Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Доказательство теоремы 4.5 не претерпевает изменения и при комплексных bk (x). Положим z =x ∈ [0, 1], bk (x) = ck , ak (x) = xk и по теореме 4.5 получим равномерную сходимость ряда ксумме S(x), x ∈ [0, 1], которая, в силу равномерной сходимости, как это будет показано ниже,непрерывна.¤90Функциональные последовательности и рядыТаким образом, условие 2 теоремы 4.4 выполнено на множестве X, иданный ряд сходится на X равномерно.∞ sin kxPПонятно, что ряд, 0 < α 6 1 сходится к нулю и приαk=1 kx = 2mπ, m ∈ Z, но сходится ли он равномерно на R? Ответ отрицательный.Докажем, что данный ряд не сходится равномерно даже на [−ε, ε]∀ε > 0.Действительно,в силу выпуклости вверх графика синуса на сегменh πi2tπте 0, , имеем sin t >, 0 6 t 6 .
Пусть натуральное числоπ2π2N > . Тогда4ε¯ 2N¯¡ π¢2N2N¯ X sin kx ¯XXsin k 4N2 πk¯¯sup ¯>=>¯α ¯¯kkπk4N|x|6εk=N +1=k=N +12NXk=N +1k=N +1N11== .2N2N2πТут первое неравенство получено подстановкой x = 4N6 ε, а второе2tπ– с помощью формулы sin t > , 0 6 t 6 .π2Таким образом, условия критерия Коши (теорема 4.2) равномернойсходимости рассматриваемого ряда не выполнены.4.44.4.1Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядовРавномерная сходимость и непрерывностьМы уже отмечали в примере 4.1, что последовательность непрерывныхфункций может сходиться к разрывной функции, а пример 4.3 показывает, что сумма ряда, составленного из непрерывных функций, можетоказаться разрывной функцией.Следующая теорема дает достаточные условия непрерывности предела функциональной последовательности.Теорема 4.6.
Пусть функции fn (x) непрерывны на промежутке X ипусть fn (x) ⇒ f (x) на X. Тогда функция f (x) непрерывна на X.Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов91Доказательство. Докажем непрерывность функции f (x) в произвольной точке x0 ∈ X. Требуется доказать, что ∀ε > 0 ∃δ > 0 такое, что|f (x) − f (x0 )| < ε при |x − x0 | < δ.XЗададим произвольное ε > 0. В силу {fn } ⇒ f (x), ∃N = N (ε) такое,что ∀n > N и ∀x ∈ X:ε|fn (x) − f (x)| <(4.4)3и, в частности,ε|fn (x0 ) − f (x0 )| < .(4.5)3Возмем какую-нибудь функцию fn (x) с фиксированным номером n >N . Так как fn (x) непрерывна в точке x0 , то для заданного ε ∃δ > 0 такое,чтоε|fn (x) − fn (x0 )| <при |x − x0 | < δ.(4.6)3Из (4.4)–(4.6) следует, что при |x − x0 | < δ|f (x) − f (x0 )| = |f (x) − fn (x) + fn (x) − fn (x0 ) + fn (x0 ) − f (x0 )| 6ε ε ε6 |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (x0 )| + |fn (x0 ) − f (x0 )| < + + = ε.3 3 3εИспользованный при доказательстве прием называется « -приемом».3Равномерная сходимость — только достаточное, но не необходимоеусловие непрерывности предельной функции последовательности непрерывных функций.
В примере 4.4.2 уже была рассмотрена функциональная последовательность, неравномерно сходящаяся к своему непрерывному пределу.Теорема 4.7. Если все функции uk (x) непрерывны на промежутке X∞Pи рядuk (x) сходится равномерно на X, то сумма ряда S(x) непреk=1рывна на X.Доказательство.
