Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Однако возможна ситуация,когда первообразная неэлементарна.Пример 5.2.Z+∞0sin xdx = limA→+∞xZA0sin xdx = lim (F(A) − F (0)) ,A→+∞xsin xгде F(x) — первообразная функции. Она существует, т.к. функxsin xциянепрерывна, но не является элементарной.xКак же в этом случае исследовать вопрос о сходимости несобственногоинтеграла? Как и в случае рядов, нам необходимы признаки сходимостинесобственных интегралов.5.2Признаки сходимости несобственных интегралов1 родаТеорема 5.1 (критерий Коши сходимости несобственных интеграловRA1 рода). Пусть ∀A > a ∃ f (x) dx. Для того чтобы несобственныйинтеграл+∞Raf (x) dx сходился, необходимо и достаточно, чтобы ∀ε > 0a∃A такое, что ∀A0 > A и A00 > A выполнялось неравенство¯ A00¯¯Z¯¯¯¯ f (x) dx¯ < ε.¯¯¯ 0¯AДоказательство.
Доказательство легко получается из критерия Кошисуществования предела функции и определения несобственного интеграRAла 1 рода. Действительно, обозначим Φ(A) = f (x) dx. По определению, сходимость несобственного интеграла+∞Raf (x) dx эквивалентна су-aществованию предела lim Φ(A), что, в свою очередь, в силу критерияA→+∞Коши существования предела функции эквивалентно тому, что ∀ε > 0∃A такое, что ∀A0 , A00 > A выполнялось неравенство |Φ(A0 ) − Φ(A00 )| <Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода000ε. Остается заметить, что Φ(A ) − Φ(A ) =AR 00AR 00115f (x) dx −aRA0f (x) dx =af (x) dx.A0Пример 5.3. Применим критерий Коши к несобственному интегралу+∞R sin xdx. С помощью интегрирования по частям ∀A0 , A00 > 0 полуx0чаем оценку:¯ A00¯ ¯ A00¯ ¯¯A00¯Z¯ ¯Z¯ ¯¯ ¯¯Z¯ sin x ¯ ¯ d(− cos x) ¯ ¯ cos x ¯¯A00¯ ¯ cos A0 ¯cosx¯¯ = ¯−¯+dx¯¯ = ¯¯dx¯¯ 6 ¯¯¯ 0 −¯¯ ¯20 ¯xxxxAA¯ 0¯ ¯ 0¯ ¯¯AAA0¯ A00¯¯ A00 ¯¯¯¯¯¯Z¯Z¯¯¯ cos A00 ¯ ¯ ¯ cos x ¯ ¯¯ dx ¯11¯+¯ ¯¯=+ ¯¯¯ dx¯¯ 6 0 + 00 + ¯¯¯¯¯0022AxA¯ 0¯ A¯ 0 x ¯AA¯¯A00 ¯¯¯1122¯ 1¯ ¯= 0 + 00 + ¯ − ¯¯ ¯ 6 0 + 00 .¯ x A0 ¯ AAAAЗададимε > 0 и возмем A = 4ε .
Тогда ∀A0 , A00 > A полу¯ 00 произвольное¯¯A¯+∞R sin x¯ R sin x ¯242чаем: ¯dx+<=ε⇒покритериюКошиdx6¯A0A00A¯A0 x¯x0сходится.Однако на практике вместо критерия Коши более удобны достаточныеусловия сходимости, к изложению которых мы и приступаем.Теорема 5.2 (признак сравнения). Пусть 0 6 f (x) 6 g(x) при x > aи функции f (x) и g(x) интегрируемы на любом сегменте [a, b], ∀b > a.Тогда из сходимости интегралаZ+∞g(x) dx(5.1)aследует сходимость интегралаZ+∞f (x) dx,aа из расходимости (5.2) следует расходимость (5.1).(5.2)116Несобственные интегралыДоказательство. ∀A > a имеем Φ(A) :=RAf (x) dx 6aRAg(x) dx =: G(A).aОтсюда следует, что если интеграл (5.1) сходится, то G(A) — ограниченная функция, поэтому Φ(A) — также ограниченная функция и, в силунеотрицательности f (x), она монотонно не убывает, т.е.
сходится к конечному пределу. Поэтому и интеграл (5.2) сходится.Если же интеграл (5.2) расходится, то Φ(A) — неограниченная функция, поэтому G(A) — также неограниченная функция, и, значит, интеграл (5.1) расходится.Следствие 5.1. Если 0 6 f (x) 6 xcα при x > a > 0, c = const > 0+∞Rи α > 1, тоf (x) dx сходится. Если же f (x) > xcα при x > a > 0,ac = const > 0 и α 6 1, то+∞Rf (x) dx расходится.aСледствие 5.2 (признак сравнения в предельной форме). Если f (x) > 0и g(x) > 0 при x > a иf (x)= k > 0,x→+∞ g(x)lim(5.3)то интегралы (5.1) и (5.2) сходятся или расходятся одновременно.
