Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 13
Текст из файла (страница 13)
. . (3.24)−√+√−√+. . .+ √n−1n+12−12+13−13+1Для него выполнены все условия признака Лейбница, кроме моно1тонности убывания модуля общего члена ряда, поскольку √<k+11√. Рассмотрим рядk+1−1¶ X∞ µ∞X112√.−√=k−1k−1k+1k=2k=276Числовые рядыОн расходится по асимптотическому признаку сравнения с гармоническим рядом. А поскольку расходящаяся последовательность его частичных сумм является подпоследовательностью последовательности частичных сумм ряда (3.24), то ряд (3.24) также расходится.Признаки Дирихле и Абеля относятся к рядам вида∞Xak bk(AB)k=1и являются наиболее употребительными признаками исследования сходимости рядов, не сходящихся абсолютно.11PnТеорема 3.14 (Дирихле).
12 Если частичные суммы Bn :=k=1 bkряда∞Xbk(B)k=1в совокупности ограничены:|Bn | 6 M ∈ R, ∀n ∈ N,а последовательность {ak } монотонна и стремится к нулю, то ряд(AB) сходится.Доказательство. Установим сначала следующее тождество Абеля13n+pXa k bk =k=n+1n+p−1X(ak − ak+1 )Bk + Bn+p an+p − Bn an+1 .(3.25)k=n+1В этом тождестве на числа ak , bk , k = 1, . . . , n + p не накладываетсяникаких ограничений.1411В некоторых учебниках первый признак называется также признаком Дирихле–Абеля, но мыбудем придерживаться терминологии, принятой в Математической энциклопедии, Математическомэнциклопедическом словаре, курсе Г.М.
Фихтенгольца и в ряде других книг.12Дирихле Петер Густав Лежён (1805–1859) — немецкий математик.13Абель Нильс Хенрик (1802–1829) — норвежский математик. В 2002 г. правительство Норвегииучредило премию Абеля по математике, присуждаемую ежегодно с 2003 г., размер которой близокк размеру Нобелевской премии.14Если записать тождество Абеля в видеn+pXk=n+1ak (Bk − Bk−1 ) = Bn+p an+p − Bn an+1 −n+p−1X(ak+1 − ak )Bk ,k=n+1то станет ясно, что оно является конечно-разностным аналогом формулы интегрирования по частям.Признаки сходимости произвольных рядов77В самом деле, подставляя равенство bk = Bk − Bk−1 в левуючасть (3.25), получаемn+pXak bk =k=n+1n+pXn+pXa k Bk −k=n+1n+p−1X=n+pXak Bk−1 =k=n+1ak Bk −k=n+1n+p−1Xak+1 Bk =k=n(ak − ak+1 )Bk + Bn+p an+p − Bn an+1 .k=n+1Перейдем теперь к собственно доказательству теоремы Дирихле. Безограничения общности, можем считать, что ak ↓ 0.Выберем произвольное ε > 0 и убедимся в выполнении для ряда (AB)условий критерия Коши.
По условию, существует такое число M > 0,что |Bn | 6 M , ∀n ∈ N. Поскольку ak ↓ 0, то ∃N ∈ N такое, что0 6 ak <εпри ∀k > N.2M(3.26)Используя теперь тождество Абеля, данные оценки и неравенство ak >ak+1 , получим¯ n+p¯ n+p−1¯X¯X¯¯ak bk ¯ 6|Bk |(ak − ak+1 ) + |Bn+p |an+p + |Bn |an+1 6¯¯¯k=n+1k=n+1Ãn+p−1!X6M(ak − ak+1 ) + an+p + M an+1 = M an+1 + M an+1 = 2M an+1 <k=n+1< 2Mε= ε ∀n > N, ∀p ∈ N.2MВ силу критерия Коши, из этого следует сходимость ряда (AB).Замечание 3.7. Признак Лейбница является частным случаем признака Дирихле при bk = (−1)k−1 .Теорема 3.15 (Абель). Если ряд (B) сходится, а последовательность {ak } монотонна и ограничена (и потому сходится к некоторомупределу a), то ряд (AB) сходится.Доказательство.
