Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Следовательно, последовательность x+nn=1на множестве [0, a] равномерно сходится к своему пределу 1.P∞Определение 4.3. Функциональный рядk=1 uk (x) равномерно сходится к своей сумме S(x) на множестве XÃ!∞XXобозначение:uk (x) ⇒ S(x) ,k=1если последовательность его частичных сумм Sn равномерно сходитсяк S(x) на X.Это означает, согласно определению 4.1, что ∀ε > 0 ∃N = N (ε) (одини тот же для всех x ∈ X) такой, что ∀n > N и ∀x ∈ X выполнено¯ ∞¯¯X¯¯¯|S(x) − Sn (x)| = ¯uk (x)¯ < ε,¯¯k=n+1т.е. при n > N остаток ряда меньше ε сразу для всех x ∈ X, или, согласноопределению 4.2, что¯¯∞¯X¯¯¯sup ¯uk (x)¯ → 0 при n → ∞.¯x∈X ¯k=n+184Функциональные последовательности и рядыПример 4.5.1.P∞1kk=1 x , X = [0 6 x 6 2 ], S(x) =x; |S(x) −1−xPxn+1kSn (x)| = k=n+1 x =.
Поскольку сумма ∞k=n+1 x растет с1−xростом x, тоµ ¶n( 12 )n+11sup |S(x) − Sn (x)| =→ 0 при n → ∞.=1121−[0, ]2P∞k2Следовательно,данный ряд сходится равномерно к своей сумме на¸·10, .2xxn+12. Тот же ряд, но X = [0, 1). S(x) =; |S(x) − Sn (x)| =,1−x1−xxn+1sup= ∞.[0,1) 1 − xСледовательно, на [0, 1) данный ряд сходится неравномерно.4.3Признаки равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядовТеорема 4.1 (критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности).
Для того чтобы функциональная последовательность {fn (x)} сходилась равномерно к некоторой функции f (x),необходимо и достаточно, чтобы ∀ε > 0 ∃N = N (ε) (не зависящий отx ∈ X) такой, что ∀n > N , ∀p ∈ N и ∀x ∈ X выполнялось неравенство|fn+p (x) − fn (x)| < ε.XДоказательство. 1. Необходимость. Пусть fn (x) ⇒ f (x). Тогда ∀ε >0 ∃N = N (ε) такой, что ∀n > N и ∀x ∈ X выполняется неравенствоε|fn (x) − f (x)| < ,2а т.к. n + p > n, p ∈ N, тоε|fn+p (x) − f (x)| < .2Поэтому ∀n > N , ∀p ∈ N и ∀x ∈ X:|fn+p (x) − fn (x)| = |fn+p (x) − f (x) − (fn (x) − f (x))| 6Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов6 |fn+p (x) − f (x)| + |fn (x) − f (x)| <85ε ε+ = ε.2 22. Достаточность. Зададим произвольное ε > 0.
Пусть ∀n > N , ∀p ∈ Nи ∀x ∈ X выполнено неравенствоε|fn+p (x) − fn (x)| < .(4.1)2Это означает, что ∀x ∈ X числовая последовательность {fn (x)} является фундаментальной и, следовательно, сходится к некоторомучислу, зависящему от x. Таким образом, последовательность {fn (x)}сходится на множестве X при n → ∞ к некоторой функции f (x).Поэтому, переходя в неравенстве (4.1) к пределу при p → ∞, получимε|f (x) − fn (x)| 6 < ε ∀n > N и ∀x ∈ X.2XНо это и означает, что fn (x) ⇒ f (x).Теорема 4.2 (критерий Коши равномерной сходимости функционально∞XPго ряда).
Для того чтобыuk (x) ⇒ S(x), необходимо и достаточно,k=1чтобы ∀ε > 0 ∃N = N (ε) (не зависящий от x ∈ X) такой, что ∀n > N ,∀p ∈ N и ∀x ∈ X выполнялось неравенство¯ n+p¯¯X¯¯¯|Sn+p (x) − Sn (x)| = ¯uk (x)¯ < ε.¯¯k=n+1Доказательство. Доказательство теоремы 4.2 дословно повторяет доказательство теоремы 4.1 с заменой fn (x) на Sn (x) и f (x) на S(x).∞PОпределение 4.4. Числовой рядpk с неотрицательными членамиk=1называется мажорантным (или мажорирующим) для функционально∞Pго рядаuk (x) на множестве X, если ∀k и ∀x ∈ X: |uk (x)| 6 pk .k=1Теорема 4.3 (признак Вейерштрасса1 ). Если для функционального ряда∞Puk (x) на множестве X существует сходящийся мажорантный рядk=1∞Ppk , то функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно наk=1множестве X.1Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815–1897) — немецкий математик.86Функциональные последовательности и рядыДоказательство.