Если же k = 0, то из сходимости (5.1) следует сходимость (5.2).Доказательство. При k > 0 из (5.3) следует наличие такого A > 0, чтоkf (x) 3k66 , ∀x > A.2g(x)2Но тогда g(x) 6 k2 f (x), f (x) 6 32 kg(x), что по теореме 5.2 означает, чтоинтегралы (5.1) и (5.2) сходятся или расходятся одновременно.Если же k = 0, то из (5.3) следует существование A > 0 такого, чтоf (x)6 1, ∀x > A. Но тогда f (x) 6 g(x), ∀x > A, и по теореме 5.2 изg(x)сходимости (5.1) следует сходимость (5.2).Пример 5.4.1.µ ¶¶µZ+∞1111xα sin dx, 0 6 f (x) = xα sin = xα+o⇒xxxx1Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода⇒ limx→+∞f (x)1117= 1.x−α+1Следовательно, интеграл сходится при −α+1 > 1, т.е.
при α < 0,и расходится при α > 0.2. Интегралсходится.+∞Rα −xx exα e−xdx сходится ∀α, т.к. limx→+∞13. Интеграл Пуассона+∞R1x22e−x dx сходится, т.к.12+∞R= 0, а1limx→+∞e−x21x2dxx2=lim x2 e−x = 0.x→+∞Признак сравнения относится к неотрицательным функциям. В этомотношении он аналогичен признаку сравнения для рядов с положительными членами. Для исследования сходимости несобственных интеграловот знакопеременных функций полезен признак Дирихле, аналогичныйпризнаку Дирихле для рядов.
Он относится к несобственным интегра+∞Rлам видаf (x)g(x) dx.aТеорема 5.3 (признак Дирихле). Пусть1. функция f (x) непрерывна на [a, +∞) и имеет на этой полупрямойограниченную первообразную F (x) (т.е. F 0 (x) = f (x) и ∃M > 0такое, что ∀x ∈ [a, +∞) справедливо неравенство |F (x)| 6 M );2. функция g(x) не возрастает на [a, +∞), стремится к нулю приx → +∞ (g(x) ↓ 0 при x → +∞) и имеет непрерывную производную g 0 (x) на [a, +∞).Тогда несобственный интеграл+∞Rf (x)g(x) dx сходится.aДоказательство.
Воспользуемся критерием Коши (теорема 5.1). С этойцелью рассмотрим следующий интеграл:ZA00ZA0000g(x) dF (x) = g(x)F (x)|AA0 −f (x)g(x) dx =A0ZA00A0F (x)g 0 (x) dx.A0118Несобственные интегралыТак как g 0 (x) — непрерывная функция, то интеграл в правой части равенства существует, а поскольку g(x) не возрастает и стремится к нулюпри x → +∞, то g 0 (x) 6 0, g(x) > 0 при x > a. Пусть A00 > A0 .
Тогда¯ A00¯¯¯ZZA00¯¯¯ f (x)g(x) dx¯ 6 |g(A00 )F (A00 ) − g(A0 )F (A0 )| + M |g 0 (x)| dx 6¯¯¯¯ 00AAZA006 |g(A00 )F (A00 )| + |g(A0 )F (A0 )| −M g 0 (x) dx 6 M (g(A00 ) + g(A0 ))−A0−M (g(A00 ) − g(A0 )) = 2M g(A0 ).Если же A0 > A00 , то из этой же оценки получаем, что¯ A00¯¯Z¯¯¯¯ f (x)g(x) dx¯ 6 2M g(A00 ).¯¯¯ 0¯AЗададим теперь произвольное ε > 0. Так как g(x) → 0 при x → +∞, тоεε0и, тем более, ∀A0 > A : g(A∃A > 0 такое, что g(A) < 2M¯ 00) 6 g(A) < 2M¯ .¯A¯¯R¯000Следовательно, ∀A , A > A имеет место неравенство ¯ f (x)g(x) dx¯ 6¯A0¯+∞R2M g(A) < ε. По критерию Коши несобственный интегралf (x)g(x) dxaсходится.Пример 5.5.1.+∞R sin xdx.
Функция f (x) = sin x непрерывна и имеxαет на [1, +∞) ограниченную первообразную − cos x. Если α > 0,1то функция g(x) = α убывает при x > 1, стремится к нулю приxx → +∞ и имеет непрерывную производную g 0 (x) = −αx−α−1 . По+∞R sin xтеореме 5.3 интегралdx сходится при α > 0 (для α = 1αx1мы это уже доказали в примере 5.2).1При α 6 0 этот интеграл расходится. Для α = 0 это уже было доказано по определению в примере 5.1.2.
Пусть α < 0. Воспользуемся критерием Коши. Рассмотрим произвольное A > 1.Возмем ε = 1. Положим A0 = 2πn, A00 = 2πn + π, причем возмем n ∈ N столь большим, чтобы было A0 > A и A00 > A.Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода1191Тогда sin x > 0, α > (2πn)−α при A0 6 x 6 A00 , и поэтомуx¯¯ 00¯¯A2πn+πRR¯ sin x ¯−αdx>(2πn)sin x dx = 2 · (2πn)|α| > 1 = ε. Отсюда,¯¯α¯A0 x¯2πnсогласно критерию Коши, следует, что интеграл расходится приα < 0.2.+∞Rsin x2 dx — интеграл Френеля (он используется в оптике).0Представим его в виде+∞R=0R10++∞Rи во втором слагаемом поло-1+∞+∞RR sin tdt22√ dtжим x = t.
