Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Ньютона, посвященныхстепенным рядам, работ Г. Лейбница и Я. Бернулли о применении рядовдля вычисления определенных интегралов и интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В 1712 г. Б. Тейлор нашел формулуразложения функций в степенные ряды, носящую теперь его имя (опубликована в 1715 г.). В несколько ином виде этот ряд был ранее известенЛейбницу и Я. Бернулли.В 18 веке ряды широко использовались для проведения численныхрасчетов, в частности в задачах небесной механики, с точностью, недостижимой в предыдущие века. Например, задачей вычисления числа π свозможно большей точностью математики интересовались еще с античности.1 В конце 16 века голландский математик Людольф ван Цейлен,затратив десять лет на вычисления числа π при помощи правильногоn-угольника при n = 60 · 229 = 32212254720, получил 20 точных знаков,а позднее довел число точных знаков до 35.2 Однако в начале 18 векапри помощи ряда∞2k+1Xk x(3.1)arctg x =(−1)2k + 1k=0при значительно меньших затратах труда было получено значительнобольше точных десятичных знаков числа π.
При x = 1 члены ряда (3.1)1Одной из причин этого была надежда обнаружить период в десятичном разложении π и затемдоказать, что оно рационально, что не верно, как было доказано в 1761 году И.Г. Ламбертом.2Нетрудно проверить, что, если pn и Pn – периметры вписанного и описанного правильныхмногоугольников вокруг окружности длины C, то pn < C < Pn . Архимед, рассмотрев 96-угольник,1получил оценку 3.14084 · · · ≈ 3 1071 6 π ≈ 3, 14159 6 3 7 ≈ 3.14285 .
. . . При этом, Архимед использовалформулы, выражающие периметр правильного вписанного или описанного многоугольника, черезпериметр предыдущего с вдвое меньшим числом сторон. Этим же пользовался и ван Цейлен.5758Числовые рядыслишком медленно убывают, однако используя формулы1111π= arctg 1 = arctg + arctg = 4 arctg − arctg4235239и ряд (3.1), математикам удалось вычислить свыше ста точных десятичных цифр. Например, Эйлер, бывший, кроме прочего, уникальнымвычислителем, получил 153 точных десятичных знаков числа π за 80часов, что более чем достаточно для всех практических приложений.33.1Основные понятия теории числовых рядовФормальная сумма∞Xak = a1 + a2 + a3 + .
. . , ak ∈ R(3.2)k=1называется числовым рядом, а соответствующая ей последовательностьSn =nXakk=1— последовательностью частичных сумм числового ряда.Определение 3.1. Числовой ряд (3.2) называется сходящимся, еслисходится последовательность Sn . При этом S = lim Sn называетсяn→∞суммой ряда (3.2). Если же последовательность Sn не сходится к конечному пределу, то ряд (3.2) называется расходящимся.При исследовании сходимости числовых рядов мы следим за малостью членов ak , т.е. за скоростью изменения членов последовательностиSn , в то время как при непосредственном исследовании сходимости последовательности Sn мы следим за приближением ее членов к некоторому пределу.
Таким образом, мы видим, что сходимость числовых рядовпредставляет собой иной взгляд на понятие сходимости по отношению ксходимости последовательностей.3По состоянию на 2011 год вычислено 10 триллионов десятичных знаков числа π. Примерыэффективных вычислений вручную с помощью рядов см. в книге Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т. 2, п. 409-412. Более подробно о истории вычислениячисла π можно прочитать в брошюре А.В. Жуков, О числе π, М: МЦНМО, 2002.Основные понятия теории числовых рядовПример 3.1.
Ряд∞X59(−1)k−1k=1расходится, поскольку последовательность его частичных сумм Sn =1n2 (1 − (−1) ) не имеет предела.Пример 3.2. Рассмотрим ряд∞Xq k−1 ,k=1составленный из членов геометрической прогрессии. Его частичнаясумма Sn при q 6= 1 имеет вид1 − qn1qnSn ==−.1−q1−q 1−qОчевидно, что при |q| < 1 последовательность частичных сумм Sn1сходится и имеет предел, равный 1−q.
Таким образом, при |q| < 1 рас1сматриваемый ряд сходится и имеет сумму, равную 1−q.При |q| > 1 последовательность Sn расходится, а значит, расходится и рассматриваемый ряд.Пример 3.3. Пусть x ∈ R. Докажем, что ряд∞Xxk−1(k − 1)!(3.3)k=1сходится к сумме ex .Действительно, в первом семестре было получено разложениефункции ex по формуле Маклоренаx x2xn−1xn θxe =1+ ++ ...
