Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 11
Текст из файла (страница 11)
2 предложения 3.1 теорема 3.3 останется справедливой, если в ее условии заменить неравенство (3.7) неравенствомpk 6 cp0k ,где c — произвольная положительная постоянная.Следствие 3.3. Признак сравнения из теоремы 3.3 можно сформулировать и в предельной форме: если существует пределpk= L, 0 6 L 6 +∞,k→∞ p0klim(3.8)то при L < +∞ из сходимости ряда (3.6) следует сходимость ряда(3.5), а при L > 0 из расходимости ряда (3.6) следует расходимостьряда (3.5).
В частности, при 0 < L < +∞ ряды (3.5) и (3.6) сходятсяили расходятся одновременно.Доказательство. Пусть выполнено равенство (3.8) при L < +∞. Тогда,по определению предела, для некоторого ε > 0 найдется номер N такой,что при k > N выполняется неравенствоL−ε<pk< L + ε.p0kПоэтому, при k > N справедливо неравенство pk < (L + ε)p0k . В силузамечания 3.2 это доказывает следствие при L < +∞.p0k1При L > 0 мы имеем lim=< ∞, откуда по уже доказанномуk→∞ pkLиз сходимости ряда (3.5) следует сходимость ряда (3.6). Поэтому, еслиряд (3.6) расходится, то расходится и ряд (3.5).Теорема 3.4. Пусть для всех номеров k > 1 справедливо неравенствоp0k+1pk+16 0 .pkpk(3.9)Тогда сходимость ряда (3.6) влечет за собой сходимость ряда (3.5), арасходимость ряда (3.5) влечет за собой расходимость ряда (3.6).Доказательство.
Перемножая неравенства (3.9) при k = 1, . . . , n − 1pnp0np1между собой, получим6 0 или pn 6 0 p0n . В силу замечания 3.2p1p1p1последнее неравенство завершает доказательство.64Числовые рядыТеорема 3.5 (признак д’Аламбера).51. Если ∀k, начиная с некоторого номера, выполнено неравенствpk+1pk+16q<1>1 ,(3.10)pkpkто ряд (3.5) сходится (расходится).2. Если существует пределpk+1= L,k→∞ pklim(3.11)то ряд (3.5) сходится при L < 1 и расходится при L > 1.Доказательство. Пусть p0k := q k (p0k := 1), тогда неравенство (3.10) можно переписать в вид嵶p0k+1p0k+1pk+1pk+16 0> 0.pkpkpkpkТогда первое утверждение теоремы следует из теоремы 3.4.Докажем второе утверждение теоремы.
Если в (3.11) L < 1, то положим ε := 12 (1 − L) > 0, тогда L + ε = 1 − ε. По определению пределапоследовательности для указанного ε найдется номер N такой, что приk>Npk+1L−ε<< L + ε = 1 − ε.(3.12)pkВ силу уже доказанного первого утверждения данной теоремы ряд (3.5)сходится.Если же L > 1, то положим ε := L − 1 > 0. Опять, по определениюпредела последовательности для указанного ε найдется номер N такой,pk+1что при k > N справедливо> L − ε = 1.
Тогда, в силу уже докаpkзанного первого утверждения данной теоремы ряд (3.5) расходится.Замечание 3.3. Неравенство (3.10) в теореме 3.5 нельзя заменить наpk+1< 1. В самом деле, как показано выше, гармоническийнеравенствоpkpk+1kряд расходится, но для этого ряда=< 1.pkk+15Д’Аламбер Жан ле Рон (1717–1783) — французский математик и философ.Ряды с неотрицательными членами65Если в теореме 3.5 L = 1, то о сходимости ряда (3.5) нельзя сказать ничего определенного. В самом деле, для расходящегося гармонического ряда L = 1, в то же время L = 1 и для сходящегося (как мыувидим ниже) ряда∞X1.k2k=1Пример 3.6.