Так как функция uk (x) непрерывна, то частичная сумnPма Sn (x) =uk (x) непрерывна на X. По условию {Sn (x)} ⇒ S(x) наk=1X. Поэтому по теореме 4.6 функция S(x) непрерывна на X.92Функциональные последовательности и рядыРис. 4.3: графики функций а) u0 и б) u1 .Пример 4.9 (пример Ван-дер-Вардена3 непрерывной на R, но нигде недифференцируемой функции). Обозначим через u0 (x) расстояние между числом x ∈ R и ближайшим к ·x целым ¸числом. Эта функция линейs s+1, s ∈ Z, непрерывна и имеетна на каждом промежутке вида ,2 21период 1, см. рис. 4.3 a).
Положим uk (x) = k u0 (4k x), k ∈ N. Эта функ4¸·s s+1, s ∈ Z, непрерывна иция линейна в промежутках вида,2 · 4k 2 · 4k1имеет период k . Ее графиком является аналогичная ломаная, но с бо4лее мелким зубчиками и угловым коэффициентом ±1, см. рис. 4.3 б).Ясно, что10 6 uk (x) 6, k = 0, 1, 2, . . .(4.7)2 · 4k∞PПусть f (x) :=uk (x). В силу (4.7), по признаку Вейерштрасса иk=0теореме 4.7 функция f (x) непрерывна.Зафиксируем произвольную точку x0 ∈ R и докажем, что в точке x0функция f (x) не дифференцируема. Ясно, что ∀n ∈ N ∃sn ∈ Z такое,что·¶sn sn + 1x0 ∈ ∆n :=,.2 · 4n 2 · 4nЯсно, что ∆0 ⊃ ∆1 ⊃ ∆2 ⊃ . .
. Пусть xn ∈ ∆n — такое, что |x0 −1xn | = n+1 — половине длины полуинтервала ∆n , ∀n ∈ N. Отсюда4xn → x0 ∈ ∆n , n → ∞. Составим отношение приращений:∞f (xn ) − f (x0 ) X uk (xn ) − uk (x0 )=.xn − x0xn − x0k=03Ван-дер-Варден Бартел Лендерт (1903–1996) — голландский математикРавномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов1При k > n числократно периоду4n+1uk (xn ) = uk (x0 ), и поэтому∞Xuk (xn ) − uk (x0 )xn − x0k=0=1функции uk (x), так что4knXuk (xn ) − uk (x0 )k=093xn − x0.(4.8)Но функция uk (x) линейна на ∆k ⊃ ∆n при k 6 n. Отсюдаuk (xn ) − uk (x0 )= ±1 (знаки произвольны).
Значит, при четных n чисxn − x0ло (4.8) — нечетное, а при нечетных n — четное. Поэтому последоf (xn ) − f (x0 )не имеет предела при n → ∞, и пределвательностьxn − x0f (x0 + ∆x) − f (x0 )limтакже не существует.∆x→0∆xТаким образом, функция f (x) не имеет производной ни в одной точке x0 ∈ R.4.4.2Переход к пределу под знаком интеграла и почленноеинтегрирование рядаПусть lim fn (x) = f (x) на промежутке X и пусть все fn (x) и f (x) —n→∞интегрируемые функции. Пусть x0 и x — произвольные точки из промежутка X.
Рассмотрим вопрос о справедливости равенстваZx?limZx hfn (t) dt =n→∞x0Zxilim fn (t) dt = f (t) dt.n→∞x0x0Если это равенство справедливо, то говорят, что можно переходить кRxпределу под знаком интеграла fn (t) dt.x0Следующий пример показывает, что переход к пределу под знакоминтеграла не всегда возможен.2Пример 4.10. fn (x) = nxe−nx → f (x) ≡ 0, n → ∞, x > 0. Возмемx0 = 0 и любое x > 0. ТогдаZxZx2nte−ntfn (t) dt =00¯x´1 −nt2 ¯¯11³−nx2dt = − e1−e→=¯222094Функциональные последовательности и рядыZxпри n → ∞, ∀x > 0,ноZxf (t) dt =00 dt = 0.0Таким образом,1= lim2 n→∞ZxZxfn (t) dt 6=0lim fn (t) dt = 0.n→∞0Аналогичный вопрос можно поставить и для сходящегося функцио∞Pнального рядаuk (x): верно ли равенствоk=1Zx ÃX∞x0!uk (t)∞ ZXxdt =k=1uk (t) dt ?k=1 x0Если это равенство верно, то говорят, что ряд∞Puk (x) можно интегри-k=1ровать почленно от x0 до x.
