Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Функциональная последовательность sin nx, x ∈ [0, 1]не является равностепенно непрерывной, хотя по теореме Кантора7каждая функция fn (x) равномерно непрерывна на [0, 1]. В самом деле,ππ1, x00 = , тогда ∀δ > 0 ∃n такое, что |x0 − x00 | =возмем ε = , x0 =22nnπ< δ, но при этом2n|fn (x0 ) − fn (x00 )| = | sinπ1− sin π| = 1 > ε = .22Из формулы конечных приращений Лагранжа легко следует, что достаточным условием равностепенной непрерывности последовательности{fn } на промежутке X является равномерная ограниченность последовательности {fn0 (x)} на промежутке X.Теорема 4.15 (Арцела).

Если функциональная последовательность{fn (x)} равномерно ограничена и равностепенно непрерывна на [a, b],то из нее можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на [a, b].Доказательство. Доказательство проведем в два этапа.1. Из последовательности {fn (x)} выделим подпоследовательность,сходящуюся во всех рациональных точках сегмента [a, b].6Арцела Чезаре (1847–1912) — итальянский математик.Кантор Георг Фердинанд Людвиг Филипп (1845–1918) — немецкий математик, основатель теории множеств.7Теорема Арцела1092.

Докажем, что эта подпоследовательность сходится равномерно на[a, b].1. В силу счетности множества всех рациональных чисел из всех рациональных точек сегмента [a, b] можно образовать числовую последовательность {xn }. Рассмотрим числовую последовательность{fn (x1 )}.Она ограничена. Поэтому по теореме Больцано–Вейерштрасса изнее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, которуюзанумеруем так: f11 (x1 ), f12 (x1 ), . . . , f1n (x1 ), .

. . Итак, функциональная последовательность f11 (x), f12 (x), . . . , f1n (x), . . . сходится в точке x1 . Выделим из нее подпоследовательность, сходящуюся в точкеx2 , и занумеруем ее так: f21 (x1 ), f22 (x1 ), . . . , f2n (x1 ), . . . Эта подпоследовательность сходится в двух точках: x1 и x2 . Из нее выделимподпоследовательность, сходящуюся в точке x3 . Продолжая этотпроцесс неограниченно, получим последовательность подпоследовательностейf11 (x), f12 (x), . . .

f1n (x), . . .f21 (x), f22 (x), . . . f2n (x), . . ................fn1 (x), fn2 (x), . . . , fnn (x), . . ................Каждая из этих последовательностей является подпоследовательностью предыдущих последовательностей, поэтому подпоследовательность, стоящая в n-ой строчке, сходится в точках x1 , . . . , xn . Следовательно, диагональная подпоследовательностьf11 (x), f22 (x), . . . , fnn (x), . .

.сходится во всех рациональных точках x1 , x2 , . . . , xn , . . . отрезка[a, b]. В самом деле, для любой точки xn диагональная подпоследовательность, начиная с номера n, является подпоследовательностью последовательности, стоящей в n-ой строчке, которая сходитсяв точке xn . Выделение диагональной подпоследовательности называется диагональной процедурой Кантора.2. Докажем, что подпоследовательность {fnn (x)} сходится равномернона [a, b].110Функциональные последовательности и рядыДля этого достаточно доказать, что она удовлетворяет условию критерия Коши равномерной сходимости функциональной последовательности, т.е. ∀ε > 0 ∃N такое, что ∀n, m > N и ∀x ∈ [a, b] выполнено неравенство |fnn (x) − fmm (x)| < ε.Зададим произвольное ε > 0. Так как последовательность {fn (x)}равностепенно непрерывна, то ∃ δ > 0 такое, что ∀n и ∀x0 , x00 ∈ [a, b],удовлетворяющих условию |x0 − x00 | < δ, выполняется неравенство|fn (x0 ) − fn (x00 )| < ε/3.(4.14)Для указанного δ из последовательности {xn } можно выбрать конечное число точек xn1 , xn2 , .

. . , xnp так, что они разобьют отрезок [a, b] на частичные сегменты, длины которых меньше δ.8 Тогда∀x ∈ [a, b] ∃xni такое, что |x − xni | < δ. Диагональная подпоследовательность сходится во всех рациональных точках, в том числе и вточках xn1 , xn2 , . . . , xnp . Поэтому, в силу критерия Коши для числовых последовательностей и конечности числа точек xni , i = 1, . .

