Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Если функции P , Q, R имеют в области G непрерывные частныепроизводные первого порядка, то из любого из условий (a)–(c) следует условие(d)7∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P∂R=,=,=∂x∂y ∂y∂z ∂z∂xв области G.Существование в шаре непрерывной ориентируемой поверхности, ограниченной произвольнымнаперед заданным контуром, лежащим в данном шаре, доказана, например, в брошюре В.В. Прасолов «Наглядная топология», М.: МЦНМО, 1995, с.
22, теорема Франкля–Понтрягина–Зейферта.32Поверхности и поверхностные интегралыЕсли, кроме того, область G поверхностно односвязна, то и наоборот, из условия (d) следуют условия (a) – (c).Доказательство. Докажем первое утверждение теоремы по схеме (a) →(b) → (c) → (a).Пусть выполнено условие (a) и пусть Li , i = 1, 2 — два контура, соединяющие точки A и B и целиком лежащие в области G. Тогда разностьинтеграловZZP dx + Q dy + R dz − P dx + Q dy + R dzL1L2является интегралом по замкнутому контуру и потому равна нулю.
Темсамым, справедливо условие (b).Пусть выполнено условие (b) и пусть A — фиксированная точка вобласти G. Тогда в области G корректно определена функцияZu(x, y, z) :=P dx + Q dy + R dz.AB(x,y,z)Рассматривая приращения функции u вдоль координатных осей, по формуле среднего значения легко показать, что ux (x, y, z) = P (x, y, z),uy (x, y, z) = Q(x, y, z) и uz (x, y, z) = R(x, y, z), а значит, в силу непрерывности функций P , Q, R, функция u(x, y, z) дифференцируема в G.Импликация (c) → (a) очевидна.Докажем второе утверждение теоремы. Поскольку уже доказана эквивалентность условий (a) – (c), то достаточно доказать импликацию(c) → (d) и, в предположении о поверхностной односвязности областиG, импликацию (d) → (a).∂u∂uПусть P dx + Q dy + R dz = d u, тогда P = ∂u∂x , Q = ∂y , R = ∂z .
Поусловию, функции P , Q, R имеют непрерывные частные производные,∂Q∂2u∂2uпоэтому функции ∂P=и=∂y∂y∂x∂x∂x∂y непрерывны в области G. Следовательно, по соответствующему утверждению второго семестра, смешан∂2u∂2u∂Pные частные производные равны ∂y∂x= ∂x∂y, т.е. ∂Q∂x = ∂y . Аналогично∂Q ∂P∂Rдоказывается, что ∂R∂y = ∂z , ∂z = ∂x в области G.
Тем самым, доказанаимпликация (c) → (d).Пусть теперь область G поверхностно односвязна и выполнено условие (d). Возмем произвольный замкнутый контур L ⊂ G. Пусть Γ —Интегральные формулы33гладкая ориентируемая поверхность, расположенная в области G и ограниченная контуром L. По формуле Стокса8¶IZZ µ∂Q ∂PP dx + Q dy + R dz =−dxdy+∂x∂y{z}LΓ |=0¶µ¶µ∂P∂R∂R ∂Q−dydz +−dzdx = 0,+∂y∂z∂z∂x|{z}|{z}=0=0что означает справедливость условия (a).Замечание 1.9. Условия (a) и (b) непосредственно проверить сложно,поскольку в них фигурирует несчетное множество путей интегрирования, которое не имеет явной параметризации.Условие (c) можно проверить, строя функцию ũ(x, y, z) как интегралZũ(x, y, z) =P dx + Q dy + R dz,LM0 Mгде LM0 M — каким-то образом выбранные пути, соединяющие точкуM0 (x0 , y0 , z0 ) с точкой M (x, y, z) (например, эти пути могут быть ломаными, составленными из отрезков координатных линий), а затемпроверяя дифференцируемость функции ũ(x, y, z) и сравнивая дифференциал dũ(x, y, z) и P dx + Q dy + R dz.
Однако построенная такимобразом функция ũ(x, y, z) может не быть даже непрерывной.Проще всего, конечно, проверяется условие (d).8Для возможности ее применения нам и нужна ориентируемость поверхности Γ.Глава 2Скалярные и векторные поля2.12.1.1Основные понятия теории скалярных и векторных полейСкалярное полеОпределение 2.1. Если каждой точке M области G (на плоскостиили в пространстве) поставлено в соответствие некоторое числоu(M ), то говорят, что в области G задано скалярное поле.Физические примеры скалярных полей: поле температур какого-либотела, поле плотности массы какого-либо тела, поле плотности электрического заряда в области или на поверхности.Величина u есть функция точки M ; если ввести ортогональную систему координатOxyz, то скалярное поле будет описыватьсяфункцией трех переменных: u = u(x, y, z).
Вразных системах координат эта функция может иметь различный вид. Но при фиксированной системе координат задание функцииРис. 2.1: линии уровняu = u(x, y, z) эквивалентно заданию скаляр- функции двух переменных.ного поля. Мы будем считать, что фиксирована некоторая прямоугольная система координат, и поэтому будем говорить, что функция u = u(x, y, z), (x, y, z) ∈ G задает скалярное поле в области G. Подмножество области G, заданное уравнениемu(x, y, z) = c = const, называется множеством уровня функции u(x, y, z).Все это выглядит достаточно тривиальным, однако тут есть и весьма нетривиальный момент. Известно, что любое замкнутое подмноже34Основные понятия35ство пространства Rn является множеством уровня некоторой бесконечно дифференцируемой функции (теорема Уитни)1 .
