Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

1. Аналогично определяются несобственный интеграл второго рода: а) по полусегменту [a, b), если b — особая точка;б) по интервалу (a, b), если a и b — особые точки (и других особыхточек на [a, b] у функции f (x) нет):Zba)Zb−δf (x) dx := limf (x) dx;δ→+0aZbб)ab−δZ 2f (x) dx := limδ1 →+0δ2 →+0 a+δ1af (x) dx.2. Если особой точкой функции f (x) является внутренняя точка cсегмента [a, b] и других особых точек нет, то по определению полагают:Zbc−δZ 1f (x) dx := limf (x) dx + limδ1 →+0aZaδ2 →+0c+δ2aZc=f (x) dx =Zbf (x) dx +af (x) dx.cЕсли оба предела существуют (хотя бы один не существует), тоRbговорят, что несобственный интеграл f (x) dx сходится (расхоaдится).3.

Если на сегменте [a, b] функция f (x) имеет несколько особых тоRbчек, то несобственный интеграл f (x) dx определяется как сумaНесобственные интегралы 2 рода123ма несобственных интегралов по полусегментам и сегментам, укоторых одна или обе граничные точки — особые.1Пример 5.7. У функции α при α > 0 на отрезке [0, 1] есть единxственная особая точка 0 и¯1−α ¯1Z1Z1x¯ , α 6= 1dxdx¯=lim=lim=1−αδxα δ→+0 xα δ→+0  ln x|1 , α = 10δδ¡¢ 1 1 , α<11−α1−δ, α 6= 1= lim 1 − α= 1−α.δ→+0 − ln δ, α = 1+∞, α > 1R1 dxТаким образом, интегралсходится при α < 1 и расходится приα0 x+∞R dx, который сходится при α > 1 иα > 1, в отличие от интегралаα1 xрасходится при α 6 1.Пример 5.8. Аналогичным образом, интегралысходятся при α < 1 и расходятся при α > 1.RbaRbdxdxиαα(x − a)a (x − b)Для несобственных интегралов второго рода имеют место признакисходимости, аналогичные признакам сходимости несобственных интегралов первого рода.

Сформулируем некоторые из них для несобственныхинтегралов по полусегменту (a, b], где a — единственная особая точкаподынтегральных функций.Теорема 5.6 (критерий Коши). Для того чтобы несобственный интеRbграл f (x) dx сходился, необходимо и достаточно, чтобы ∀ε > 0 ∃δ > 0aтакое, что ∀δ 0 и δ 00¯, удовлетворяющихусловию 0 < δ 0 , δ 00 < δ, выполня¯00¯ a+δ¯¯ R¯лось неравенство: ¯f (x) dx¯ < ε.¯a+δ0¯Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из того, что сходиRbмость несобственного интеграла f (x) dx по определению эквивалентнаaсуществованию конечного предела lim Φ(δ), где Φ(δ) :=δ→+0Rba+δf (x) dx и124Несобственные интегралыкритерия Коши существования одностороннего предела функции Φ(δ)при δ → +0.Теорема 5.7 (признак сравнения).

Если 0 6 f (x) 6 g(x) при a < x 6 b,то из сходимости интегралаZbg(x) dx(5.4)f (x) dx,(5.5)aследует сходимость интегралаZbaа из расходимости интеграла (5.5) следует расходимость интеграла(5.4).f (x)=x→a+0 g(x)k > 0, то интегралы (5.4) и (5.5) сходятся или расходятся одновременf (x)= 0, то из сходимости интеграла (5.4) следуетно, а если limx→a+0 g(x)сходимость интеграла (5.5).Следствие 5.3.

Если f (x) > 0 и g(x) > 0 при a < x 6 b и limДоказательства теоремы 5.7 и следствия 5.3 совершенно аналогичныдоказательствам признака сравнения (теоремы 5.2) для несобственныхинтегралов первого рода и следствия 5.1. Слушателям предлагается провести их самостоятельно.Пример 5.9.Z1√0dx1, f (x) := √.1 − x41 − x4√1f (x)1−x=Возмем g(x) := √, тогда lim= lim √x→1−0 g(x)x→1−01−x1 − x4R1R111dxlim p=и интеграл g(x) dx =схо1/2x→1−02(1 + x2 )(1 + x)00 (1 − x)R1dxтакже сходится.дится.