. , p,для заданного ε ∃N = N (ε) такой, что ∀n, m > N выполнено неравенство:ε(4.15)|fmm (xni ) − fnn (xni )| < , i = 1, 2, . . . , p.3Возмем теперь любое x ∈ [a, b] и такое xni , что |x−xni | < δ. В силу (4.14),получаем:εε|fmm (x) − fmm (xni )| < , |fnn (x) − fnn (xni )| < .33Поэтому, используя (4.15), ∀n, m > N и ∀x ∈ [a, b] имеем:|fmm (x) − fnn (x)| 6 |fmm (x) − fmm (xni )| + |fmm (xni ) − fnn (xni )|+ε ε ε+|fnn (xni ) − fnn (x)| < + + = ε.3 3 3Таким образом, мы доказали выполнение условия критерия Коши равномерной сходимости подпоследовательности {fnn (x)} последовательности{fn (x)} на отрезке [a, b].Условие равномерной ограниченности последовательности {fn (x)} наотрезке [a, b] можно заменить на условие ограниченности этой последовательности в какой либо одной точке этого отрезка, т.к. из этого условия8Такое разбиение называется δ-сетью.Теорема Арцела111и равностепенной непрерывности, очевидно, следует равномерная ограниченность последовательности {fn (x)} на всем отрезке.Чтобы увидеть, как диагональная процедура Кантора работает в другой ситуации, докажем несчетность множества действительных чисел отрезка [0, 1].Теорема 4.16 (Кантор).

Множество действительных чисел отрезка[0, 1] несчетно.Доказательство. Рассмотрим произвольное счетное множество действительных чисел αi , i ∈ N отрезка [0, 1] и докажем существование наотрезке [0, 1] действительного числа, не принадлежащего данному счетному множеству. Очевидно, что этого достаточно для доказательстватеоремы. Запишем числа αi в виде бесконечных десятичных дробей:α1 = 0, a11 , a12 , a13 , .

. . a1n , . . . ,α2 = 0, a21 , a22 , a23 , . . . a2n , . . . ,α3 = 0, a31 , a32 , a33 , . . . a3n , . . . ,..............................αn = 0, an1 , an2 , an3 , . . . ann , . . . ,..............................,где aki — i-ая десятичная цифра числа αk . Построим десятичную дробьβ = 0, b1 , b2 , b3 , . . . bn , . . . диагональной процедурой Кантора, а именно:положим bn = 2, если ann = 1, и bn = 1, если ann 6= 1. Эта дробьне может совпасть ни с одним из чисел αi , поскольку ее i-ый десятичный знак отличен от i-ого десятичного знака дроби αi , и, в то же время, дробь β не содержит бесконечной серии нулей или девяток, т.е. непринадлежит к тому типу десятичных дробей, для которых нарушаетсявзаимно-однозначное соответствие между действительными числами идесятичными дробями.Глава 5Несобственные интегралыВо первом семестре изучались определенные интегралы по Риману отограниченных функций по конечным сегментам.

Однако в математике иее приложениях широко используются также интегралы от неограниченных функций и интегралы по всей вещественной прямой или полупрямой. Очевидно, что в таких случаях интегральные суммы интеграла поРиману будут неограничены и для корректного определения интеграланужно модифицировать его определение.5.1Несобственный интеграл 1 родаОпределение 5.1. Пусть функция f (x) определена на полупрямой a 6RAx < +∞ и пусть ∀A > a существует определенный интеграл f (x) dx.Независимо от того, существует или нетaZAlimf (x) dx,A→+∞aбудем называть его несобственным интегралом 1 рода от функции f (x)по полупрямой [a, +∞) и обозначатьZ+∞f (x) dx.aЕсли указанный предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.112Несобственный интеграл 1 рода113Геометрический смысл несобственного интеграла 1 рода — площадьбесконечной вправо криволинейной трапеции, взятая со знаком «+» приf (x) > 0 и взятая со знаком «−» при f (x) 6 0.Физическая трактовка несобственного интеграла 1 рода: если f (x) —+∞Rсила, тоf (x) dx — работа этой силы по перемещению материальнойaточки из точки a в +∞.Аналогично определяются несобственные интегралы по полупрямой(−∞, a] и по всей числовой прямой (−∞, ∞):ZaZaZ+∞ZAf (x) dx,f (x) dx := limf (x) dx.f (x) dx := limB→−∞−∞A→+∞B→−∞ B−∞BПример 5.1.Z+∞1.0dx= lim1 + x2 A→+∞ZA0¯A¯dx¯ ==limarctgx¯2A→+∞1+x0= lim arctg A =A→+∞2.π.2Z+∞ZAsin x dx = limsin x dx = lim (1 − cos A)A→+∞0A→+∞0Z+∞не существует, поэтому интегралsin x dx расходится.0¯A¯1dxdxx1−α ¯¯ , α 6= 1= lim= lim3.=1−αaxα A→+∞ xα A→+∞  ln x|A , α = 1aaa 1−α¢1 ¡ 1−α1−αaA−a, α 6= 1, α>11−α.= lim=α−1A→+∞ ln A , α = 1+∞, α 6 1aZ+∞Итак,+∞R dxaxαZAсходится при α > 1 и расходится при α 6 1.В примерах 1–3 первообразная вычислялась в элементарных функциях, и поэтому вопрос о сходимости несобственного интеграла сводился к114Несобственные интегралывопросу о пределе элементарной функции.

Характеристики

Список файлов лекций