Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

. .(5.23)Kn \Kn+1Ω\KnИдея доказательства теоремы состоит в том, что бы с помощью последнего неравенства получить неравенствоZZf (M ) dσ > nΩ\ωnдля некоторой последовательности ωn , стягивающихся кRRточке M0 областей, откуда и будет следовать расходимость интегралаf (M ) dσ.ΩВведем функцииf+ (M ) =11(|f (M )| + f (M )) , f− (M ) = (|f (M )| − f (M )) .22Очевидно, что f+ (M ) > 0, f− (M ) > 0 иf (M ) = f+ (M ) − f− (M ), |f (M )| = f+ (M ) + f− (M ).Рассмотрим рядZZ∞X(5.24)f (M ) dxdy.n=1Kn \Kn+1Его последовательностью частичных сумм является последовательностьинтеграловZZIn :=f (M ) dxdy,(5.25)сходящаяся при n → +∞ к интегралуZZI :=f (M ) dxdy.(5.26)K1 \KnK1138Несобственные интегралыОчевидно, что имеет место хотя бы один из следующих двух случаев:1) бесконечное число членов последовательности (5.25) не превосходитпредельного значения (5.26); 2) бесконечное число членов последовательности (5.25) не меньше предельного значения (5.26).

Заменяя, при необходимости, функцию f (M ) на −f (M ), мы можем считать, что имеетместо первый случай. При этом все рассуждения выше сохранят своюсилу. Теперь, мы можем выделить монотонно не убывающую подпоследовательность Ink последовательности In . Тогда имеют место неравенстваZZInk+1 − Ink =f (M ) dxdy > 0.(5.27)Knk \Knk+1Заменяя теперь последовательность кругов (5.21) ее подпоследовательностью Knk и возвращаясь к прежним одноиндексным обозначениям, мыможем считать, что справедливы все неравенстваZZIn+1 − In =f (M ) dxdy > 0,(5.28)Kn \Kn+1т.е.

ввиду (5.24) неравенстваZZZZf+ (M ) dxdy >Kn \Kn+1f− (M ) dxdy.(5.29)Kn \Kn+1При этом неравенство (5.23) сохранит свою силу, т.к. nk > k. Ввиду (5.24)и (5.29) из (5.23) получаемZZZZ(5.29)(5.24)2f+ (M ) dxdy >(f+ (M ) + f− (M )) dxdy =Kn \Kn+1(5.24)Kn \Kn+1ZZ(5.23)=|f (M )| dxdy > 2Kn \Kn+1откуда|f (M )| dxdy + 2n, n = 1, 2, . .

. ,Ω\KnZZZZf+ (M ) dxdy >Kn \Kn+1ZZ|f (M )| dxdy + n, n = 1, 2, . . .(5.30)Ω\KnРазобьем теперь кольцо Kn \Kn+1 на малые квадрируемые ячейки и обоfзначим через mi + точную нижнюю грань функции f+ на i-ой ячейке. Тогда, если ячейки достаточно малы, то из неравенства (5.30)Кратные несобственные интегралы139мыRRполучим неравенство для нижней интегральной суммы интегралаf+ (M ) dxdyKn \Kn+1XZZfmi + ∆ii>|f (M )| dxdy + n, n = 1, 2, .

. .(5.31)Ω\KnfНа всех этих ячейках mi + > 0, поскольку f+ > 0 всюду. Не нарушаяP fнеравенства (5.31), отбросим из суммы i mi + ∆i все слагаемые, для коfторых mi + = 0. Если обозначить через Gn область, составленную изячеек, соответствующих оставшимся слагаемым, то, очевидно, на этойобласти f (M ) = f+ (M ) иZZZZZZX f+f (M ) dxdy =f+ (M ) dxdy >mi ∆i >|f (M )| dxdy + n,Gn∆i ⊂GnGnΩ\Knn = 1, 2, . . .(5.32)Складывая теперь неравенство (5.32) с очевидным неравенствомZZZZf (M ) dxdy > −|f (M )| dxdy, n = 1, 2, . . .

,Ω\KnΩ\Knполучаем ввиду Gn ⊂ Kn \Kn+1 неравенствоZZf (M ) dxdy > n, n = 1, 2, . . . ,(5.33)Hnгде Hn := (Ω\Kn ) ∪ Gn . Тогда Ω\Kn ⊂ Hn ⊂ Ω\Kn+1 ⇒ Kn+1 ⊂Ω\Hn ⊂ Kn , и если обозначить ωn := Ω\Hn , то Hn = Ω\ωn и diam ωn → 0при n → +∞, т.к. ωn ⊂ Kn .RRИз (5.33) следует расходимость интегралаf (M ) dxdy, откуда и выΩтекает утверждение теоремы в рассматриваемом случае M0 ∈ Ω.Если же особая точка M0 функции f (x) лежит на границе области Ω,то проведенное доказательство сохранит свою силу, если вместо круговKn взять их пересечения с областью Ω.Замечание 5.7.

