 и достаточно малым радиусом R иисследуем интегралZZCdxdy.(5.14)rαKRДля этого возмем какую-либо монотонно стягивающуюся последовательность круговKR ⊃ Kδ1 ⊃ Kδ2 ⊃ . . . 3 M0 , где δn → 0 при n → +∞,и рассмотрим интегралZZCdxdy.rαKR \KδnПереходя к полярным координатам, получаем¯r=Rr2−α ¯¯ZZZ2π ZRпри α 6= 2,CC¯2−αdxdy=dϕrdr=2πCr=δnrαrα ln r|r=R при α = 2.0δnKR \Kδnr=δn(5.15)При α < 2 правая часть (5.15) стремится к конечному пределу приn → ∞, а при α > 2 она неограничена, что и доказывает требуемое.Кратные несобственные интегралы133Аналогично в n-мерном евклидовом пространстве интегралZZCdx1 · .
. . · dxn , где C = const > 0, α = const,rαΩqr = (x1 − x01 )2 + . . . (xn − x0n )2 ,по ограниченной области Ω, содержащей внутри себя точкуM0 (x01 , . . . , x0n ), сходится при α < n и расходится при α > n. Такимобразом, значение степени, равное значению размерности пространства,является критическим для сходимости интеграла от обратной степенирасстояния до фиксированной точки.5.6.3Абсолютная сходимостьRRОпределение 5.8. Интегралf (M ) dσ называется абсолютно схоΩRRдящимся, если сходится интеграл|f (M )| dσ.ΩТеорема 5.11.
Если интегралRRf (M ) dσ сходится абсолютно, то онΩсходится.3Доказательство.RRRR Заметим, прежде всего, что если интегралыf1 (M ) dσ иf2 (M ) dσ сходятся, то сходится и интегралΩΩZZZZ(αf1 (M ) + βf2 (M )) dσ = αΩZZf1 (M ) dσ + βΩf2 (M ) dσ.ΩПредставим подынтегральную функцию f (M ) в виде разности двухнеотрицательных функцийf (M ) = f1 (M ) − f2 (M ),(5.16)где f1 (M ) = |f (M )|, f2 (M ) = |f (M )| − f (M ).RRRRИнтегралf1 (M ) dσ =|f (M )| dσ сходится по условию. ПосколькуΩΩf2 (M ) = |f (M )| − f (M ) 6 2|f (M )|,3Доказательство этой теоремы не столь просто, как для однократных несобственных интегралов,ввиду отсутствия для сходимости двойных несобственных интегралов критерия Коши.134Несобственные интегралыа интегралRR2|f (M )| dσ = 2ΩR|f (M )| dσ сходится по условию доказы-Ωваемой теоремы, то, в силу теоремы 5.10, какова бы не была стягивающаяся к точке M0 последовательностьRR областей ωδn , соответствующаяей последовательность интегралов2|f (M )| dσ ограничена.
Поэтому,Ω\ωδnв силу очевидного неравенстваZZZZf2 (M ) dσ 62|f (M )| dσΩ\ωδnпоследовательностьΩ\ωδnRRf2 (M ) dσ также ограничена. Применяя теоремуRR5.10 в другую сторону, получаем сходимость интегралаf2 (M ) dσ. ВRR Ω\ωδnсилу равенства (5.16) будет сходиться и интегралf (M ) dσ, причемΩ\ωδnΩбудет выполняться равенствоZZZZf (M ) dσ = f1 (M ) dσ − f2 (M ) dσ.Ω5.6.4ΩΩПризнаки абсолютной сходимостиТеорема 5.12 (общий признак сравнения). Пусть всюду в области Ωвыполняется неравенство0 6 |f (M )| 6 g(M ),(5.17)причем функции f (M ) и g(M ) имеют единственную особую точку M0 ,принадлежащую области Ω или ее границе. ТогдаRRRR1. еслиg(M ) dσ сходится, то иf (M ) dσ сходится абсолютно;Ω2.