Зададим произвольное ε > 0. По критерию Коши длячисловых рядов ∃N ∈ N такой, что ∀n > N и ∀p ∈ N¯¯ n+pn+p¯X ¯X¯¯pk ¯ =pk < ε.¯¯¯k=n+1k=n+1Поскольку |uk (x)| 6 pk , то ∀n > N , ∀p ∈ N и ∀x ∈ X выполняется¯ n+p¯n+pn+p¯X¯XX¯¯|uk (x)| 6pk < ε.uk (x)¯ 6¯¯¯k=n+1k=n+1k=n+1Таким образом, для функционального ряда выполнено условие критерия Коши равномерной сходимости. Следовательно, функциональныйряд сходится равномерно и, очевидно, абсолютно.Замечание 4.1. Верно ли утверждение, обратное утверждению теоремы 4.3? Иначе говоря, следует ли из равномерной сходимости на мноPжестве X функционального ряда ∞k=1 uk (x) существование сходящегося мажорантного ряда?Ответ отрицательный.PДействительно, пусть числовой ряд ∞k=1 ak сходится условно. РасP∞смотрим функциональный ряд k=1 uk (x), uk (x) = ak = const на произвольном множестве X.
Если бы для него существовал сходящийсяPмажорантный ряд, то по предыдущему замечанию ряд ∞k=1 ak сходился бы абсолютно, что не верно.∞ 1∞ sin kxPP| sin kx|1, α > 1, |uk (x)| =6 α =: pk ; рядПример 4.6.ααkαkk=1 kk=1 k∞ sin kxPпри α > 1 сходится, следовательно, функциональный рядсхоαkk=1дится равномерно на всей числовой прямой.Ниже мы увидим, что при 0 < α 6 1 данный ряд сходится неравномерно на R.Определение 4.5.
Функциональная последовательность {fn (x)},x ∈ X называется равномерно ограниченной на множестве X, если∃A > 0 такое, что ∀n ∈ N и ∀x ∈ X выполняется неравенство|fn (x)| < A.Пример 4.7. 1. Функциональная последовательность sin nx равномерно ограничена на R.Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов2. Рассмотрим функциональную последовательность fn (x) =x > 0. Поскольку87xn,x+nx2x(n + x) − x2=x−< x,0 6 fn (x) =x+nx+n(x + n)n − n2n20 6 fn (x) ==n−< n,x+nx+nто последовательность fn (x) состоит из ограниченных функций,и, кроме того, при каждом x числовая последовательность |fn (x)|ограничена.
Однако поскольку fn (n) = n2 → ∞ при n → ∞, топоследовательность fn (x) не является равномерно ограниченной.Как и для числовых рядов, признаки Дирихле и Абеля относится крядам вида∞Xak (x)bk (x).(4.2)k=1Введем обозначение: Bn (x) =nPbk (x).k=1Теорема 4.4 (признак Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов). Пусть1) функциональная последовательность {an (x)} монотонна при каждом x ∈ X и равномерно на множестве X сходится к нулю;2) последовательность {Bn (x)} равномерно ограничена на множестве X.Тогда ряд (4.2) равномерно сходится на множестве X.Доказательство.
Доказательство теоремы 4.4 дословно повторяет доказательство теоремы о признаке Дирихле для числовых рядов, но толькотеперь нужно опираться на критерий Коши равномерной сходимости рядов:¯ n+p¯¯X¯¯¯ak (x)bk (x)¯ 6 2M |an+1 (x)| < ε, ∀n > N (ε), ∀p ∈ N, ∀x ∈ X,¯¯¯k=n+1где |Bn (x)| 6 M, ∀n ∈ N, ∀x ∈ X.88Функциональные последовательности и рядыP∞Теорема 4.5 (Абель). Если рядk=1 bk (x) равномерно сходится намножестве X, а последовательность ak (x) монотонна при каждомx ∈ X и равномерно ограничена, то ряд (4.2) равномерно сходится намножестве X.Доказательство. Доказательство признака Абеля для числовых рядовиз предыдущей главы не переносится непосредственно на данный случай,т.к. последовательность ak (x) не обязана равномерно сходиться и нам неудастся применить признак Дирихле, как в том доказательстве.Будем действовать аналогично доказательству признака Дирихле длячисловых рядов, проверяя критерий Коши равномерной сходимостифункционального ряда.
