Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

В силу непрерывности нормы, скалярное произведение (4.10)также непрерывно, поэтому из последнего равенства вытекает(λx, y) = λ(x, y) ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ L.(4.13)Из равенств (4.11) и (4.13) вытекает линейность скалярного произведения (4.10), что и завершает доказательство.Таким образом, нами доказана следующая теорема.Теорема 4.12. В нормированном пространстве L норма k·k порожденаскалярным произведением тогда и только тогда, когда она удовлетворяет тождеству параллелограмма (4.9).Пример 4.13. Рассмотрим линейное пространство C[a, b] непрерывных вещественнозначных функций, определенных на отрезке [a, b].Снабдим это пространство нормойkf kC = sup |f (x)|.x∈[a,b]Аксиомы нормы проверяются в этом случае без труда.Поскольку для функций f, g ∈ C[a, b], графики которых показаны нарисунке 4.4, имеют место равенства kf + gk = kf − gk = kf k = kgk = 1,то тождество параллелограмма (4.9) в данном случае не выполнено, и впространстве C[a, b] нельзя ввести скалярное произведение, согласованное с нормой.Еще более общий класс пространств образуют метрические пространства.Нормированные и метрические пространства103Рис.

4.4: пара функций, не удовлетворяющих тождеству параллелограмма в пространстве C[a, b].Определение 4.10. Множество X называется метрическим пространством, если на множестве пар элементов из X определена вещественнозначная неотрицательная функция ρ(f, g), f, g ∈ X, называемая расстоянием, такая, что1) ρ(f, g) = 0 ⇔ f = g;2) ρ(f, g) = ρ(g, f ) (аксиома симметрии);3) ρ(f, g) 6 ρ(f, h) + ρ(h, g) (неравенство треугольника).Первая аксиома означает, что функция ρ(·, ·) различает точки множества X.Легко проверить, что нормированные (а значит, и евклидовы) пространства являются метрическими с функцией ρ(f, g) = kf − gk.

Метрическое пространство не обязано быть линейным, но никаких метрическихпространств, отличных от нормированных, мы рассматривать не будем.Определение 4.11. Метрические пространства X1 и X2 с метрикамиρ1 и ρ2 , соответственно, изометричны (изоморфны), если существует биективное отображение ϕ: X1 7→ X2 такое, что ρ2 (ϕ(f ), ϕ(g)) =ρ1 (f, g) ∀f, g ∈ X1 . При этом отображение ϕ называется изометрией(изоморфизмом) метрических пространств.Определение 4.12. Последовательность {fn } элементов метрического пространства X сходится к элементу f ∈ X тогда и только тогда,когда ρ(fn , f ) → 0 при n → ∞.Говоря о сходимости последовательностей в нормированных пространствах, мы будем иметь в виду сходимость по метрике, порожденной нормой.104Функциональные последовательности и рядыОпределение 4.13. Последовательность {fn } элементов метрического пространства X называется фундаментальной, если ∀ε > 0 ∃N ∈ Nтакое, что ρ(fn , fm ) < ε при ∀n, m > N .С помощью неравенства треугольника легко проверить, что сходящаяся последовательность элементов метрического пространства являетсяфундаментальной.

Однако, в отличие, например, от вещественной оси,в произвольном метрическом пространстве не всякая фундаментальнаяпоследовательность сходится.Определение 4.14. Метрическое пространство X называется полным, если любая фундаментальная последовательность элементовпространства X сходится к некоторому элементу из X.В полном метрическом пространстве X справедлив обычный критерий Коши: последовательность элементов из X сходится тогда и толькотогда, когда она фундаментальна.Поскольку нормированное пространство является метрическим, то нанего переносятся определения фундаментальности и полноты.Пример 4.14.

Множество Q рациональных чисел является метрическим пространством с метрикой ρ(x, y) = |x − y|, x, y ∈ Q. Онодаже является линейным нормированным пространством над самимсобой как числовым полем. Однако полным оно не является, в чем и состоит основная причина введения вещественных чисел. Так, в первомсеместре доказывалось, что последовательность рациональных чисел{xn }, заданная рекуррентной формуло鵶a1xn +, a ∈ Q, a > 0, x1 ∈ Q, x1 > 0, n = 1, 2, 3, . . .

,xn+1 =2xn√сходится к числу a, которое для многих a ∈ Q является иррациональным. Другая последовательность рациональных чисе뵶n1xn = 1 +nсходится к иррациональному числу e.Заметим, что нормы пространств C[a, b] и Q[a, b] можно вычислять идля многих функций, не принадлежащих пространствам C[a, b] и Q[a, b],соответственно, и эти нормы удовлетворяют всем аксиомам нормы, возможно кроме того, что из kf k = 0 следует f (x) ≡ 0.Нормированные и метрические пространства105Очевидно, что сходимость в пространстве C[a, b] является равномерной сходимостью функциональных последовательностей на сегменте[a, b]. Поскольку равномерный предел непрерывных на сегменте функцийявляется непрерывной функцией, пространство C[a, b] является полным.Сходимость в пространстве Q[a, b] называется сходимостью в среднеквадратичном.