Если в определении n-кратного несобственного интеграла при n > 2 области Ω\ωδn считать связными, то теорема 5.14140Несобственные интегралыоб эквивалентности сходимости и абсолютной сходимости кратного несобственного интеграла сохранит свою силу. Действительно, область Hn в доказательстве теоремы 5.14 можно сделать связной, сохранив неравенство (5.33); для этого достаточно соединить связныекуски, составляющие Hn , квадрируемыми полосками с достаточно малой суммарной площадью.Напротив, если в случае однократного несобственного интегралаRbf (x) dx вместо последовательности интервалов [a, b − λ], входящихaв определение этого интеграла, брать исчерпывающие последовательности произвольных “разрывных” областей, то класс функций, интегрируемых в несобственном смысле, сузится; интегрируемыми в несобственном смысле функциями окажутся лишь абсолютно интегрируемые в несобственном смысле функции.

Абсолютно интегрируемые внесобственном смысле функции в обоих определениях, очевидно, одинаковы.5.6.6Несобственные интегралы с неограниченной областьюопределенияИнтегралы, подынтегральные функции которых ограничены в любойограниченной подобласти, исследуются совершенно аналогично. Сформулируем для примера определение несобственного интеграла и достаточный признак сходимости.Определение 5.9. Пусть дана неограниченная область Ω ⊂ E2 .

Расширяющаяся последовательность ее ограниченных подобластейΩ1 , Ω2 , . . . , Ωn , . . . ⊂ Ω(5.34)называется исчерпывающей, если, каково бы ни было R > 0, все точкиобласти Ω, принадлежащие кругу радиуса R с центром в начале координат, будут принадлежать всем Ωn , начиная с достаточно большогоn.Определение 5.10. Пусть в неограниченной области Ω задана функция f (M ), интегрируемая в обычном смысле по любой ограниченнойподобласти.

Если при любом выборе исчерпывающей последовательности (5.34) соответствующая последовательность чиселZZZZZZf (M ) dσ,f (M ) dσ, . . . ,f (M ) dσ, . . .Ω1Ω2ΩnКратные несобственные интегралы141сходитсяк одному и тому же конечному пределу J, то интегралRRf (M ) dσ называется сходящимся; в противном случае он называΩется расходящимся.Теорема 5.15 (достаточный признак сходимости). Если функцияf (M ) = f (x, y) удовлетворяет требованиям, сформулированным впредыдущем определении, и неравенствуC|f (M )| = |f (x, y)| 6 α , где C = const > 0,prα = const > 2, r = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ,причем M0RR(x0 , y0 ) — какая-нибудь фиксированная точка области Ω, тоинтегралf (M ) dσ сходится.ΩЗаметим, что аналоги всех теорем, доказанных для несобственных интегралов по ограниченным областям, справедливы и для несобственныхинтегралов по неограниченным областям.5.6.7Методы вычисления несобственных кратных интеграловСведение сходящегося несобственного двойного интеграла к повторномуосуществляется так же, как и в случае собственного двойного интеграла:1.

для неотрицательной (неположительной) подынтегральной функции — при условии сходимости повторного интеграла от этой функции;2. для знакопеременной подынтегральной функции — при условии сходимости повторного интеграла от ее модуля.Замена переменных в сходящемся несобственном n-кратном интегралеосуществляется по тем же правилам, что и в случае собственного nкратного интеграла.Мы не будем доказывать эти общие утверждения. Рассмотрим лишьодин из способов вычисления важного интеграла Пуассона J :=+∞R −x2e dx при помощи двойного несобственного интеграла.0ПустьZZ2e−xI :=R2−y 2dxdy142Несобственные интегралы– сходящийся ввиду экспоненциального убывания подынтегральнойфункции двойной несобственный интеграл. Рассмотрим исчерпаниеплоскости R2 областями [−R, R] × [−R, R]. Тогда R22 RZZZR222(2J)2 = lim  e−x dx = lim  e−x dx e−y dy  =R→+∞R→+∞−R−RZZ= limR→+∞−R6x6R−R6y6Re−x2−y 2−Rdxdy = I.С другой стороны, плоскость R2 можно исчерпывать кругами радиусаR → +∞.