Выберем и зафиксируем произвольное ε > 0.ПустьP|ak (x)| < M = const > 0, ∀x ∈ X. Из равномерной сходимостиряда ∞k=1 bk (x), в силу того же критерия Коши следует существованиеN (ε) ∈ N такого, что ∀n > N (ε) и ∀p ∈ N, ∀x ∈ X выполнено неравенство¯ j¯¯X¯ε¯¯bk (x)¯ <, ∀j > n + 1.(4.3)¯¯¯ 3Mk=n+1Выберем и зафиксируемпроизвольное n > N (ε). Обозначим Bn (x) :=Pj0, Bj (x) := k=n+1 bk (x), j > n + 1.
В силу (4.3) справедливы неравенεства |Bj (x)| <, j > n.3MТождество Абеля (3.25) примет, в данном случае, вид:n+pXk=n+1ak (x)bk (x) = Bn+p (x)an+p (x) +n+p−1X(ak (x) − ak+1 (x))Bk (x).k=n+1Используя постоянство знака разности ak (x) − ak+1 (x), получим ∀x ∈X, ∀p ∈ N¯ n+p¯ n+p−1¯X¯X¯¯ak (x)bk (x)¯ 6|Bk (x)||ak (x) − ak+1 (x)| + |Bn+p (x)||an+p | 6¯¯¯k=n+1k=n+1Ãn+p−1!Xε|ak (x) − ak+1 (x)| + |an+p | =63Mk=n+1¯Ã¯n+p−1!¯X¯ε¯¯=(ak (x) − ak+1 (x))¯ + |an+p | =¯¯3M ¯k=n+1ε(|an+1 (x) − an+p (x)| + |an+p (x)|) 6=3MРавномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов89εε(|an+1 (x)| + 2|an+p (x)|) <3M = ε.3M3MВ силу критерия Коши равномерной сходимости функционального ряда,из этого следует равномерная сходимость ряда (4.2).6С помощью этой теоремылегко доказать вторую теорему Абеля проP∞степенные ряды: если ряд k=1 ck z k , ck ∈ C имеет конечный радиус сходимости R и сходится в некоторой точке z0 , |z0 | = R к S0 , то его суммаS(z), |z| < R при стремлении z по радиусу к z0 стремиться к S0 .2∞ sin kxPПример 4.8., 0 < α 6 1.
Мы уже видели ранее, что приαk=1 kфиксированном α > 1 этот ряд сходится равномерно по x ∈ R. Пусть1bk (x) := sin kx, ak (x) := α ¸ 0 при k → ∞, т.е. условие 1 теоремы 4.4kвыполнено; исследуем вопрос о равномерной ограниченности частичных∞Pсумм рядаsin kx.k=1Из формулы sin α sin β = 21 (cos(α − β) − cos(α + β)) при x 6= 2mπ,m ∈ Z получае쵶¶ ¶µnn µX1x 1X1x − cos k +x =sin kx sin =cos k −2222k=1µµ µµk=1 ¶ ¶¶n+11x1n1=cos − cos n +x =cosx− x −222222µ¶¶n+1nn+1n− cosx+ x= sinx sin x ⇒2222nnXsin n+12 x sin 2 x.sin kx =sin x2k=1Отсюда мы видим, что¯¯n¯X¯11¯¯|Bn (x)| = ¯sin kx¯ 6 ¯¯ x ¯¯ 6 ¯ δ ¯¯sin ¯¯¯sin 22k=1∀x ∈ X :=+∞[∀δ : 0 < δ < 2π,[2mπ + δ, 2(m + 1)π − δ] .m=−∞2Действительно, переходя к переменной ζ := z/(Rz0 ), можно считать, что R = z0 = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