Применим признак д’Аламбера в предельной форме к ряду∞Xk k/2k=1k!.Имеем¶k/2µpk+1(k + 1)(k+1)/2 k!11= limlim= lim √1+=k→∞k→∞ pk(k + 1)! k k/2 k→∞ k + 1kµ¶k/2√11lim 1 += 0 · e = 0 < 1,= lim √k→∞kk + 1 k→∞что означает сходимость рассматриваемого ряда.Теорема 3.6 (признак Коши). 1. Если ∀k, начиная с некоторого номера, выполнено√√kpk 6 q < 1 ( k pk > 1),(3.13)то ряд (3.5) сходится (расходится).2. Если существует пределlimk→∞√kpk = L,(3.14)то ряд (3.5) сходится при L < 1 и расходится при L > 1.Доказательство.
Пусть p0k := q k (p0k := 1), тогда неравенство (3.13) можно переписать в видеpk 6 p0k (pk > p0k ) .Тогда первое утверждение теоремы следует из теоремы 3.3 и условиясходимости геометрической прогрессии.Для доказательства второго утверждения теоремы следует дословноповторить рассуждения при доказательстве второго утверждения теореpk+1√мы 3.5, заменивна k pk . Теорема 3.6 доказана.pk66Числовые рядыЗамечание 3.4. Неравенство (3.13) в теореме 3.6 нельзя заменить на√неравенство k pk < 1, поскольку, например, для расходящегося гармо1√нического ряда имеем k pk = √< 1.kkЕсли в теореме 3.6 L = 1, то о сходимости ряда (3.5) нельзя сказать ничего определенного, как показывают те же два примера из замечания к предыдущей теореме.Пример 3.7.
Применим признак Коши в предельной форме к ряду∞Xk.2kk=1Имеемlimk→∞rk¶¶µµ11k1ln k1ln k= exp lim= e0 = < 1,= lim expkk→∞ 2k→∞ k2k222откуда следует сходимость рассматриваемого ряда.Оказывается, что признак Коши в предельной форме сильнее признака д’Аламбера в предельной форме. Именно, если существует предел(3.11), то и существует равный ему предел (3.14)6 . Таким образом, еслисходимость числового ряда может быть установлена с помощью признака д’Аламбера, то она может быть установлена и по признаку Коши.Обратное неверно. Действительно, для ряда∞X(−1)k + 3k=12k+11предел (3.14) существует и равен , а предел (3.11) не существует.2Теорема 3.7 (интегральный признак Коши–Маклорена).
Пусть функция f (x) неотрицательна и не возрастает всюду на полупрямой x > m,где m — произвольное фиксированное натуральное число. Тогда числовой ряд∞Xf (k)k=m6См. Ильин В.А., Позняк Э.Г., Основы математического анализа. Часть I. 3-e изд. М., Физматлит,1971. С. 422, 448–449. Тот же рассуждение имеется в курсе Г.М. Фихтенгольца.Ряды с неотрицательными членами67сходится тогда и только тогда, когда сходится последовательностьZnan = f (x)dx.mДоказательство. Пусть k ∈ N, k > m + 1, тогда, в силу невозрастанияфункции f (x) при x > m, справедливо неравенствоf (k) 6 f (x) 6 f (k − 1), k − 1 6 x 6 k.(3.15)В силу ограниченности и монотонности, функция f (x) интегрируема налюбом сегменте, содержащемся в луче [m, +∞), поэтому из (3.15) получаемZkZkZkf (k) =f (k) dx 6f (x) dx 6f (k − 1) dx = f (k − 1).
(3.16)k−1k−1k−1Суммируя неравенства (3.16) при m + 1 6 k 6 n, получаем:Znnn−1XXSn − f (m) =f (k) 6 an = f (x) dx 6f (k) = Sn−1 ,k=m+1где Sn :=nPm(3.17)k=mf (k). Последовательности {Sn } и {an } являются неубы-k=mвающими. Поэтому они сходятся тогда и только тогда, когда являютсяограниченными. Но из неравенства (3.17) следует, что ограниченностьодной из них влечет ограниченность другой.Пример 3.8.∞X1, α>0kαk=11— обобщенный гармонический ряд. Функция f (x) = α удовлетворяетxусловиям теоремы 3.7 и¯−α+1 ¯nx1n1−αZn¯−, α 6= 1;=1¯1−α1−α1−αan :=dx=1xα ln x|n = ln n,α = 1.11Отсюда по интегральному признаку Коши–Маклорена получаем, чтообобщенный гармонический ряд сходится тогда и только тогда, когдаα > 1.68Числовые рядыПример 3.9. Рассмотрим ряд∞ µXk=1¶1k+1− ln.kk(3.18)1Пусть ϕ(x) := x − ln(1 + x). Поскольку ϕ(0) = 0 и ϕ0 (x) = 1 − 1+x>0при x > 0, то ϕ(x) > 0 при x > 0.