Следовательно, интеграл √41−x0Несобственные интегралы 2 рода125Понятия абсолютной и условной сходимости для несобственных интегралов второго рода формулируются так же, как и для несобственных интегралов первого рода. Для доказательства условной сходимоститакже можно использовать следующий признак Дирихле, аналогичныйпризнаку Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода.Теорема 5.8 (признак Дирихле). Пусть1. функция f (x) непрерывна на (a, b] и имеет на этом промежуткеограниченную первообразную F (x);2. функция g(x) не убывает на (a, b], стремится к нулю при x → a+0(g(x) ↓ 0 при x → a + 0) и имеет непрерывную производную g 0 (x)на (a, b].Тогда несобственный интегралRbf (x)g(x) dx сходится.aДоказательство этой теоремы совершенно аналогично доказательствупризнака Дирихле (теоремы 5.3) для несобственных интегралов первогорода.

Слушателям предлагается провести его самостоятельно.Если промежуток интегрирования является бесконечным и функцияf (x) имеет на этом промежутке конечное число особых точек, то интеграл (несобственный) от функции f (x) по этому промежутку представляется в виде суммы несобственных интегралов первого и второго рода.Если все эти интегралы сходятся, то говорят, что исходный интегралсходится, и полагают его равным сумме этих несобственных интегралов.Пример 5.10.1.Z∞I :=0sin xdx =x3/2Z∞sin xsin x+dxdx.x3/2x3/2|0 {z }|1 {z }Z1=I2 — н. и.

2 рода=I1 — н. и. 1 родаsin x1В силу 3/2 ∼ 1/2 при x → 0 несобственный интеграл I2 схоxxдится. Несобственный интегралI1 также сходится по признаку¯¯¯ sin x ¯1сравнения ввиду оценки ¯¯ 3/2 ¯¯ 6 3/2 . Таким образом, несобственxxный интеграл I сходится.126Несобственные интегралы2.Z∞xα e−x dx =I :=Z∞Z1xα e−x dx +0|0{z}=I2 — н. и. 2 родаxα e−x dx.|1{z}=I1 — н. и. 1 родаИнтеграл I2 сходится при −α < 1, т.е. при α > −1. Интеграл I1сходится при любом α. Таким образом, интеграл I сходится приα > −1.R∞ dx3. Интегралрасходится при любом α.α0 x5.5Главное значение несобственного интегралаРассмотрим:Пример 5.11.

Поскольку следующий пределZ∞ZAx dx = lim−∞A→+∞B→−∞ Bне существует, то интегралx dx = limR∞A→+∞B→−∞1 2(A − B 2 )2x dx расходится. Однако при B = −A−∞имеем: limRAA→+∞ −A1 2(A − A2 ) = 0.A→+∞ 2x dx = limЭтот пример мотивирует следующее определение:Определение 5.4. Пусть функция f (x) определена на R и интегрируема на любом конечном сегменте.

Если существует пределZAlimA→+∞−Af (x) dx,то он называется главным значением несобственного интегралаZ∞f (x) dx−∞(5.6)Главное значение несобственного интеграла127в смысле Коши и обозначается1Z∞f (x) dx.v. p.−∞Очевидно, что если несобственный интеграл (5.6) сходится, то его значение совпадает с v. p. Но, как показывает рассмотренный выше тривиальный пример 5.11, интеграл (5.6) может расходиться, но иметь конечное главное значение.Рассмотрим теперь несобственный интеграл второго родаZbf (x) dx,(5.7)aпричем внутренняя точка c сегмента [a, b] является единственной особойточкой функции f (x) на отрезке [a, b].Определение 5.5.

Если существует предел c−δZZalim  f (x) dx +f (x) dx ,δ→+0ac+δто он называется главным значением несобственного интеграла (5.7)в смысле Коши и обозначаетсяZbv. p. f (x) dx.aОтметим, что при этом несобственный интеграл (5.7) может быть расходящимся, т.е.