++ e , 0 < θ < 1.1! 2!(n − 1)! n!xОтсюда¯¯2n−1¯¯ |x|n |x|xxxx¯¯1 + ++ ... +−e ¯6e → 0 при n → ∞.¯1! 2!(n − 1)!n!Таким образом, ряд (3.3) сходится к функции ex .60Числовые рядыПример 3.4. Аналогично, используя формулу Маклорена для функцийsin x и cos x, можно доказать, что ряды∞∞X(−1)k−1 x2k−1 X (−1)k−1 x2k−2,(2k − 1)!(2k − 2)!k=1k=1сходятся при любом x и имеют суммы, соответственно, sin x и cos x.Следующие два свойства рядов сразу следуют из определения сходимости.Предложение 3.1. 1. Отбрасывание конечного числа членов ряда(или добавление к ряду конечного числа членов) не влияет на сходимость или расходимость этого ряда.2.
Если c = const 6= 0, то рядкогда сходится рядnPnPcak сходится тогда и только тогда,k=1ak .k=1Теорема 3.1 (критерий Коши4 ). Для того чтобы ряд (3.2) сходился,необходимо и достаточно, чтобы ∀ε > 0 ∃N такое, что ∀n > N и∀p ∈ N было выполнено неравенство¯ n+p¯¯X ¯¯¯ak ¯ < ε.(3.4)¯¯¯k=n+1Доказательство.
Доказательство критерия Коши сразу получается изкритерия Коши для сходимости последовательности частичных сумм Sn ,n+pPпоскольку Sn+p − Sn =ak .k=n+1Следствие 3.1. Величина rn :=∞Pak называется n-ым остаткомk=n+1ряда (3.2). Если ряд (3.2) сходится, то последовательность rn является бесконечно малой.Доказательство. Поскольку ряд для rn отличается лишь конечным числом слагаемых от ряда (3.2), то из сходимости последнего следует сходимость первого. Если же при этом перейти в левой части неравенства (3.4)4Коши Огюстен Луи (1789–1857) — французский математик.Ряды с неотрицательными членами61к пределу при p → +∞, то мы получим, что ∀ε > 0 ∃N такое, что∀n > N выполнено неравенство¯ ∞¯¯X ¯¯¯ak ¯ 6 ε.¯¯¯k=n+1Это и означает, что rn → 0.Аналогичным образом, полагая в (3.4) p = 1, получаемСледствие 3.2 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд (3.2)сходится, то lim ak = 0.k→∞При исследовании вопроса о сходимости ряда полезно сначала проверить выполнение необходимого признака сходимости.Пример 3.5.∞X1k=1k— гармонический ряд.
Необходимое условие сходимости для данного ряда, очевидно, выполнено. Однако данный ряд расходится. Действительно, если положить в критерии Коши p = n, то ∀n имеемn+p2nXX1111=>n = =: ε,kk2n2k=n+1k=n+1что влечет расходимость гармонического ряда.Частичные суммыnX1Hn :=kk=1гармонического ряда называются гармоническими числами и играютсущественную роль в теории чисел.3.2Ряды с неотрицательными членамиРассмотрим сначала вопрос о сходимости рядов со знакопостояннымичленами, поскольку для них последовательность Sn монотонна. Дляопределенности будем рассматривать ряды с неотрицательными членами, поскольку одновременная замена знаков всех членов ряда не влияетна его сходимость.62Числовые рядыИз свойств монотонных последовательностей вытекает следующаятеорема.Теорема 3.2.
Для сходимости ряда∞Xpk , p k > 0(3.5)k=1с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.Доказательство. Как уже было сказано, последовательность частичныхсумм ряда (3.5) монотонно не убывает, поэтому, если она ограничена,то она сходится. С другой стороны, как уже было доказано в первомсеместре, всякая сходящаяся последовательность ограничена.Следующие две теоремы, называемые признаками сравнения рядов,позволяют сделать вывод о сходимости или расходимости знакопостоянного ряда с помощью его сравнения с заведомо сходящимся или расходящимся рядом.Теорема 3.3.
Пусть имеется ряд (3.5) и ряд∞Xp0k , p0k > 0,(3.6)pk 6 p0k .(3.7)k=1причем выполнено неравенствоТогда из сходимости ряда (3.6) следует сходимость ряда (3.5), а израсходимости ряда (3.5) следует расходимость ряда (3.6).PPДоказательство. Пусть Sn := nk=1 pk , Sn0 := nk=1 p0k , тогда по условиютеоремы Sn 6 Sn0 . Последнее неравенство означает, что ограниченностьпоследовательности Sn0 влечет ограниченность последовательности Sn , анеограниченность последовательности Sn влечет неограниченность последовательности Sn0 . В силу теоремы 3.2 этого достаточно для доказательства теоремы.Замечание 3.1. На основании п. 1 предложения 3.1 теорема 3.3 останется справедливой, если в ее условии потребовать выполнение неравенства (3.7) не для всех номеров k, а лишь начиная с некоторого номера.Ряды с неотрицательными членами63Замечание 3.2. На основании п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