В то же время известно, что замкнутые множества могут быть весьма нерегулярными;примером является канторово подмножество отрезка [0, 1]. Оно не содержит ни одного интервала, является так называемым нуль множеством(т.е. может быть покрыто конечной или счетной системой интерваловсколь угодно малой суммарной длины), и при этом несчетно. Однакодля данной бесконечно дифференцируемой функции u множество техзначений c ∈ R, для которых множество уровня не является гладкойповерхностью, является нуль множеством, при этом требование на гладкость функции можно понизить (теорема Сарда).2.1.2Векторное полеОпределение 2.2.
Если каждой точке M области G (на плоскости или в пространстве) поставлен в соответствие некоторый вектор a(M ), то говорят, что в области G задано векторное поле.Физические примеры векторных полей: электрическое поле E(M ),магнитное поле B(M ), поле тяготения какой-либо массы F(M ), полескоростей жидкости v(M ).При фиксированной системе координат Oxyz векторное поле задается вектор-функцией a(x, y, z) или тремя скалярными функциями — еекоординатами:a(x, y, z) = {P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)} .(2.1)Определение 2.3. Гладкая кривая L называется векторной линиейвекторного поля a(M ), если в каждой точке M кривой L вектор a(M )направлен по касательной к кривой L.В дальнейшем будем считать, что функции, задающие скалярное иливекторное поле, имеют непрерывные частные производные первого порядка.1Уитни Хаслер (1907–1989) — американский математик.36Скалярные и векторные поля2.1.3Производная по направлению и градиент скалярного поляВо втором семестре для скалярного поля (скалярной функции) u(x, y, z)были введены понятия градиента и производной по направлению:¾½∂u∂u∂u ∂u∂u ∂u ∂u, ,=i+j+k,= (grad u, l),grad u =∂x ∂y ∂z∂x∂y∂z∂lгде l — единичный вектор заданного направления.Данное определение градиента связано с выбором системы координат.Однако было показано, что на самом деле вектор grad u не зависит отвыбора системы координат, поскольку его направление есть направлениенаибольшего роста скалярной величины u, а | grad u| есть скорость роставеличины u в этом направлении.
Если ввести другую систему координат,то координаты вектора grad u изменятся, но сам вектор, т.е. его длина инаправление, останутся без изменения.Определение 2.4. Векторное поле называется потенциальным в области G, если его можно представить в этой области как градиентнекоторого скалярного поля u(M ):a(M ) = grad u(M ) =∂u∂u∂ui+j+k.∂x∂y∂z(2.2)Функция u(M ) называется скалярным потенциалом векторного поля a(M ).Пример 2.1. Потенциал электрического поля точечного заряда q равенqu(M ) = , а само электрическое поле есть2rpqE(M ) = − grad u(M ) = 3 r при r := x2 + y 2 + z 2 6= 0,(2.3)rгде r = xi+yj+zk — радиус-вектор. Аналогичным образом потенциальγmным является и гравитационное поле точечной массы F(M ) = − 3 r.r2.1.4Дивергенция векторного поляОпределение 2.5.
Дивергенцией векторного поля (2.1) называетсяскалярная функция∂P∂Q ∂Rdiv a =++.∂x∂y∂z2В физике принято считать, что потенциальное векторное поле a связано со своим потенциаломu равенством a = − grad u.Основные понятия37Это определение div a связано с выбором системы координат. Мы покажем, что на самом деле функция div a(M ), M = M (x, y, z) не зависитот выбора системы координат.Пример 2.2.
Вычислим дивергенцию электрического поля (2.3) точечного заряда q, помещенного в начало координат.· ³ ´¸∂ x∂ ³y´∂ ³z´div E = q++,∂x r3∂y r3∂z r3∂ ³x´113x ∂r3x2= 3− 4=− 5 .∂x r3rr ∂x r3rАналогично:∂ ³y´13y 2 ∂ ³ z ´13z 2= 3− 5,= 3− 5.∂y r3rr ∂z r3rrСледовательно,div E = q2.1.53r2 − 3(x2 + y 2 + z 2 )= 0, r 6= 0.r5Ротор векторного поляОпределение 2.6. Ротором векторного поля (2.1) называется векторфункция¯¯¯ i j k¯ µµµ¶¶¶¯∂ ∂ ∂¯∂P∂Q∂R∂Q∂R∂Pi+j+k.rot a = ¯¯ ∂x ∂y ∂z ¯¯ =−−−∂y∂z∂z∂x∂x∂y¯P Q R¯Ниже мы покажем, что ротор векторного поля, так же как и дивергенция векторного поля, не зависит от выбора системы координат.Слушателям предлагается самостоятельно убедиться, что rot E = 0,r 6= 0 для электрического поля (2.3) точечного заряда q, помещенного вначало координат.2.1.6Циркуляция векторного поляОпределение 2.7.
Пусть в области G задано векторное поле (2.1) ипусть AB — кусочно-гладкая кривая, лежащая в области G. Криволинейный интеграл второго родаZP dx + Qdy + RdzAB38Скалярные и векторные поляназывается циркуляцией векторного поля a вдоль кривой AB.Если dl = t ds =: idx + jdy + kdz — касательный вектор к кривойAB (в точках ее гладкости), t — единичный касательный вектор, а ds —дифференциал длины дуги, то циркуляцию можно записать в виде криволинейного интеграла второго или первого родаZZZP dx + Qdy + Rdz = (a, dl) =(P cos α + Q cos β + R cos γ) ds.ABABABДанная форма записи циркуляции показывает, что циркуляция не зависит от выбора системы координат.Работа силового поля F при перемещении материальной точки, накоторую оно действует, по контуру L является циркуляцией поля F поконтуру L.2.1.7Поток векторного поляОпределение 2.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
