Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Взаимно-однозначное отображение поверхностейΓ1 7→ Γ2 , переводящее кривые на поверхности Γ1 в кривые на поверхности Γ2 той же длины, называется изометрией Γ1 на Γ2 . Эквивалентное сохранению длин кривых требование состоит в том, что квадратичная форма IΓ1 переводится в форму IΓ2 .Из рассмотренных примеров мы видим, что разрезанный по меридиану u = 0 катеноид изометричен части 0 < u < 2π геликоида.Пример 1.5. Рассмотрим верхнюю полу конуса z 2 = x2 + y 2 , выделяемую из него условием z > 0.
Введем для нее параметризациюr(u, v) = v cos u · i + v sin u · j + v · k, v > 0, 0 6 u < 2π.Тогдаru = −v sin u · i + v cos u · j,rv = cos u · i + sin u · j + k,откуда E = v 2 , F = 0, G = 2 иI(u, v) = v 2 du2 + 2dv 2 .Введем новые координаты (x̃, ỹ) по формулам√√uux̃ = 2v cos √ , ỹ = 2v sin √ ,22откудаdx̃ =√√uuuu2 cos √ dv − v sin √ du, dỹ = 2 sin √ dv + v cos √ du,222222222dx̃ + dỹ = 2dv + v du = I.Тем самым, верхняя пола конуса, разрезанная по образующей, изометрична некоторому плоскому сектору, что наглядно подтверждаетсявозможностью склеить конус из вырезанного из листа бумаги сектора без ее смятия или растяжения.1.2Площадь поверхностиПлощадь является глобальной характеристикой поверхности.Определим площадь гладкой поверхности и поверхности, состоящейиз конечного числа гладких кусков.Площадь поверхности13Пусть гладкая поверхность Γ задана формулой (1.3).
Разобьем еекусочно-гладким кривыми на конечное число частей Γi , di := diam Γi ,выберем на каждой части Γi точку Mi , построим в каждой точке Miкасательную плоскость αi . Ясно, что плоскость αi натянута на вектораru |Mi и rv |Mi . Спроектируем каждую область Γi на соответствующую ейплоскость αi и пусть Si – площади этих плоских областей.Определение 1.4. Площадью поверхности Γ называется предел интегральных суммXS(Γi , Mi ) :=Siiпри d := max → 0, если этот предел не зависит от разбиения поверхiности Γ на области Γi и выбора точек Mi . В этом случае поверхностьназывается квадрируемой.Площадью S кусочно-гладкой поверхности, составленной из конечного числа гладких поверхностей, заданных формулами типа (1.3), называется сумма их площадей.Получим формулу для вычисления площади поверхности Γ. Будемразбивать поверхность Γ на области Γi координатными линиями u =const и v = const на криволинейные четырехугольники.
У одной пары сторон такого четырехугольника значения параметра u совпадают,а значения параметра v различаются на величину ∆vi , а у другой пары сторон такого четырехугольника совпадают значения параметра v,а значения параметра u различаются на величину ∆ui .
Ясно, что такиеразбиения можно выбрать так, чтобы d → 0, что соответствует тому, чтоmax max{∆ui , ∆vi } → 0.iПонятно, что площади Si отличаются от площадей параллелограммов, построенных на векторах ru |Mi ∆ui , rv |Mi ∆vi на величину порядкамалости выше второго по ∆ui , ∆vi . При вычислении предела интегральных сумм эта разность переходит в ноль, поэтому мы получаемZZS=|[ru , rv ]| dudv.VУчтем теперь, что [ru , rv ]2 = r2u r2v − (ru , rv )2 = EG − F 2 и окончательнополучимZZ pS=EG − F 2 dudv.(1.4)V14Поверхности и поверхностные интегралыРис. 1.3: Один слой «сапога» Шварца.Рис. 1.4: «Сапог» Шварца.Нетрудно убедиться, что для поверхностей, заданных формулой (1.2),мы получим формулуZZ qS=1 + fx2 + fy2 dxdy.(1.5)VАналогично определению длины плоской или пространственной кривой через предел длин вписанных в нее ломаных может показаться естественным определить площадь поверхности как предел площадей вписанных в нее многогранников. Однако, следующий пример Шварца (наматематическом жаргоне называемый также "сапог"Шварца), показывает невозможность такого определения.Рассмотрим прямой круговой цилиндр радиуса R высоты H, разделённый на m «тонких» цилиндров m + 1-ой параллельной плоскостью,перпендикулярной оси цилиндра.Каждую получившуюся в сечениях окружность разделим n точкамина n частей, располагая точки на соседних окружностях сдвинутымидруг относительно друга на половину сегмента между соседними точками.
Возмем две соседние точки на одной окружности и точку, лежащуюнад или под серединой дуги, соединяющей эти две точки, и построим наэтих трех точках треугольник. Совокупность всех таких треугольниковобразует (невыпуклый) многогранник, вписанный в исходный цилиндр.Этот многогранник напоминает голенище сапога. С ростом m и n площадь каждого треугольника стремиться к нулю, но число треугольниковрастет. Исследуем возможные предельные значения площади многогранника. Рассмотрим один из «тонких» цилиндров (см.