Тогда dx = √ и интегралsin x dx =2 t11 2 tсходится, как показано в предыдущем примере.В последнем примере мы использовали замену переменной в несобственном интеграле. Правомерно ли это? Справедлива следующая теорема.Теорема 5.4. Пусть1. функция f (x) непрерывна на [a, +∞) и+∞Rf (x) dx сходится;a2. функция g(t) определена и возрастает на [α, +∞), ее производнаяg 0 (t) непрерывна, а множеством значений функции g(t) является[a, +∞), в частности, g(α) = a.Тогда несобственный интегралсто равенство+∞Raf (x) dx =+∞R+∞Rf (g(t))g 0 (t) dt сходится и имеет ме-αf (g(t))g 0 (t) dt.αДоказательство.
Перейдем к пределу при A → +∞ в формуле заменыg −1RAR(A)переменной в собственном интеграле: f (x) dx =f (g(t))g 0 (t) dt.aαСформулируем также теорему об интегрировании по частям длянесобственного интеграла первого рода.120Несобственные интегралыТеорема 5.5. Пусть функции u(x) и v(x) определены и непрерывнывместе со своими первыми производными во всех точках промежутка[a, +∞).
Тогда имеет место равенствоZ+∞Z+∞u(x) dv(x) = lim u(b)v(b) − u(a)v(a) −v(x) du(x).b→+∞aaПри этом предполагается, что из двух интегралов и предела существуют и конечны два, тогда существует конечный третий.Доказательство. Перейдем к пределу при b → +∞ в обычной формулезамены переменной в собственном интеграле:ZbZbu(x) dv(x) = u(b)v(b) − u(a)v(a) −av(x) du(x), b > a.aПри этом если из трех слагаемых, зависящих от b, два имеют конечныепредельные значения, то конечное предельное значение имеет и третьеслагаемое.Пример интеграла Френеля показывает, что для сходящегося несоб+∞Rственного интеграла первого родаf (x) dx возможно, что lim f (x) 6=x→+∞a0.
Это значит, что для него не справедлив аналог необходимого условия∞Plim ak = 0 сходимости рядаak .k→∞5.3k=1Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов 1 родаОпределение 5.2. Несобственный интеграл+∞Raабсолютно сходящимся, если сходится интегралственный интеграл+∞Rf (x) dx называется+∞R|f (x)| dx. Несоб-af (x) dx называется условно сходящимся, еслиaон сходится, а интеграл+∞Ra|f (x)| dx расходится.Несобственные интегралы 2 рода121+∞Rf (x) dx абсолютно сходится, то он¯ 00¯¯A¯R¯¯сходится. Это следует из критерия Коши и неравенства ¯ f (x) dx¯ 6¯A0¯¯¯ 00¯A¯¯¯R¯ |f (x)| dx¯. Если правая часть неравенства < ε, то и левая < ε.¯¯A0Отметим, что если интегралaПример 5.6. Как было показано выше, интеграл+∞R sin x1xαdx сходитсяпри α > 0 и¯ расходитсяпри α 6 0.¯¯ sin x ¯Так как ¯¯ α ¯¯ 6 x1α , то при α > 1 этот интеграл сходится абсоxлютно. Докажем, что при 0 < α 6 1 он сходится условно, т.е.
при+∞R | sin x|0 < α 6 1 интегралdx расходится.αx1Поскольку | sin x| > sin2 x = 12 (1 − cos 2x), то для расходимости ин+∞R | sin x|тегралаdx достаточно (в силу признака сравнения) доказатьαx1+∞R 1 − cos 2xdx.расходимость интеграла2xα1+∞R cos 2xВ самом деле, интегралdx сходится при 0 < α 6 1 (это2xα1+∞R 1dxлегко доказать, используя признак Дирихле), а интегралα2x1расходится при 0 < α 6 1, поэтому расходится и интеграл+∞R 1 − cos 2xdx.2xα15.4Несобственные интегралы 2 родаОпределение 5.3. Пусть функция f (x) определена и не ограничена наполусегменте (a, b], но ограничена на любом сегменте [a + δ, b] ⊂ (a, b].Точку a назовем особой точкой функции f (x).
Ясно, что функция f (x)не интегрируема по Риману на (a, b]. Предположим, что функция f (x)интегрируема на любом сегменте [a + δ, b] и рассмотримZbf (x) dx.limδ→+0a+δ122Несобственные интегралыНе зависимо от того, существует этот предел или нет, назовем егонесобственным интегралом 2 рода от функции f (x) по полусегменту (a, b]Rbи будем обозначать так же, как определенный интеграл a f (x) dx. Если этот предел существует, то говорят, что несобственный интегралсходится, а если не существует — расходится.Геометрический смыслR b несобственного интеграла второго рода: еслиf (x) > 0 на (a, b], то a f (x) dx есть площадь бесконечной вверх криволинейной трапеции.Замечание 5.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