Рассмотрим ряды∞Xk=1(ak − a)bk ,∞Xk=1abk .(3.27)78Числовые рядыВ предположениях признака Абеля, второй ряд из (3.27) сходится, а кпервому ряду применим признак Дирихле, поэтому он также сходится.Остается заметить, что ряд (AB) является суммой рядов из (3.27) и применить теорему 3.11.Замечание 3.8. Аналог признака сравнения знакопостоянных рядов впредельной форме (следствие 3.3) для знакопеременных рядов не имеетместа. Действительно, рассмотрим ряды∞Xk=1ak ,∞Xbk ,k=1P∞k√ , bk = ak + 1 .
Рядпри ak = (−1)k=1 ak сходится по признаку Лейбница,kP∞ kа ряд k=1 bk расходится как сумма сходящегося и расходящегося рядов.akТем не менее lim= 1.k→∞ bkГлава 4Функциональные последовательностии рядыНаряду с числовыми последовательностями и рядами можно рассматривать последовательности и ряды, состоящие из функций. Естественно, что важнейшим свойством таких последовательностей и рядов попрежнему является их сходимость.
Однако некоторые свойства функций,образующих сходящуюся последовательность или ряд, такие как непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость, могут передаватьсяили не передаваться предельной функции или сумме ряда. Выяснениюусловий, обеспечивающих наследование предельной функцией или суммой ряда свойств членов последовательности или ряда, и посвящена, восновном, данная глава.4.1ОпределенияПоследовательность функций {fk (x)}∞k=1 , x ∈ X, определенных на некотором фиксированном множестве X, называется функциональной последовательностью.Если зафиксировать некоторое значение x = x0 , то мы получим числовую последовательность {fk (x0 )}∞k=1 .
Если полученная числовая последовательность сходится (расходится), то говорят, что функциональная последовательность сходится (расходится) в точке x0 , а точка x0называется точкой сходимости (расходимости) функциональной последовательности {fk (x)}∞k=1 .Если функциональная последовательность {fk (x)}∞k=1 сходится привсех x ∈ X, то говорят, что она сходится на множестве X.
В этом случае f (x) := limk→∞ fk (x) есть предельная функция последовательности{fk (x)}∞k=1 . В этом случае используется также обозначение fk (x) → f (x).7980Функциональные последовательности и рядыПример 4.1. Функциональная(последовательность fk (x) = xk , x ∈ R0, −1 < x < 1,сходится к функции f (x) :=и расходится при x 6∈1, x = 1(−1, 1]. При этом предельная функция f (x) является разрывной в точке 1.Аналогичные определения вводятся для функциональных рядов.Ряд∞Xuk (x),k=1составленный из функций uk (x), определенныхна некотором фиксированном множестве X, называется функциональным рядом.Если для x0 ∈ X числовой ряд∞Xuk (x0 )Рис.
4.1: последовательность xk и ее предел.k=1сходится (расходится), то говорят, что функциональный ряд сходится(расходится) в точке x0 , а точка x0 называется точкой сходимости(расходимости) данного функционального ряда. Для исследования вопроса о сходимости функционального ряда в данной точке можно использовать признаки сходимости числовых рядов.Если данный функциональный ряд сходится при всех x ∈ X, то говорят, что он сходится на множестве X. В этом случае его суммаS(x) =∞Xuk (x)k=1является функцией, определённой на множестве X.Пример 4.2. Функциональный ряд∞Xxk , x ∈ R,k=1являющийся суммой бесконечной геометрической прогрессии, сходитсяна интервале (−1, 1), и его сумма естьxS(x) =.1−xРавномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов81Во всех остальных точках вещественной оси ряд расходится.