рис. 1.3) и один изтреугольников, вписанных в этот цилиндр. Пусть A – середина основа-Поверхностные интегралы 1 рода15ния треугольника, а ` – длина этого основания. Тогдаsµ ¶2³Hπ ´2ππ2+ R 1 − cos, ` = 2R sin ,|OA| = R cos , |AB| =nmnnsµ ¶2³1πHπ ´22S4 = `|AB| = R sin+ R 1 − cos.2nmnВ каждом слое 2n треугольников, т.е. всего 2nm. Отсюда площадь "сапога"естьr³π ´2π222S = 2nmS4 = 2nR sinH + R m 1 − cos=nnrππ= 2nR sinH 2 + R2 m2 sin4 .n2nЕслиmn2→ q при n → ∞, m → ∞, тоrS → 2πRH2R2 π 4 q 2+.4За счет выбора q можно получить в пределе любое число. Выбор q = 0соответствует площади поверхности цилиндра.Причина такого эффекта в том, что при q 6= 0 плоскости вписанныхв цилиндр треугольников не приближаются при n → ∞, m → ∞ к поверхности цилиндра.1.3Поверхностные интегралы первого родаПоверхностные интегралы определяются по стандартной схеме через интегральные суммы.Пусть Γ – квадрируемая поверхность и пусть f – ограниченная функция на Γ.
Разобьем поверхность Γ на n квадрируемых частей Γi : Γ =nSΓi , на каждой части Γi выберем произвольную точку Mi и составимi=1интегральную суммуI(Γi , Mi ) =nXf (Mi )S(Γi ),i=1где S(Γi ) – площадь Γi . Пусть di := max diam Γi .16i6n16Поверхности и поверхностные интегралыОпределение 1.5.
Число I называется пределом интегральных суммI(Γi , Mi ) при d → 0, если ∀ε > 0 ∃δ > 0 такое, что ∀ разбиения Γi , укоторого d < δ и любого выбора точек Mi выполняется неравенство|I(Γi , Mi ) − I| < ε.В этом случае число I называется поверхностным интегралом первого рода от функции f по поверхности Γ и обозначаетсяZZf (M ) dσ.ΓСледующая теорема дает способ вычисления поверхностного интеграла первого рода, сводя его к двойному интегралу по плоской области.Теорема 1.1. Пусть гладкая поверхность Γ задана формулой (1.3), аf – непрерывная функция на Γ.RRТогда поверхностный интеграл первого рода Γ f (M ) dσ существует и справедливо равенствоZZZZpf (M (u, v)) EG − F 2 dudv.f (M ) dσ =ΓVДля поверхности Γ, заданной формулой z = f (x, y), мы получим частный случай последней формулы:ZZZZqf (M ) dσ =f (M (x, y)) 1 + fx2 + fy2 dxdy.Γ1.4VОриентация поверхностейЕще одной, наряду с площадью, глобальной характеристикой поверхности является ее ориентируемость.Понятие стороны поверхности интуитивно ясно для поверхностей, заданных явно уравнением z = f (x, y), и поверхностей, ограничивающихкакую-либо трехмерную область.
Это интуитивное понятие можно формализовать.Определение 1.6. Гладкая поверхность Γ — ориентируемая (двусторонняя), если на ней существует непрерывная вектор-функция единичных нормалей к поверхности, т.е.n(M ) = n1 (M )i + n2 (M )j + n3 (M )k, |n(M )| ≡ 1,где n1 , n2 , n3 — непрерывные функции на поверхности Γ.Ориентация поверхностейРис. 1.5: выбор ориентации для поверхности, заданной уравнением z =f (x, y).17Рис. 1.6: лист Мебиуса.Ясно, что если существует одна такая вектор-функция, то их существует в точности две: ±n(M ).
Выбор любой из них называется ориентацией поверхности. В частности, для поверхности, заданной уравнениемz = f (x, y), нормали, соответствующие одной ориентации, составляютострый угол с осью Oz, а нормали, соответствующие второй, составляют тупой угол с осью Oz.Если Γ связна, то можно пытаться строить такую непрерывнуювектор-функцию единичных нормалей, выбрав нормаль в фиксированной точке M0 ∈ Γ и перенося ее непрерывно во все другие точки M ∈ Γвдоль кривых, соединяющих M0 и M (в силу связности поверхности Γтакие кривые всегда существуют). Но тут можно столкнуться с неоднозначностью результата такого переноса по двум разным кривым, соединяющим точки M0 и M .Эквивалентно: при непрерывном переносе нормали по замкнутомуконтуру можно получить в точке M0 нормаль, противоположно направленную к исходной. Примером неориентируемой поверхности являетсялист Мебиуса.2Это приводит к следующему определению.Определение 1.7.
Еcли для любой точки M0 , принадлежащей связной гладкой поверхности Γ, и любого замкнутого контура γ ∈ Γ такого, что M0 ∈ γ, выбранное в точке M0 направление нормали принепрерывном продолжении вдоль контура возвращается к исходному,то поверхность Γ называется ориентируемой (двухсторонней).Если определение 1.6 (или определение 1.7) не выполнено для связнойгладкой поверхности Γ, то она называется неориентируемой (односторонней).2Мёбиус Август Фердинанд (1790–1868) — немецкий математик.18Поверхности и поверхностные интегралыЕсли гладкая поверхность Γ состоит из n ориентируемых связных частей (компонент связности), то на каждой из компонент связности возможен выбор одной из двух возможных ориентаций, а значит на всейповерхности Γ можно выбрать 2n различных ориентаций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