Отсюда k1 − ln k+1k > 0 и ряд (3.18) –знакоположительный. Кроме того,¡¢11−ln1+x − ln (1 + x) 1klim k=lim= ,1x→0k→∞x22k2поэтому ряд (3.18) сходится по следствию 3.3. Его сумма обозначается C и называется постоянной Эйлера. До сих пор не известно, является ли она рациональным числом. Ее приближенное численное значениеравно 0, 5772.Поскольку частичные суммы ряда (3.18) равны Hn − ln(1 + n), справедлива асимптотическая формула для гармонических чиселHn = ln n + C + o(1).Наличие признаков сравнения для исследования сходимости рядов наводит на мысль о поиске такого универсального предельно медленно сходящегося (или расходящегося) ряда, сравнение с которым позволило бысделать заключение о сходимости (или расходимости) любого напередзаданного ряда с положительными членами.
Это позволило бы четкоописать границу между сходящимися и расходящимися рядами.Докажем, что такого универсального сходящегося ряда не существует.∞∞PPПусть даны два сходящихся рядаpk иp0k ; обозначим символамиk=1k=1rn и rn0 , соответственно, их n-ые остатки. Будем говорить, что рядсходится медленнее, чем ряд∞Pk=1k=1p0kpk , если rn = o(rn0 ), n → ∞.Докажем, что для каждого сходящегося ряда∞P∞P∞Pk=1pk существует ряд∞P√p0k , сходящийся медленнее рядаpk . Положим p0k :=rk−1 −k=1k=1√√rk , k > 2, p01 > 0, тогда rn0 = rn , n > 2 иrnrnlim 0 = lim √ = 0.n→∞ rnn→∞rnАбсолютно и условно сходящиеся ряды69Докажем теперь отсутствие универсального сходящегося ряда, сравнение с которым позволило бы сделать вывод о сходимости произвольного ряда с неотрицательными членами. В самом деле, если бы такой∞Pуниверсальный сходящийся рядpk существовал, то, взяв для него поk=1∞Pстроенный выше сходящийся рядk=1p0k , мы получили бы, что√rk−1 − rkpk√=lim(=limr+rk ) = 0.√√k−1k→∞k→∞ p0krk−1 − rk k→∞limТаким образом, из сравнения с рядомдимости ряда∞Pk=1∞Ppk нельзя сделать вывод о схо-k=1p0k .Аналогично доказывается отсутствие универсального расходящегосяряда, сравнение с которым позволило бы сделать вывод о расходимостипроизвольного ряда с неотрицательными членами.Таким образом, мы не можем провести четкую границу между сходящимися и расходящимися рядами.3.3Абсолютно и условно сходящиеся рядыОпределение 3.2.
Назовем ряд∞Xak ,Ak=1состоящий из чисел произвольного знака, абсолютно сходящимся, еслисходится ряд∞X|ak |.A1k=1Ряд A называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд A1 —расходится.Теорема 3.8. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.Доказательство. Воспользуемся критерием Коши сходимости числового ряда. Пусть сходится ряд A1. Тогда по критерию Коши ∀ε > 0 ∃N70Числовые рядытакое, что ∀n > N и ∀p ∈ N выполнено неравенствотогда и¯ n+p¯n+p¯X ¯X¯¯ak ¯ 6|ak | < ε,¯¯¯k=n+1n+pP|ak | < ε. Ноk=n+1k=n+1что по критерию Коши влечет сходимость ряда A.Как мы увидим ниже, из сходимости числового ряда не следует егоабсолютная сходимость.Теорема 3.9 (Коши).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