может не существовать конечный предел c−δZ 1Zbf (x) dx +f (x) dx .lim δ1 →+0δ2 →+0ac+δ2Пример 5.12. Поскольку −δµ µ ¶¶Z 1Z2Z2dxdxδdx1 = lim ln= lim ++ ln 2δ1 →+0δ1 →+0xxxδ2−11δ2 →+0−1δ2δ2 →+0Это обозначение происходит от французского словосочетания «valeur principal», означающего«главное значение».128Несобственные интегралыи последний предел не существует, то интегралR2 dxрасходится. Од−1 xнакоZ2v. p.−15.6 −δµ¶ZZ2dxdxdxδ = lim ln + ln 2 = ln 2.= lim +δ→+0δ→+0xxxδ−1δКратные несобственные интегралыНаряду с уже рассмотренными несобственными интегралами по подмножествам вещественной оси, можно определить и кратные несобственные интегралы по областям m-мерного евклидова пространства, а такженесобственные криволинейные и поверхностные интегралы.

Мы подробно рассмотрим только случай двойных несобственных интегралов; mкратные интегралы рассматриваются аналогично.5.6.1Интеграл от неограниченной функции по ограниченнойобластиПусть в ограниченной квадрируемой открытой области Ω на евклидовой плоскостис декартовыми координатами x, y заданафункция f (M ) = f (x, y), неограниченная вокрестности точки M0 (x0 , y0 ) ∈ Ω, и пустьдля любой квадрируемой области ωδ диаметра δ, содержащей внутри себя точку M0 ,существует интеграл по РимануZZf (M ) dσ.Рис.

5.1: исчерпание областиΩ, при наличии особой точкифункции f : а) внутри области,б) на границе области.Ω\ωδВ такой ситуации точка M0 называется особой для функции f (M ) вобласти Ω. При δ → 0 область ωδ стягивается к точке M0 .2Определение 5.6. Несобственным интегралом от функции f (M ) =f (x, y) по области Ω называется предел (независимо от того, суще2До конца данной главы будем считать все ограниченные области квадрируемыми, даже еслиэто не указано явно.Кратные несобственные интегралы129ствует он или нет)ZZZZf (M ) dσ := limδ→0Ω\ωδΩf (M ) dσ.(5.8)Если этот предел существует и не зависит от выбора областей ωδ ,то несобственный интегралZZf (M ) dσΩназывается сходящимся; в противном случае он называется расходящимся.Замечание 5.2.

Ввиду эквивалентности определений предела функциипо Коши и по Гейне, в данном определении двойного несобственного интеграла семейство областей ωδ , зависящих от непрерывного параметра, можно заменить на произвольную последовательность областейωδn , δn → 0.Замечание 5.3. Области Ω\ωδ и ωδ не предполагаются связными.Замечание 5.4. Если точка M0 лежит внутри области Ω, то исследование на сходимость интеграла (5.8) можно заменить исследованием на сходимость интегралаZZf (M ) dσΩ0по любой подобласти Ω0 области Ω, содержащей внутри себя точкуM0 .

Если же точка M0 лежит на границе области Ω, то в качествеобласти Ω0 можно взять Ω ∩ Ω∗ , где Ω∗ — произвольная открытаяобласть, содержащая точку M0 .Замечание 5.5. Случай, когда функция f (M ) имеет произвольное конечное число особых точек в области Ω или на ее границе, рассматривается разбиением области Ω на подобласти Ωi такие, что каждая Ωiсодержит единственную особую точку функции f (M ).Определение 5.7. Несобственным интегралом от функции f (M ) =f (x, y) по области Ω в смысле главного значения называется пределZZZZv.

p.f (M ) dσ,(5.9)f (M ) dσ := limΩδ→0Ω\Kδгде Kδ — круг радиуса δ с центром в точке M0 .1305.6.2Несобственные интегралыИнтегралы от неотрицательных функций по ограниченным областямРассмотрим в первую очередь интегралы от знакопостоянных функций,поскольку их исследование проще, и сами они могут быть использованыпри исследовании интегралов от знакопеременных функций.

Характеристики

Список файлов лекций