Отметим, что для конечной суммы интегрируемых функций это всегда верно. Что касается ряда, то его не всегдаможно интегрировать почленно. Пример такого ряда можно построитьиз разностей соседних членов последовательности из примера 4.10.[a,b]Теорема 4.8. Пусть все функции fn (x) непрерывны на [a, b] и fn (x) ⇒f (x). Тогда ∀x0 ∈ [a, b]Zxx∈[a,b]Zxfn (t) dt ⇒x0f (t) dt.x0Доказательство. По определению равномерной сходимости нужно доказать, что ∀ε > 0 ∃N такое, что ∀n > N и ∀x ∈ [a, b] выполненонеравенство¯ x¯¯Z¯Zx¯¯¯ fn (t) dt − f (t) dt¯ < ε.¯¯¯¯x0x0[a,b]Зададим произвольное ε > 0. Так как fn (x) ⇒ f (x), то ∃N такое, что∀n > N и ∀x ∈ [a, b] выполнено неравенство |fn (x) − f (x)| < ε/(b − a).Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов95Тогда ∀n > N и ∀x ∈ [a, b]¯¯ ¯ x¯ ¯ x¯ x¯¯ ¯Z¯ ¯Z¯ZZx¯¯ ¯¯ ¯¯¯ fn (t) dt − f (t) dt¯ = ¯ (fn (t) − f (t)) dt¯ 6 ¯ |fn (t) − f (t)| dt¯ <¯¯ ¯¯¯ ¯¯¯ ¯¯ ¯¯x0x0x0x0ε<|x − x0 | 6 ε.b−aЗамечание 4.2.
Отметим, что при выполнении условий теоремы 4.8RbRbсправедливо fn (x) dx → f (x) dx.aaЗамечание 4.3. В теории интеграла Лебега имеется значительно более сильная теорема Лебега. В ней требуется, что бы последовательность интегрируемых по Лебегу функций (по модулю) имела интегрируемую мажоранту и сходилась бы почти всюду, т.е. всюду, за исключением точек некоторого нуль множества. Тогда предельная функцияинтегрируема и возможен переход к пределу под знаком интеграла.Теорема 4.9.
Если все функции uk (x) непрерывны на [a, b] и ряд[a,b]∞Puk (x) ⇒ S(x), то ∀x, x0 ∈ [a, b]k=1Zx ÃX∞x0!∞ ZXxdt =uk (t)k=1uk (t) dtk=1 x0(т.е. ряд можно интегрировать почленно), причем ряд∞ RxPuk (t) dtk=1 x0сходится равномерно по x ∈ [a, b] при любом x0 .Доказательство. Так как uk (x) — непрерывные функции, то Sn (x) =[a,b]nPuk (x) — непрерывная функция на [a, b]. По условию теоремы Sn (x) ⇒k=1S(x). Поэтому по теореме 4.8Sn (t) dt =x0[a,b] RxSn (t) dt ⇒x0НоZxRxZx Xnx0 k=1x0n ZXZxxuk (t) dt =S(t) dt, ∀x0 ∈ [a, b].k=1 x0uk (t) dt;S(t) dt =x0Zx ÃX∞x0k=1!uk (t)dt.96Функциональные последовательности и рядыТаким образом,nXk=1uk (t) dt ⇒nPÃ!uk (t)dt.k=1x0!Rxuk (t) dt¶uk (t) dt.равномерно сходится на [a, b] кk=1 x0µ∞Rx Px04.4.3Zx ÃX∞[a,b]x0Это означает, что рядсвоей сумме, равнойZxk=1Переход к пределу под знаком производной и почленноедифференцирование рядаПусть lim fn (x) = f (x) на промежутке X и пусть все fn (x) и f (x) —n→∞дифференцируемые функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