Это пространство полным не является.Теорема 4.13. Если последовательность fn (x) ∈ Q[a, b] сходится кфункции f (x) ∈ Q[a, b] по норме пространства Q[a, b], тоZxx∈[a,b]Zxfn (t)dt ⇒x0f (t)dt, n → ∞, x0 ∈ [a, b].x0Доказательство. Действительно, в силу интегрального неравенстваКоши-Буняковского,¯ x¯¯Z¯ ZbZx¯¯¯ fn (t)dt − f (t)dt¯ 6 |fn (t) − f (t)|dt 6¯¯¯¯x0x0avu buZ√u6 b − at (fn (t) − f (t))2 dt → 0, n → ∞.aТеорема 4.14.

Если функции f (x), fn (x) интегрируемы на сегменте[a,b][a, b] и fn ⇒ f , то kfn − f kQ[a,b] → 0 при n → ∞.[a,b]Доказательство. Зададим произвольное ε > 0. В силу fn ⇒ f существует такое N , что ∀n > N и ∀x ∈ [a, b] выполнено неравенствоε|fn (x) − f (x)| <. Тогда ∀n > N выполнено неравенство(b − a)1/2Zb|fn (x) − f (x)|2 dxkfn − f kQ[a,b] = a1/2<ε(b − a)1/2Это и означает, что kfn − f kQ[a,b] → 0 при n → ∞.Zb1/2dxa= ε.106Функциональные последовательности и рядыЗамечание 4.4. Можно доказать5 , что условие интегрируемостифункции f в этой теореме следует из остальных, т.е.

равномерныйпредел интегрируемых функций является функцией интегрируемой.Эта теорема означает, в частности, что из равномерной сходимостиследует сходимость в среднеквадратичном. Как показывает следующий пример, обратное неверно, т.е. из сходимости по норме k · kQ[a,b]не следует даже поточечная сходимость, не говоря уже о равномерной.Пример 4.15.

Для ∀k ∈ N определим функциональную последовательность на сегменте [0, 1] формулой:ii−11,<x< ,kki = 1, 2, . . . , k.fki (x) = 1 , x = i − 1 , i2k k0, в остальных точках сегмента [0, 1],Положим {fn (x)} = {f11 , f21 , f22 , f31 , f32 , f33 , . . . , fk1 , fk2 , . . .

, fkk , . . .} ⊂µ ¶1/21→ 0 при k → ∞. Однако ни в однойQ[0, 1]. Имеем kfki kQ[0,1] =kточке сегмента [0, 1] последовательность fn (x) не сходится.Следующий пример показывает, что и из поточечной сходимости неследует сходимость по норме k · kQ[a,b] .Пример 4.16. Определим функциональную последовательность{fn (x)} на сегменте [0, π]:n1/2 sin nx, 0 6 x 6 π ,nfn (x) =π0,6 x 6 π.nЯсно, что fn (x) → 0 для любого фиксированного x.

В то же время,kfn k2Q[a,b]Zπ/nZπ1π=n sin2 (nx)dx =(1 − cos 2t)dt = .2200Значит, kfn kQ[a,b] 6→ 0 при n → ∞.5См. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, ч. II, гл. 1, §2, с. 27.Теорема Арцела107Рис. 4.5: соотношения между различными видами сходимости функциональных последовательностей: по норме k · kQ[a,b] , поточечной и равномерной.Этот пример качественно похож на пример 4.10 на бесконечной полуоси.Соотношение между различными видами сходимости функциональных последовательностей: равномерной, поточечной и по норме k · kQ[a,b] ,изображено на рис.

4.5. Заметим, что поточечная сходимость, в отличиеот остальных двух, не является метрической.PОпределение 4.15. Функциональный ряд ∞k=1 uk (x) сходится по норме k · k к своей сумме S(x) тогда и только тогда, когда kSn − Sk → 0Pпри n → ∞ для Sn (x) := nk=1 uk (x).Таким образом, для функционального ряда, наряду с равномернойсходимостью, определено и понятия сходимости в среднеквадратичном.4.6Теорема АрцелаПо теореме Больцано–Вейерштрасса, изученной в первом и втором семестрах, из ограниченной числовой последовательности, а также из ограниченной последовательности точек m-мерного евклидова пространства,можно выделить сходящуюся подпоследовательность.Рассмотрим вопрос о возможности перенесения этого утверждения вбесконечномерное пространство C[a, b]. Пусть функциональная последовательность {fn (x)}, x ∈ [a, b], ограничена в пространстве C[a, b].

Длялюбой фиксированной точки x1 ∈ [a, b] числовая последовательность{fn (x1 )} ограничена, и из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность {fnk (x1 )}. Для другой точки x2 ∈ [a, b] также можно выделить сходящуюся подпоследовательность {fni (x2 )}, однако последовательности номеров nk и ni могут быть различны. Таким образом, ответна вопрос о возможностивыделенияиз последовательности {fn (x)} под©ªпоследовательности fnj (x) , сходящейся по норме пространства C[a, b]108Функциональные последовательности и рядыили хотя бы поточечно, не является очевидным.Положительный ответ на этот вопрос при некотором дополнительномусловии дает теорема Арцела.6Определение 4.16. Функциональная последовательность {fn (x)},x ∈ X называется равностепенно непрерывной на промежутке X, если ∀ε > 0 ∃δ > 0 такое, что ∀n ∈ N и ∀x0 , x00 ∈ X, удовлетворяющихусловию |x0 − x00 | < δ, выполняется неравенство|fn (x0 ) − fn (x00 )| < ε.Если в этом определении зафиксировать n, то мы получаем простоопределение равномерно непрерывной функции fn (x), поэтому существенно в этом определении то, что δ — общее для всех n и всех x ∈ X.Пример 4.17.

Характеристики

Список файлов лекций