Отметим, что члены и сумма ряда S(x) являются непрерывными функциями на X = (−1, 1).Может, однако, случиться и так, что сумма ряда из непрерывныхфункций является разрывной функцией.Пример 4.3. Функциональный ряд∞X(1 − x)xk , x ∈ R,k=1члены которого отличаются от членов предыдущего ряда множителем 1 − x, не зависящим от k, сходится на полуинтервале (−1, 1], иего сумма(x, −1 < x < 1,S(x) =0, x = 1является разрывной в точке 1 функцией.Таким образом, предел функциональной последовательности непрерывных функций и сумма ряда, составленного из непрерывных функций, могут быть разрывными функциями.
Ответ на вопрос о том, когдаэтого не происходит, связан с понятием равномерной сходимости.4.2Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядовОпределение 4.1. Функциональная последовательность fn (x) равномерно сходится к функции f (x) на множестве XX(обозначение: fn (x) ⇒ f (x)),если ∀ε > 0 ∃N ∈ N такое, что ∀n > N и ∀x ∈ X: |fn (x) − f (x)| < ε.С геометрической точки зрения неравенство |fn (x)−f (x)| < ε означает, что при n > N график любой функции fn (x) лежит в ε-окрестностиграфика функции f (x).Сформулируем второе (эквивалентное) определение равномерной сходимости функциональной последовательности, часто легче проверяемое.82Функциональные последовательности и рядыРис. 4.2: равномерная сходимость последовательности функций.Определение 4.2.
Функциональная последовательность fn (x) равномерно сходится к функции f (x) на множестве X, если lim sup |fn (x)−n→∞ Xf (x)| = 0.Отметим, что sup |fn (x) − f (x)| — числовая последовательность. ДваXопределения равномерной сходимости эквивалентны. Это следует из того, что sup |fn (x) − f (x)| 6 ε ⇔ |fn (x) − f (x)| 6 ε ∀x ∈ X.XПример 4.4. Рассмотрим вопрос о равномерной сходимости двухфункциональных последовательностей на двух разных множествах.1. fn (x) = xn .(a) X = [0, 21 ]: f (x) = lim xn = 0; sup |fn (x) − f (x)| = sup xn =n→∞[0, 12 ][0, 12 ]¡ 1 ¢n→ 0 при n → ∞. Следовательно, xn ⇒ 0 на [0, 12 ].2(b) X = [0, 1]:(f (x) = lim xn =n→∞0, 0 6 x < 1,1, x = 1,sup |fn (x)−f (x)| = sup xn = 1 6→ 0 при n → ∞.
Следовательно,[0,1][0,1)функциональная последовательность {xn } сходится к f (x) наотрезке [0, 1] неравномерно.(c) Вопросы для студентов.i. Сходится ли функциональная последовательность {xn } кфункции f (x) = 0 равномерно на [0, 1)? (Нет.)ii. Сходится ли функциональная последовательность {xn } кфункции f (x) = 0 равномерно на [0, 1 − δ], δ > 0? (Да.)Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов2. fn (x) =83nx+n .(a) X = [0, +∞): limn→∞ fn (x) = 1 =: f (x). Поскольку функцияxмонотонно растет с ростом x, тоx+n¯¯¯¯¯¯ x ¯¯ n¯ = 1 6→ 0− 1¯¯ = sup ¯¯sup |fn (x)−f (x)| = sup ¯¯¯x+nx+nx∈[0,+∞)x∈[0,+∞)x∈[0,+∞)© n ª+∞при n → +∞. Следовательно, последовательность x+nn=1на множестве [0, +∞) сходится к своему пределу 1 неравномерно.(b) X = [0, a], a ∈ (0, +∞):¯¯¯¯¯ n¯¯ x ¯¯= a →0sup |fn (x) − f (x)| = sup ¯¯− 1¯¯ = sup ¯¯¯ a+n[0,a][0,a] x + n[0,a] x + n© n ª+∞при n → +∞.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