еслиRRΩf (M ) dσ расходится, то иΩRRg(M ) dσ расходится.ΩДоказательство. Возмем какую-нибудь стягивающуюся к точке M0 приδn → 0 последовательность областей ωδn . В силу неравенства (5.17) будемиметьZZZZ|f (M )| dσ 6g(M ) dσ.(5.18)Ω\ωδnΩ\ωδnКратные несобственные интегралы1. Если интеграл135RRg(M ) dσ сходится, то остается ограниченной поRRследовательность интеграловg(M ) dσ, но тогда, в силу нераΩ\ωδnRRвенства (5.18), последовательность интегралов|f (M )| dσ такжеΩ\ωδnRRограничена, следовательно по теореме 5.10 интеграл|f (M )| dσΩΩсходится.RRf (M ) dσ расходится, то расходится также и инте2.
Если интегралΩRRграл|f (M )| dσ; действительно, если бы последний интеграл схоΩRRдился, то сходился бы по теореме 5.11 также и интегралf (M ) dσ.ΩRRИз расходимости интеграла|f (M )| dσ вытекает, в силу теоΩремы 5.10, что при любом выборе стягивающейся к точке M0последовательностиобластей ωδn последовательность интеграловRR|f (M )| dσ неограничена; но тогда, в силу неравенства (5.18),Ω\ωδnRRнеограничена также последовательность интеграловg(M ) dσ, аΩ\ωδnRRследовательно, интегралg(M ) dσ расходится.ΩИз примера 5.13, теоремы 5.11 и теоремы 5.12 вытекает следующийчастный признак сравнения кратных несобственных интегралов.Теорема 5.13.
Если для функции, заданной в области Ω и имеющейединственную особую точку M0 (x0 , y0 ), принадлежащую области Ωили ее границе, выполняется неравенствоC|f (M )| = |f (x, y)| 6 α , где C = const > 0,rpα = const < 2, r = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ,RRто интегралf (M ) dσ сходится и притом абсолютно.(5.19)ΩЗамечание 5.6. В случае несобственного интеграла по n-мерной области ΩZZ· · · f (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxnΩ136Несобственные интегралыот функции f (M ) = f (x1 , .
. . , xn ), имеющей единственную особую точку M0 = (x01 , . . . , x0n ) в области Ω или на ее границе, в теореме 5.13следует положитьqr = (x1 − x01 )2 + . . . (xn − x0n )2 и α < n.Пример 5.14. Напряженность электрического поля, создаваемогоэлектрическим зарядом плотности ρ, распределенным в области Ω, дается в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) интеграломZZZrM ME(M0 ) =ρ(M ) 3 0 dσ,(5.20)rM M0Ωгде rM M0 — вектор, начинающийся в точке M и заканчивающийся вточке M0 . Если функция ρ(M ) непрерывна и ограничена в области Ω ⊂E3 (|ρ(M )| 6 ρ0 = const), то подынтегральные функции для компонентвектора E(M0 ) допускают оценку¯¯¯¯x−x0¯ 6 ρ0 ,¯ρ(M )32¯rM M0 ¯ rMM0из которой следует абсолютная сходимость интеграла (5.20) в случаеM0 ∈ Ω.5.6.5Эквивалентность сходимости и абсолютной сходимостикратных несобственных интеграловТеорема 5.14.
Пусть в области Ω ⊂ E2 или на ее границе содержитсяединственная особая точка M0RRфункции f (M ). Если интегралRRf (M ) dxdy сходится, то интеграл|f (M )| dxdy также сходитΩΩся.Доказательство. 4 Пусть особая точкаRR M0 функции f (M ) лежит в области Ω. Предположим, что интеграл|f (M )| dxdy расходится и покаΩRRжем, что интегралf (M ) dxdy также расходится. Очевидно, что этогоΩдостаточно для доказательства теоремы.Взяв какую угодно стягивающуюся последовательность концентрических круговΩ ⊃ K1 ⊃ K2 ⊃ .
. . ⊃ Kn ⊃ . . . 3 M0(5.21)4Это доказательство — самое сложное в данной главе.Кратные несобственные интегралы137с центром в точке M0 , в силу неотрицательности функции |f (M )| получимZZ|f (M )| dxdy = +∞.(5.22)limn→+∞Ω\KnПостроим последовательность Kn специальным образом, выбирая кругKn+1 по кругу Kn достаточно малым так, что бы выполнялись неравенстваZZZZ|f (M )| dxdy > 2|f (M )| dxdy + 2n, n = 1, 2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