Поэтому, переходя к полярным координатам и повторномуинтегралу, получаемZ2πI = limZRR→+∞0Следовательно, J =√e−rdφπ/2.02Z+∞r dr = πe−ξ dξ = π.0Глава 6Интегралы, зависящие от параметровЕсли подынтегральная функция в собственном или несобственном интеграле зависит от одного или нескольких параметров, то такой интегралназывается интегралом, зависящим от параметров.6.1Собственные интегралы, зависящие от параметраПусть функция f (x, y) определена в прямоугольникеΠ := {(x, y)| a 6 x 6 b, c 6 y 6 d}и интегрируема по x на [a, b] при каждом y ∈ [c, d]. Тогда интегралZbF(y) :=f (x, y) dxaзависит от параметра y, пробегающего отрезок [c, d].

Займемся исследованием его свойств.Теорема 6.1 (о непрерывности собственного интеграла, зависящего отпараметра). Если функция f (x, y) непрерывна в прямоугольнике Π, тофункция F(y) непрерывна на отрезке [c, d].Доказательство. По теореме Кантора функция f (x, y) равномернонепрерывна в прямоугольнике Π. Докажем, что функция F(y) равномерно непрерывна на [c, d]. Зададим произвольное ε > 0. Тогда ∃δ > 0 такое,что ∀x ∈ [a, b] и ∀y 0 , y 00 ∈ [c, d], удовлетворяющих условию |y 0 − y 00 | < δ,выполняется неравенствоε|f (x, y 0 ) − f (x, y 00 )| <.b−a143144Собственные интегралы, зависящие от параметраСледовательно,¯ b¯¯Z¯Zb¯¯|F(y 0 ) − F(y 00 )| = ¯¯ f (x, y 0 ) dx − f (x, y 00 ) dx¯¯ 6¯¯aZb6aaε|f (x, y 0 ) − f (x, y 00 )| dx <b−aZbdx = ε.aЭто означает, что функция F(y) равномерно непрерывна на отрезке [c, d],что эквивалентно ее непрерывности на [c, d].Следствие 6.1.

Пусть выполнены условия теоремы 6.1 и пусть ∀y ∈[c, d]: a 6 x1 (y) 6 x2 (y) 6 b, где x1 (y), x2 (y) — непрерывные функции.R x (y)Тогда g(y) := x12(y) f (x, y) dx — непрерывная функция на [c, d].Доказательство. Докажем непрерывность функции g(y) в произвольной точке y0 ∈ [c, d]. Представим g(y) в виде:xZ1 (y0 )g(y) =xZ2 (y0 )f (x, y) dx +x1 (y)xZ2 (y)f (x, y) dx +x1 (y0 )f (x, y) dx =:x2 (y0 )=: g1 (y) + g2 (y) + g3 (y).Функция g2 (y) непрерывна по теореме 6.1 как интеграл с постояннымипределами интегрирования, а для функции g1 (y) справедлива оценка¯¯¯ xZ1 (y0 )¯¯¯¯¯|g1 (y)| 6 ¯|f (x, y)| dx¯ 6 M |x1 (y0 ) − x1 (y)| → 0 при y → y0 ,¯¯¯x1 (y)¯где |f (x, y)| 6 M , (x, y) ∈ Π. Аналогично, g3 (y) → 0 при y → y0 .

Такимобразом, g(y) → g(y0 ) при y → y0 .Теорема 6.2 (об интегрировании по параметру собственного интеграла). Если функция f (x, y) непрерывна в прямоугольнике Π, тоZdZd ZbZb ZdF(y) dy =  f (x, y) dx dy =  f (x, y) dy  dx.(6.1)ccaacИнтегралы, зависящие от параметров145Доказательство. Интегрируемость функции F(y) следует из ее непрерывности, которая имеет место по теореме 6.1. Поскольку функцияf (x, y) непрерывна в прямоугольнике Π, то существуют двойной интеграл и внутренние интегралы в повторных в (6.1). Тогда по теореме,доказанной во втором семестре, повторные интегралы равны двойному,а значит, и между собой.Теорема 6.3 (о дифференцировании по параметру собственного инте∂f (x, y)грала).

Пусть функции f (x, y) инепрерывны в прямоугольнике∂yΠ. Тогда функция F(y) имеет на [c, d] непрерывную производную F 0 (y),причем1Zb∂f (x, y)dx.F 0 (y) =∂yaRb ∂f (x, y)Доказательство. Введем обозначения: G(y) :=dx. Нужно∂yaдоказать, что ∃ F 0 (y) = G(y). В силу теоремы 6.1 G(y) — непрерывная и, следовательно, интегрируемая функция на [c, d].

Характеристики

Список файлов лекций